Work done by a force to move a particle along a virtual displacement
力学 において 、 仮想仕事は、 最小作用の原理を 力学系 の 力 と 運動 の研究に 適用する際に生じる 。 粒子が 変位に沿って運動する際に作用する力の 仕事は 、変位の大きさによって異なる。粒子がとり得るすべての変位 （仮想変位）のうち、 作用 を最小化するものが仮想 変位である。したがって、この変位は、最小作用の原理に従って粒子がとる変位である。
仮想変位に沿った粒子に対する力の働きは、仮想仕事として知られています。
歴史的に、仮想仕事とそれに関連する 変分法は 剛体系を解析するために考案されましたが [1] 、変形可能な物体の力学の研究にも発展してきました。 [2]
歴史 仮想仕事の原理は、 古代 から静力学の研究において何らかの形で常に用いられてきました。ギリシャ人、中世のアラブ人やラテン人、そしてルネサンス期のイタリア人によって「てこの法則」として用いられました。 [3] 仮想仕事の概念は、ガリレオ、デカルト、トリチェリ、ウォリス、ホイヘンスといった17世紀の著名な物理学者たちによって、静力学の問題を解く際に、様々な一般性をもって援用されました。 [3] ヨハン・ベルヌーイは ライプニッツの概念を用いて 仮想仕事の原理を体系化し、微小変位の概念を明確にしました。彼は剛体と流体の両方の問題を解くことができました。ベルヌーイの仮想仕事の法則は、 1715年に ピエール・ヴァリニョンに宛てた手紙の中に現れ、それが後にヴァリニョンの Nouvelle mécanique ou Statique の第2巻である1725年に掲載された。この原理の定式化は今日では仮想速度の原理として知られており、当時の仮想仕事原理の原型であると一般に考えられている。 [3] ダランベールは1743年に Traité de Dynamique を出版し、その中でベルヌーイの研究に基づく仮想仕事の原理を力学における様々な問題の解決に適用した。彼のアイデアは、 慣性力 を導入することによって動的な問題を静的な問題に変換するというものだった。 [4] 1768年に ラグランジュは 、一般化座標を導入することで仮想仕事の原理をより効率的な形で提示し、それをすべての平衡の問題を解決できる力学の代替原理として提示した。ラグランジュのこのアプローチを静的および動的両方のすべての力学に適用するプログラムの体系的な説明は、本質的には ダランベールの原理 であり、 1788年の彼の 分析力学 で与えられました。 [3] ラグランジュはこの作品の前に彼独自の 最小作用原理 を提示していましたが、最小作用は非保存力を考慮しないという現代の理解とは異なり、主にすべての力学の基礎として単独で想定できるため、仮想仕事原理の方がより基本的であると認識していました。 [3]
概要 粒子が点から 点へと移動する際に力が作用する場合 、粒子が取り得るそれぞれの軌道について、その経路に沿って力によってなされる全仕事を計算することができます。これらの系に適用される最小作用の原理の形である 仮想仕事の原理は 、粒子が実際にたどる経路は、この経路に沿った仕事と他の近傍経路に沿った仕事との差がゼロ（一次まで）となる経路であるとしています。近傍経路で評価される関数の差を計算する正式な手順は、微分積分学で知られる導関数の一般化であり、 変分法と 呼ばれています。 A {\displaystyle A} B {\displaystyle B}
点 （ ）から 点 （ ）まで の関数で表わされる経路に沿って移動する点粒子を考えます。粒子が （ ）で表わされる近傍経路に沿って から へ 移動することが可能です。 ここで は の変分と呼ばれます 。この変分は 要件 を満たします。変分 、 のスカラー成分は 仮想変位と呼ばれます。これは、 一般化座標 、 で定義される任意の機械システムに一般化できます 。その場合、軌道の変分は 仮想変位 、によって定義されます 。 r ( t ) {\displaystyle \mathbf {r} (t)} A {\displaystyle A} r ( t = t 0 ) {\displaystyle \mathbf {r} (t=t_{0})} B {\displaystyle B} r ( t = t 1 ) {\displaystyle \mathbf {r} (t=t_{1})} A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} r ( t ) + δ r ( t ) {\displaystyle \mathbf {r} (t)+\delta \mathbf {r} (t)} δ r ( t ) {\displaystyle \delta \mathbf {r} (t)} r ( t ) {\displaystyle \mathbf {r} (t)} δ r ( t ) {\displaystyle \delta \mathbf {r} (t)} δ r ( t 0 ) = δ r ( t 1 ) = 0 {\displaystyle \delta \mathbf {r} (t_{0})=\delta \mathbf {r} (t_{1})=0} δ r 1 ( t ) {\displaystyle \delta r_{1}(t)} δ r 2 ( t ) {\displaystyle \delta r_{2}(t)} δ r 3 ( t ) {\displaystyle \delta r_{3}(t)} q i {\displaystyle q_{i}} i = 1 , 2 , . . . , n {\displaystyle i=1,2,...,n} q i ( t ) {\displaystyle q_{i}(t)} δ q i {\displaystyle \delta q_{i}} i = 1 , 2 , . . . , n {\displaystyle i=1,2,...,n}
仮想仕事とは、機械系が一連の仮想変位を移動する際の、作用力と慣性力によって行われる仕事の総和です。静的平衡状態にある物体に作用する力を考える場合、最小作用の原理により、これらの力の仮想仕事はゼロとなります。
数学的処理 点 A から点 B へ軌道 r ( t ) に沿って移動する粒子 P を考えます。この粒子には力 F ( r ( t ))が作用しています。力 F によって行われる仕事は 積分で与えられます。 ここで、 d r はP の軌道である曲線に沿った微分要素 、 v は速度です。仕事 W の値は軌道 r ( t ) に依存することに注意することが重要です。 W = ∫ r ( t 0 ) = A r ( t 1 ) = B F ⋅ d r = ∫ t 0 t 1 F ⋅ d r d t d t = ∫ t 0 t 1 F ⋅ v d t , {\displaystyle W=\int _{\mathbf {r} (t_{0})=A}^{\mathbf {r} (t_{1})=B}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}~dt=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} ~dt,}
ここで、点A から点 B へ移動する 粒子 P について考えます。ただし、今回は r ( t ) とは変化 δ r ( t ) = ε h ( t ) だけ異なる近傍軌道に沿って移動します。ここで、 ε は任意の大きさにできるスケーリング定数であり、 h ( t )は h ( t 0 ) = h ( t 1 ) = 0 を満たす任意の関数です 。力 F ( r ( t ) + ε h ( t ))が F ( r ( t )) と同じであるとします 。力によって行われる仕事は、積分で与えられます。
この近傍経路に関連付けられた 仕事 δW の変化は仮想仕事 と呼ばれ 、次のように計算できます
。 W ¯ = ∫ r ( t 0 ) = A r ( t 1 ) = B F ⋅ d ( r + ε h ) = ∫ t 0 t 1 F ⋅ d ( r ( t ) + ε h ( t ) ) d t d t = ∫ t 0 t 1 F ⋅ ( v + ε h ˙ ) d t . {\displaystyle {\bar {W}}=\int _{\mathbf {r} (t_{0})=A}^{\mathbf {r} (t_{1})=B}\mathbf {F} \cdot d(\mathbf {r} +\varepsilon \mathbf {h} )=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot {\frac {d(\mathbf {r} (t)+\varepsilon \mathbf {h} (t))}{dt}}~dt=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot (\mathbf {v} +\varepsilon {\dot {\mathbf {h} }})~dt.} δ W = W ¯ − W = ∫ t 0 t 1 ( F ⋅ ε h ˙ ) d t . {\displaystyle \delta W={\bar {W}}-W=\int _{t_{0}}^{t_{1}}(\mathbf {F} \cdot \varepsilon {\dot {\mathbf {h} }})~dt.}
P の運動に拘束条件がない場合 、 任意の時刻 t におけるP の位置を完全に記述するには 3 つのパラメータが必要です。 k ( k ≤ 3 ) 個の拘束力 がある場合、 n = (3 − k )個のパラメータが必要になります。したがって、 n 個 の一般化座標 q i ( t ) ( i = 1,..., n )を定義し 、 r ( t ) と δ r = ε h ( t ) を一般化座標で表すことができます。つまり、次の式が成り立ちます。そして、変化 δ r = ε h ( t ) の 微分 は 次 の よう に 与え られ、 次 の式
が成り立ちます 。 r ( t ) = r ( q 1 , q 2 , … , q n ; t ) , {\displaystyle \mathbf {r} (t)=\mathbf {r} (q_{1},q_{2},\dots ,q_{n};t),} h ( t ) = h ( q 1 , q 2 , … , q n ; t ) . {\displaystyle \mathbf {h} (t)=\mathbf {h} (q_{1},q_{2},\dots ,q_{n};t).} d d t δ r = d d t ε h = ∑ i = 1 n ∂ h ∂ q i ε q ˙ i , {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\delta \mathbf {r} ={\frac {d}{dt}}\varepsilon \mathbf {h} =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}\varepsilon {\dot {q}}_{i},} δ W = ∫ t 0 t 1 ( ∑ i = 1 n F ⋅ ∂ h ∂ q i ε q ˙ i ) d t = ∑ i = 1 n ( ∫ t 0 t 1 F ⋅ ∂ h ∂ q i ε q ˙ i d t ) . {\displaystyle \delta W=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}\varepsilon {\dot {q}}_{i}\right)dt=\sum _{i=1}^{n}\left(\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}\varepsilon {\dot {q}}_{i}~dt\right).}
任意の変化δ r ( t ) = ε h ( t ) に対して仮想仕事がゼロであるという要件は、 一連の要件と同等です。 項 Q i は 、仮想変位 δ r に関連付けられた一般化された力 と呼ばれます 。 Q i = F ⋅ ∂ h ∂ q i = 0 , i = 1 , … , n . {\displaystyle Q_{i}=\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}=0,\quad i=1,\ldots ,n.}
静的平衡 静的平衡 は、システムに作用する正味の力と正味のトルクがゼロである状態です。言い換えると、 システムの 線形運動量 と 角運動量の両方が保存されます。仮想仕事の原理は、 静的平衡 からのシステムのすべての 仮想移動 に対して、適用された力の仮想仕事がゼロであることを述べています。 この原理は、3 次元 回転 が含まれるように一般化できます 。つまり、適用された力と適用されたモーメントの仮想仕事は 、静的平衡からのシステムの
すべての 仮想移動 に対してゼロです。
つまり、 F i 、 i = 1、2、...、 m と M j 、 j = 1、2、...、 n は、それぞれ適用された力と適用されたモーメントであり、 δ r i 、 i = 1、2、...、 m と δ φ j 、 j = 1、2、...、 nは、それぞれ 仮想変位 と 仮想回転 です 。 δ W = ∑ i = 1 m F i ⋅ δ r i + ∑ j = 1 n M j ⋅ δ φ j = 0 , {\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot \delta \mathbf {\varphi } _{j}=0,}
系が N 個の粒子から構成され、 自由度が f ( f ≤ 6 N )であるとする。 系の運動を完全に記述するには f 座標のみで十分であるため、 fの 一般化座標 q k , k = 1, 2, ..., f を定義し、 仮想的な運動をこれらの 一般化座標 で表現できる ようにする 。つまり、 δ r i ( q 1 , q 2 , … , q f ; t ) , i = 1 , 2 , … , m ; {\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{f};t),\quad i=1,2,\dots ,m;} δ ϕ j ( q 1 , q 2 , … , q f ; t ) , j = 1 , 2 , … , n . {\displaystyle \delta \phi _{j}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{f};t),\quad j=1,2,\dots ,n.}
仮想仕事は 一般化座標 によって再 パラメータ化 できる。 ここで、 一般化力 Q k は次のように定義される。Kane [5] は 、これらの 一般化力は 時間微分比によっても定式化できることを示している。すなわち、 δ W = ∑ k = 1 f [ ( ∑ i = 1 m F i ⋅ ∂ r i ∂ q k + ∑ j = 1 n M j ⋅ ∂ ϕ j ∂ q k ) δ q k ] = ∑ k = 1 f Q k δ q k , {\displaystyle \delta W=\sum _{k=1}^{f}\left[\left(\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {\phi } _{j}}{\partial q_{k}}}\right)\delta q_{k}\right]=\sum _{k=1}^{f}Q_{k}\delta q_{k},} Q k = ∑ i = 1 m F i ⋅ ∂ r i ∂ q k + ∑ j = 1 n M j ⋅ ∂ ϕ j ∂ q k , k = 1 , 2 , … , f . {\displaystyle Q_{k}=\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {\phi } _{j}}{\partial q_{k}}},\quad k=1,2,\dots ,f.} Q k = ∑ i = 1 m F i ⋅ ∂ v i ∂ q ˙ k + ∑ j = 1 n M j ⋅ ∂ ω j ∂ q ˙ k , k = 1 , 2 , … , f . {\displaystyle Q_{k}=\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {\omega } _{j}}{\partial {\dot {q}}_{k}}},\quad k=1,2,\dots ,f.}
仮想仕事の原理によれば、系が 平衡状態 にある場合、力 F i とモーメント M j によって系になされる仮想仕事はゼロとなる。したがって、一般化された力 Q k はゼロ、すなわち δ W = 0 ⇒ Q k = 0 k = 1 , 2 , … , f . {\displaystyle \delta W=0\quad \Rightarrow \quad Q_{k}=0\quad k=1,2,\dots ,f.}
拘束力 仮想仕事の原理の重要な利点は、系が 仮想変位 を移動する際に実際に働く力のみが系の力学を決定するのに必要となることです。機械系には、 仮想変位中に仕事をしない力が多数存在するため、この解析ではそれらを考慮する必要はありません。重要な例としては、(i) 剛体 の内部力と(ii)理想 関節 における拘束力の2つが挙げられます 。
ランチョス [1] はこれを公理として提示している。「 与えられた運動学的拘束条件を満たす 仮想変位に対して、反作用力の仮想仕事は常にゼロである。」その論旨は以下の通りである。仮想仕事の原理は、 平衡状態 において系に作用する力の仮想仕事はゼロであるということを述べている。 ニュートンの法則は、 平衡状態 において 作用する力は反作用力、すなわち拘束力と等しく、かつその方向が反対であることを述べている。これは、拘束力の仮想仕事もゼロでなければならないことを意味する。
てこの法則 レバー は 、支点と呼ばれるヒンジジョイントによって地面のフレームに接続された剛体棒としてモデル化されます。レバーは、 棒上の 座標ベクトル r A に位置する点 Aに入力力 F A を加えることで操作されます。レバーは、 r B に位置する 点 Bに出力力 F B を及ぼします。支点P を中心としたレバーの回転は、 回転角度 θ によって定義されます。
これは1824 年にロンドンで発行された Mechanics Magazine の版画です。 支点を定義する点 P の座標ベクトルを r P とし、 支点から入力点 A と出力点 B までの距離をそれぞれ長さとして導入します。 a = | r A − r P | , b = | r B − r P | , {\displaystyle a=|\mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{P}|,\quad b=|\mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{P}|,}
ここで、支点から点 A と点 B への単位ベクトル e A と e B を導入すると、
この表記法によって点 A と点 B の速度を 次のように
定義できます。 ここで、 e A ⊥ と e B ⊥ は、それぞれ e A と e B に垂直な単位ベクトルです 。 r A − r P = a e A , r B − r P = b e B . {\displaystyle \mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{P}=a\mathbf {e} _{A},\quad \mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{P}=b\mathbf {e} _{B}.} v A = θ ˙ a e A ⊥ , v B = θ ˙ b e B ⊥ , {\displaystyle \mathbf {v} _{A}={\dot {\theta }}a\mathbf {e} _{A}^{\perp },\quad \mathbf {v} _{B}={\dot {\theta }}b\mathbf {e} _{B}^{\perp },}
角度 θ はレバーの構成を定義する一般化座標であり、したがって、1自由度機構に適用される力の上記の式を使用すると、一般化力は次のように表されます。 Q = F A ⋅ ∂ v A ∂ θ ˙ − F B ⋅ ∂ v B ∂ θ ˙ = a ( F A ⋅ e A ⊥ ) − b ( F B ⋅ e B ⊥ ) . {\displaystyle Q=\mathbf {F} _{A}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{A}}{\partial {\dot {\theta }}}}-\mathbf {F} _{B}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{B}}{\partial {\dot {\theta }}}}=a(\mathbf {F} _{A}\cdot \mathbf {e} _{A}^{\perp })-b(\mathbf {F} _{B}\cdot \mathbf {e} _{B}^{\perp }).}
ここで、放射状セグメント PA と PB に垂直な力の成分を F A と F B と記す。これらの力は次のように表される。 この表記法と仮想仕事の原理から、一般化された力の式は次のようになる。 F A = F A ⋅ e A ⊥ , F B = F B ⋅ e B ⊥ . {\displaystyle F_{A}=\mathbf {F} _{A}\cdot \mathbf {e} _{A}^{\perp },\quad F_{B}=\mathbf {F} _{B}\cdot \mathbf {e} _{B}^{\perp }.} Q = a F A − b F B = 0. {\displaystyle Q=aF_{A}-bF_{B}=0.}
出力力F B と入力力 F A の比はてこの 機械的利点 であり 、仮想仕事の原理から次のように得られる。 M A = F B F A = a b . {\displaystyle MA={\frac {F_{B}}{F_{A}}}={\frac {a}{b}}.}
この式は、支点から 入力力が作用する点 A までの距離 aが 、支点から出力力が作用する点 Bまでの距離 b よりも大きい場合、てこは入力力を増幅することを示しています。逆に、支点から入力点 A までの距離が、支点から出力点 B までの距離よりも小さい場合、てこは入力力の大きさを減少させます。
これは てこの法則 であり、 アルキメデス が幾何学的推論を用いて証明しました。 [6]
ギアトレイン 歯車列は、歯車をフレームに取り付け、歯車の歯同士が噛み合うことで形成されます。歯車の歯は、噛み合う歯車のピッチ円が滑ることなく互いに転がり合うように設計されており、これにより、ある歯車から次の歯車への回転のスムーズな伝達が実現されます。この解析では、1自由度を持つ歯車列を考察します。つまり、歯車列内のすべての歯車の回転角は、入力歯車の角度によって定義されます。
陸軍補給部隊の機械輸送訓練（1911年）の図112 歯車による運動と力の伝達、複列列車 歯車の大きさと噛み合いの順序によって、入力歯車の角速度 ω A と出力歯車の 角速度 ω B の比が決まり、これは歯車列の速度比、または 歯車比 と呼ばれます。速度比を Rとすると、 ω A ω B = R . {\displaystyle {\frac {\omega _{A}}{\omega _{B}}}=R.}
入力ギア G A に作用する入力トルク T A は、ギアトレインによって 出力ギア G B に作用する出力トルクT B に変換されます。ギアが剛体であり、ギアの歯のかみ合いに損失がないと仮定すると、仮想仕事の原理を用いてギアトレインの静的平衡を解析することができます。
入力ギアの角度 θを ギアトレインの一般化座標とすると、ギアトレインの速度比 Rは 入力ギアに対する出力ギアの角速度を定義します。つまり、 ω A = ω , ω B = ω / R . {\displaystyle \omega _{A}=\omega ,\quad \omega _{B}=\omega /R.}
トルクを加えた仮想仕事の原理に関する上記の式は、一般化された力を与える。 Q = T A ∂ ω A ∂ ω − T B ∂ ω B ∂ ω = T A − T B / R = 0. {\displaystyle Q=T_{A}{\frac {\partial \omega _{A}}{\partial \omega }}-T_{B}{\frac {\partial \omega _{B}}{\partial \omega }}=T_{A}-T_{B}/R=0.}
ギアトレインの機械的利点は、出力トルクT Bと入力トルクT Aの比であり 、 上記 の 式 から 次 の 式が得られます。 M A = T B T A = R . {\displaystyle MA={\frac {T_{B}}{T_{A}}}=R.}
したがって、ギアトレインの速度比は、その機械的利点も決定します。これは、入力ギアの回転速度が出力ギアの回転速度よりも速い場合、ギアトレインは入力トルクを増幅することを示しています。一方、入力ギアの回転速度が出力ギアの回転速度よりも遅い場合、ギアトレインは入力トルクを減少させます。
剛体の動的平衡 剛体 の個々の粒子に適用された力に対する仮想仕事の原理は 、剛体に対しても一般化できます。 平衡状態にある剛体が仮想的に適合する変位を受ける場合、すべての外部力の合計仮想仕事はゼロになります。逆に、剛体に作用するすべての外部力の合計仮想仕事がゼロの場合、その剛体は平衡状態にあります 。
系が静的平衡状態にない場合、ダランベールは、ニュートンの法則の加速度項を慣性力として導入することで、このアプローチを一般化し、動的平衡を定義できることを示した。その結果、ダランベールの仮想仕事の原理が生まれ、これは剛体力学系の運動方程式を導出するために使用される。
適合 変位と は、粒子が接触したまま一緒に変位し、作用反作用の粒子間力による仕事が打ち消されることを意味します。この原理の様々な形態は、 ヨハン（ジャン）・ベルヌーイ （1667–1748）と ダニエル・ベルヌーイ （1700–1782）によって提唱されています。
一般化された慣性力 n個の剛体B i （i=1,...,n）から機械系を構築し、各剛体に作用する力の合力を力-トルク対 F i と T i （ i =1,..., n） とする。これらの作用力には、剛体が接続された部分の反作用力は含まれない点に注意する。最後に、各剛体の速度 V i と角速度 ω i （ i =1,..., n）が、単一の一般化座標qによって定義されていると仮定する。このような剛体系は 、自由度が 1であると言われる 。
一般化座標qによって定義される1自由度を持つ、合力 F とトルク T の作用下で運動する単一の剛体を考える。合力とトルクの基準点を剛体の質量中心とすると、一般化座標qに関連付けられた一般化慣性力Q*は次のように与えられる。 この慣性力は、剛体の運動エネルギーから、 次の式を用いて
計算できる。 Q ∗ = − ( M A ) ⋅ ∂ V ∂ q ˙ − ( [ I R ] α + ω × [ I R ] ω ) ⋅ ∂ ω ∂ q ˙ . {\displaystyle Q^{*}=-(M\mathbf {A} )\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}-([I_{R}]\alpha +\omega \times [I_{R}]\omega )\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}}.} T = 1 2 M V ⋅ V + 1 2 ω ⋅ [ I R ] ω , {\displaystyle T={\frac {1}{2}}M\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} +{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }},} Q ∗ = − ( d d t ∂ T ∂ q ˙ − ∂ T ∂ q ) . {\displaystyle Q^{*}=-\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}}}-{\frac {\partial T}{\partial q}}\right).}
m個の一般化座標を持つn個の剛体系は、 m個の一般化慣性力を計算するために使用できる運動エネルギーを持つ [7] T = ∑ i = 1 n ( 1 2 M V i ⋅ V i + 1 2 ω i ⋅ [ I R ] ω i ) , {\displaystyle T=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {1}{2}}M\mathbf {V} _{i}\cdot \mathbf {V} _{i}+{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}_{i}\cdot [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }}_{i}\right),} Q j ∗ = − ( d d t ∂ T ∂ q ˙ j − ∂ T ∂ q j ) , j = 1 , … , m . {\displaystyle Q_{j}^{*}=-\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}\right),\quad j=1,\ldots ,m.}
ダランベールの仮想仕事の原理によれば、剛体系は、作用力と慣性力の合計による仮想仕事が、系の任意の仮想変位に対してゼロであるとき、動的平衡状態にあるとされる。したがって、m個の一般座標を持つn個の剛体系の動的平衡には、任意の 仮想変位集合 δq j に対して、 が成り立つことが必要である。この条件から m 個の方程式が得られ、 これらは次のようにも書ける。結果として得られるの
は、剛体系のダイナミクスを定義するm個の運動方程式であり、 ラグランジュ方程式 または 一般化運動方程式 と呼ばれる 。 δ W = ( Q 1 + Q 1 ∗ ) δ q 1 + ⋯ + ( Q m + Q m ∗ ) δ q m = 0 , {\displaystyle \delta W=(Q_{1}+Q_{1}^{*})\delta q_{1}+\dots +(Q_{m}+Q_{m}^{*})\delta q_{m}=0,} Q j + Q j ∗ = 0 , j = 1 , … , m , {\displaystyle Q_{j}+Q_{j}^{*}=0,\quad j=1,\ldots ,m,} d d t ∂ T ∂ q ˙ j − ∂ T ∂ q j = Q j , j = 1 , … , m . {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=Q_{j},\quad j=1,\ldots ,m.}
一般化された力Q j が位置エネルギー V ( q 1 ,..., q m )から導出できる場合、これらの運動方程式は次の形を取る。 d d t ∂ T ∂ q ˙ j − ∂ T ∂ q j = − ∂ V ∂ q j , j = 1 , … , m . {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}
この場合、 ラグランジアン L = T − V を 導入すると、これらの運動方程式は次のようになります
。 これらは、 m の自由度を持つシステムの オイラー-ラグランジュ方程式、または 2 種類のラグランジュ 方程式として知られています。 d d t ∂ L ∂ q ˙ j − ∂ L ∂ q j = 0 j = 1 , … , m . {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}=0\quad j=1,\ldots ,m.}
変形可能な物体に対する仮想仕事原理 無限個の微分立方体から成る 変形可能な物体 の 自由体図を 考えてみましょう。この物体に、互いに無関係な2つの状態を定義しましょう。
-状態 : これは、外部表面力 T 、体積力 f 、および内部応力が 平衡状態にあることを示します。 σ {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}} σ {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}} -状態 : 連続的な変位 と一貫したひずみを示します 。 ϵ {\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}} u ∗ {\displaystyle \mathbf {u} ^{*}} ϵ ∗ {\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}^{*}} 上付き文字*は、2つの状態が無関係であることを強調しています。上記の条件以外では、状態が実在状態か仮想状態かを指定する必要はありません。
ここで、- 状態の力と応力が- 状態 で 変位 と 変形を 受けると想像してください。 すべての立方体の面に作用するすべての力 によって行われる合計仮想 (虚) 仕事は 、次の 2 つの方法で計算できます。 σ {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}} ϵ {\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}}
2 つの結果を等しくすると、変形可能な物体に対する仮想仕事の原理が導かれます。
Total external virtual work = ∫ V ϵ ∗ T σ d V {\displaystyle {\text{Total external virtual work}}=\int _{V}{\boldsymbol {\epsilon }}^{*T}{\boldsymbol {\sigma }}dV} d
ここで、全外部仮想仕事は T と f によって行われる。したがって、
∫ S u ∗ T T d S + ∫ V u ∗ T f d V = ∫ V ϵ ∗ T σ d V {\displaystyle \int _{S}\mathbf {u} ^{*T}\mathbf {T} dS+\int _{V}\mathbf {u} ^{*T}\mathbf {f} dV=\int _{V}{\boldsymbol {\epsilon }}^{*T}{\boldsymbol {\sigma }}dV} e
( d , e )の右辺は 、しばしば内部仮想仕事と呼ばれます。仮想仕事の原理は、 つり合った力と応力が互いに無関係だが一貫した変位とひずみを受ける場合、外部仮想仕事は内部仮想仕事に等しいと定義されます 。これには、内部仮想仕事がゼロとなる特殊なケースとして、剛体に対する仮想仕事の原理も含まれます。
仮想仕事の原理と平衡方程式の等価性の証明 まず、指定された変形を経る物体の表面牽引によって行われる総作業量を確認します。 ∫ S u ⋅ T d S = ∫ S u ⋅ σ ⋅ n d S {\displaystyle \int _{S}\mathbf {u} \cdot \mathbf {T} dS=\int _{S}\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {n} dS}
発散定理を右辺に適用すると次のようになります。 ∫ S u ⋅ σ ⋅ n d S = ∫ V ∇ ⋅ ( u ⋅ σ ) d V {\displaystyle \int _{S}\mathbf {u\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot n} dS=\int _{V}\nabla \cdot \left(\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right)dV}
導出を容易にするために、指数表記法に切り替えます。 ∫ V ∇ ⋅ ( u ⋅ σ ) d V = ∫ V ∂ ∂ x j ( u i σ i j ) d V = ∫ V ( ∂ u i ∂ x j σ i j + u i ∂ σ i j ∂ x j ) d V {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{V}\nabla \cdot \left(\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right)dV&=\int _{V}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left(u_{i}\sigma _{ij}\right)dV\\&=\int _{V}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}\sigma _{ij}+u_{i}{\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial x_{j}}}\right)dV\end{aligned}}}
導出を続けるために、平衡方程式に を代入します 。すると ∂ σ i j ∂ x j + f i = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial x_{j}}}+f_{i}=0} ∫ V ( ∂ u i ∂ x j σ i j + u i ∂ σ i j ∂ x j ) d V = ∫ V ( ∂ u i ∂ x j σ i j − u i f i ) d V {\displaystyle \int _{V}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}\sigma _{ij}+u_{i}{\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial x_{j}}}\right)dV=\int _{V}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV}
右辺の最初の項は、以下のように対称部分と歪部分に分解する必要があります。 ここで、 は指定された変位場と一致するひずみです。最後から2番目の等式は、応力行列が対称であり、歪行列と対称行列の積がゼロであるという事実から生じます。 ∫ V ( ∂ u i ∂ x j σ i j − u i f i ) d V = ∫ V ( 1 2 [ ( ∂ u i ∂ x j + ∂ u j ∂ x i ) + ( ∂ u i ∂ x j − ∂ u j ∂ x i ) ] σ i j − u i f i ) d V = ∫ V ( [ ϵ i j + 1 2 ( ∂ u i ∂ x j − ∂ u j ∂ x i ) ] σ i j − u i f i ) d V = ∫ V ( ϵ i j σ i j − u i f i ) d V = ∫ V ( ϵ : σ − u ⋅ f ) d V {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{V}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV&=\int _{V}\left({\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)+\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)\right]\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV\\&=\int _{V}\left(\left[\epsilon _{ij}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)\right]\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV\\&=\int _{V}\left(\epsilon _{ij}\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV\\&=\int _{V}\left({\boldsymbol {\epsilon }}:{\boldsymbol {\sigma }}-\mathbf {u} \cdot \mathbf {f} \right)dV\end{aligned}}} ϵ {\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}}
さて、まとめましょう。上記の導出を通して、 ∫ S u ⋅ T d S = ∫ V ϵ : σ d V − ∫ V u ⋅ f d V {\displaystyle \int _{S}\mathbf {u\cdot T} dS=\int _{V}{\boldsymbol {\epsilon }}:{\boldsymbol {\sigma }}dV-\int _{V}\mathbf {u} \cdot \mathbf {f} dV}
方程式の右側の 2 番目の項を左に移動します。 ∫ S u ⋅ T d S + ∫ V u ⋅ f d V = ∫ V ϵ : σ d V {\displaystyle \int _{S}\mathbf {u\cdot T} dS+\int _{V}\mathbf {u} \cdot \mathbf {f} dV=\int _{V}{\boldsymbol {\epsilon }}:{\boldsymbol {\sigma }}dV}
上記の式の物理的な解釈は、 平衡状態の力と応力が無関係だが一貫した変位とひずみを受ける場合、外部仮想仕事は内部仮想仕事に等しくなります 。
実用的なアプリケーション:
実際の応力と力に平衡を課すために、仮想仕事方程式で一貫した仮想変位とひずみを使用します。 一貫した変位とひずみを課すために、仮想仕事方程式で平衡化された仮想応力と力を使用します。 これら2つの一般的なシナリオから、しばしば述べられる2つの変分原理が導き出されます。これらは物質の挙動に関わらず有効です。
仮想変位の原理 目的に応じて、仮想仕事方程式を特殊化することができます。例えば、支持された物体に対する変分表記法における仮想変位の原理を導出するには、次のように指定します。
仮想変位と仮想ひずみは、変分記法など を用いて、実際の変位とひずみの変分として表される。 δ u ≡ u ∗ {\displaystyle \delta \ \mathbf {u} \equiv \mathbf {u} ^{*}} δ ϵ ≡ ϵ ∗ {\displaystyle \delta \ {\boldsymbol {\epsilon }}\equiv {\boldsymbol {\epsilon }}^{*}} 表面のうち、所定の変位が与えられた部分では仮想変位はゼロとなり、したがって反作用によってなされる仕事もゼロとなる。仕事を行う部分には、外力のみが作用する 。 S t {\displaystyle S_{t}} 仮想仕事方程式は仮想変位の原理になります。
∫ S t δ u T T d S + ∫ V δ u T f d V = ∫ V δ ϵ T σ d V {\displaystyle \int _{S_{t}}\delta \ \mathbf {u} ^{T}\mathbf {T} dS+\int _{V}\delta \ \mathbf {u} ^{T}\mathbf {f} dV=\int _{V}\delta {\boldsymbol {\epsilon }}^{T}{\boldsymbol {\sigma }}dV} f
この関係は、変形体における微分要素について書かれた平衡方程式の集合と、表面の 一部における応力境界条件の集合と等価である。逆に、( f )は、微分平衡方程式と における応力境界条件から始めて、( a )および( b )と同様の手順を踏むことで、 必ずしも自明ではないものの到達可能である 。 S t {\displaystyle S_{t}} S t {\displaystyle S_{t}}
仮想変位は連続した 一価 関数 で表される場合 、自動的に適合するため、ひずみと変位の整合性の必要性についてのみ言及することが多い。仮想仕事原理は大きな実変位にも有効であるが、その場合、式( f )はより複雑な応力とひずみの尺度を用いて記述されることになる。
仮想力の原理 ここでは、以下を指定します。
実際の力と応力のバリエーションとしての仮想的な力と応力。 所定の力が与えられた表面の部分では仮想力はゼロとなり 、したがって （変位が与えられた部分では）表面（反作用）力のみが作用します。 S t {\displaystyle S_{t}} S u {\displaystyle S_{u}} 仮想仕事方程式は仮想力の原理になります。
∫ S u u T δ T d S + ∫ V u T δ f d V = ∫ V ϵ T δ σ d V {\displaystyle \int _{S_{u}}\mathbf {u} ^{T}\delta \ \mathbf {T} dS+\int _{V}\mathbf {u} ^{T}\delta \ \mathbf {f} dV=\int _{V}{\boldsymbol {\epsilon }}^{T}\delta {\boldsymbol {\sigma }}dV} グラム
この関係は、ひずみ適合方程式の集合、および部品の変位境界条件の集合と同等です 。これは相補仮想仕事の原理とも呼ばれます。 S u {\displaystyle S_{u}}
仮想力の原理を特殊化したものに 単位ダミー力法が あり、これは構造システムの変位を計算するのに非常に有用です。 ダランベールの原理 によれば、慣性力を追加の体積力として考慮に入れることで、動的システムに適用可能な仮想仕事方程式が得られます。より一般化された原理は、以下のように導出できます。
あらゆる数量の変化を許可します。 ラグランジュ乗数 を使用して 境界条件を課したり、2 つの状態で指定された条件を緩和したりします。 これらはいくつかの参考文献で説明されています。
構造力学における 多くのエネルギー原理の中でも 、仮想仕事原理は、その汎用性により、 構造解析 、 固体力学 、および 構造力学における有限要素法 に強力な応用ができるため、特別な位置を占めています。
参照
参考文献 ^ ab C. Lánczos, The Variational Principles of Mechanics, 4th Ed., General Publishing Co., Canada, 1970 ^ Dym, CLおよびIH Shames、 「固体力学：変分アプローチ」 、McGraw-Hill、1973年。 ^ abcde カペッキ, ダニロ (2012). 仮想労働法の歴史 . サイエンスネットワーク. 歴史研究. 第42巻. ミラノ: シュプリンガー・ミラノ. doi :10.1007/978-88-470-2056-6. ISBN 978-88-470-2055-9 。 ^ ルネ・デュガ『機械工学の歴史』クーリエ社、2012年 ^ TR KaneとDA Levinson著『ダイナミクス：理論と応用』McGraw-Hill、ニューヨーク、1985年 ^ アッシャー, AP (1929). 『機械的発明の歴史』 ハーバード大学出版局 (ドーバー出版 1988年再版). p. 94. ISBN 978-0-486-14359-0 . OCLC 514178 . 2013年 4月7日 閲覧 。 ^ TR KaneとDA Levinson、「ダイナミクス、理論とアプリケーション」、McGraw-Hill、NY、2005年。
外部リンク
参考文献 
![{\displaystyle \delta W=\sum _{k=1}^{f}\left[\left(\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {\phi } _{j}}{\partial q_{k}}}\right)\delta q_{k}\right]=\sum _{k=1}^{f}Q_{k}\delta q_{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0cd60c4c9c6921560a96631a730172280957d62)
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![{\displaystyle Q^{*}=-(M\mathbf {A} )\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}-([I_{R}]\alpha +\omega \times [I_{R}]\omega )\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25089ea7b3a2a88186ff4d1d72f337d170e35376)
![{\displaystyle T={\frac {1}{2}}M\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} +{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/918b678cc8c65f480ff35ddb93888ae75ad23dbe)
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![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{V}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV&=\int _{V}\left({\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)+\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)\right]\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV\\&=\int _{V}\left(\left[\epsilon _{ij}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)\right]\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV\\&=\int _{V}\left(\epsilon _{ij}\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV\\&=\int _{V}\left({\boldsymbol {\epsilon }}:{\boldsymbol {\sigma }}-\mathbf {u} \cdot \mathbf {f} \right)dV\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d59278223ee684a75f9b8effd8329bfbe024ee6b)
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