Probability distribution
ヴォイト 分布 （ ヴォルデマール・ヴォイト にちなんで名付けられた）は、 コーシー・ローレンツ分布 と ガウス分布 の 畳み込み によって与えられる 確率分布である。 分光法 や 回折法 のデータ解析によく用いられる 。
意味 一般性を失うことなく、ゼロでピークとなる中心プロファイルのみを考慮することができます。Voigtプロファイルは次のようになります。
V ( x ; σ , γ ) ≡ ∫ − ∞ ∞ G ( x ′ ; σ ) L ( x − x ′ ; γ ) d x ′ , {\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )\equiv \int _{-\infty }^{\infty }G(x';\sigma )L(x-x';\gamma )\,dx',} ここで、 x は線の中心からのシフトであり、 中心化されたガウスプロファイルです。 G ( x ; σ ) {\displaystyle G(x;\sigma )}
G ( x ; σ ) ≡ e − x 2 2 σ 2 2 π σ , {\displaystyle G(x;\sigma )\equiv {\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}{{\sqrt {2\pi }}\,\sigma }},} これ は中心化されたロレンツプロファイルです。 L ( x ; γ ) {\displaystyle L(x;\gamma )}
L ( x ; γ ) ≡ γ π ( γ 2 + x 2 ) . {\displaystyle L(x;\gamma )\equiv {\frac {\gamma }{\pi (\gamma ^{2}+x^{2})}}.} 定義積分は次のように評価できます。
V ( x ; σ , γ ) = Re [ w ( z ) ] 2 π σ , {\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )={\frac {\operatorname {Re} [w(z)]}{{\sqrt {2\pi }}\,\sigma }},} ここでRe[ w ( z )]は、 Faddeeva関数 の実部であり 、
z = x + i γ 2 σ . {\displaystyle z={\frac {x+i\gamma }{{\sqrt {2}}\,\sigma }}.} および の極限ケースでは 、 は それぞれおよび に簡略化されます 。 σ = 0 {\displaystyle \sigma =0} γ = 0 {\displaystyle \gamma =0} V ( x ; σ , γ ) {\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )} L ( x ; γ ) {\displaystyle L(x;\gamma )} G ( x ; σ ) {\displaystyle G(x;\sigma )}
歴史と応用 分光法において、Voigtプロファイルは2つの広がり機構の畳み込みから生じます。そのうちの1つは単独ではガウスプロファイル（通常は ドップラー広がり の結果として）を生成し、もう1つはロレンツプロファイル（1912年のWaldemar Voigtの原著論文 [1]で考察されているように、放出または吸収の減衰）を生成します。Voigtプロファイルは分光法や 回折 の多くの分野で一般的です。Faddeeva 関数 の計算コストが高いため 、Voigtプロファイルは擬似Voigtプロファイルを使用して近似されることがあります。
プロパティ Voigt プロファイルは正規化されます。
∫ − ∞ ∞ V ( x ; σ , γ ) d x = 1 , {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }V(x;\sigma ,\gamma )\,dx=1,} これは正規化されたプロファイルの畳み込みであるためです。ローレンツプロファイルにはモーメント（ゼロ次モーメント以外）がないため、 コーシー分布 の モーメント生成関数 は定義されません。したがって、フォークトプロファイルにもモーメント生成関数はありませんが、 コーシー分布 の 特性関数は、 正規分布 の特性関数と同様に明確に定義されます 。したがって、（中心化された）フォークトプロファイルの 特性関数 は、次の2つの積になります。
φ f ( t ; σ , γ ) = E ( e i x t ) = e − σ 2 t 2 / 2 − γ | t | . {\displaystyle \varphi _{f}(t;\sigma ,\gamma )=E(e^{ixt})=e^{-\sigma ^{2}t^{2}/2-\gamma |t|}.} 正規分布とコーシー分布は 安定分布 であるため、それぞれ 畳み込み に対して閉じており（スケールの変更を除いて）、したがって、フォークト分布も畳み込みに対して閉じていることになります。
累積分布関数 上記のz の定義を使用すると 、累積分布関数 (CDF) は次のように求められます。
F ( x 0 ; μ , σ ) = ∫ − ∞ x 0 Re ( w ( z ) ) σ 2 π d x = Re ( 1 π ∫ z ( − ∞ ) z ( x 0 ) w ( z ) d z ) . {\displaystyle F(x_{0};\mu ,\sigma )=\int _{-\infty }^{x_{0}}{\frac {\operatorname {Re} (w(z))}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,dx=\operatorname {Re} \left({\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{z(-\infty )}^{z(x_{0})}w(z)\,dz\right).} Faddeeva関数 （スケールされた複素 誤差関数 ）の定義を代入すると、 不定積分は次のようになります。
1 π ∫ w ( z ) d z = 1 π ∫ e − z 2 [ 1 − erf ( − i z ) ] d z , {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int w(z)\,dz={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int e^{-z^{2}}\left[1-\operatorname {erf} (-iz)\right]\,dz,} これを解くと
1 π ∫ w ( z ) d z = erf ( z ) 2 + i z 2 π 2 F 2 ( 1 , 1 ; 3 2 , 2 ; − z 2 ) , {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int w(z)\,dz={\frac {\operatorname {erf} (z)}{2}}+{\frac {iz^{2}}{\pi }}\,_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2}},2;-z^{2}\right),} ここでは 超幾何関数 である。x が 負の無限大に近づくにつれて関数がゼロに近づくためには （累積分布関数がそうするはずであるように）、積分定数 1/2 を加える必要がある。これは Voigt の累積分布関数について以下の式を与える。 2 F 2 {\displaystyle {}_{2}F_{2}}
F ( x ; μ , σ ) = Re [ 1 2 + erf ( z ) 2 + i z 2 π 2 F 2 ( 1 , 1 ; 3 2 , 2 ; − z 2 ) ] . {\displaystyle F(x;\mu ,\sigma )=\operatorname {Re} \left[{\frac {1}{2}}+{\frac {\operatorname {erf} (z)}{2}}+{\frac {iz^{2}}{\pi }}\,_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2}},2;-z^{2}\right)\right].}
非中心化フォイクトプロファイル ガウスプロファイルが を中心とし 、ローレンツプロファイルが を中心とする場合 、畳み込みは を中心とし 、特性関数は次のようになります。 μ G {\displaystyle \mu _{G}} μ L {\displaystyle \mu _{L}} μ V = μ G + μ L {\displaystyle \mu _{V}=\mu _{G}+\mu _{L}}
φ f ( t ; σ , γ , μ G , μ L ) = e i ( μ G + μ L ) t − σ 2 t 2 / 2 − γ | t | . {\displaystyle \varphi _{f}(t;\sigma ,\gamma ,\mu _{\mathrm {G} },\mu _{\mathrm {L} })=e^{i(\mu _{\mathrm {G} }+\mu _{\mathrm {L} })t-\sigma ^{2}t^{2}/2-\gamma |t|}.} 確率密度関数は、中心プロファイルから単純に次のようにオフセットされます 。 μ V {\displaystyle \mu _{V}}
V ( x ; μ V , σ , γ ) = Re [ w ( z ) ] σ 2 π , {\displaystyle V(x;\mu _{V},\sigma ,\gamma )={\frac {\operatorname {Re} [w(z)]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}},} どこ：
z = x − μ V + i γ σ 2 {\displaystyle z={\frac {x-\mu _{V}+i\gamma }{\sigma {\sqrt {2}}}}} 最頻値と中央値は両方とも にあります 。 μ V {\displaystyle \mu _{V}}
デリバティブ 解析的および数値的に得られたVoigt プロファイル (ここでは 、、、 を想定 ) と、 に関する最初の 2 つの偏導関数 (最初の列)、および 3 つのパラメータ 、、 ( それぞれ 2 列目、3 列目、4 列目)。 μ V = 10 {\displaystyle \mu _{V}=10} σ = 1.3 {\displaystyle \sigma =1.3} γ = 2.5 {\displaystyle \gamma =2.5} x {\displaystyle x} μ V {\displaystyle \mu _{V}} σ {\displaystyle \sigma } γ {\displaystyle \gamma } および について上記の定義を用いると 、1次および2次導関数は Faddeeva関数 を用いて次のよう
に表すことができる。 z {\displaystyle z} x c = x − μ V {\displaystyle x_{c}=x-\mu _{V}}
∂ ∂ x V ( x c ; σ , γ ) = − Re [ z w ( z ) ] σ 2 π = − x c σ 2 Re [ w ( z ) ] σ 2 π + γ σ 2 Im [ w ( z ) ] σ 2 π = 1 σ 3 2 π ⋅ ( γ ⋅ Im [ w ( z ) ] − x c ⋅ Re [ w ( z ) ] ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}V(x_{c};\sigma ,\gamma )&=-{\frac {\operatorname {Re} \left[z~w(z)\right]}{\sigma ^{2}{\sqrt {\pi }}}}=-{\frac {x_{c}}{\sigma ^{2}}}{\frac {\operatorname {Re} \left[w(z)\right]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}+{\frac {\gamma }{\sigma ^{2}}}{\frac {\operatorname {Im} \left[w(z)\right]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\\&={\frac {1}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\gamma \cdot \operatorname {Im} \left[w(z)\right]-x_{c}\cdot \operatorname {Re} \left[w(z)\right]\right)\end{aligned}}} そして
∂ 2 ( ∂ x ) 2 V ( x c ; σ , γ ) = x c 2 − γ 2 − σ 2 σ 4 Re [ w ( z ) ] σ 2 π − 2 x c γ σ 4 Im [ w ( z ) ] σ 2 π + γ σ 4 1 π = − 1 σ 5 2 π ⋅ ( γ ⋅ ( 2 x c ⋅ Im [ w ( z ) ] − σ ⋅ 2 π ) + ( γ 2 + σ 2 − x c 2 ) ⋅ Re [ w ( z ) ] ) , {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}}{\left(\partial x\right)^{2}}}V(x_{c};\sigma ,\gamma )&={\frac {x_{c}^{2}-\gamma ^{2}-\sigma ^{2}}{\sigma ^{4}}}{\frac {\operatorname {Re} \left[w(z)\right]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}-{\frac {2x_{c}\gamma }{\sigma ^{4}}}{\frac {\operatorname {Im} \left[w(z)\right]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}+{\frac {\gamma }{\sigma ^{4}}}{\frac {1}{\pi }}\\&=-{\frac {1}{\sigma ^{5}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\gamma \cdot \left(2x_{c}\cdot \operatorname {Im} \left[w(z)\right]-\sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\right)+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-x_{c}^{2}\right)\cdot \operatorname {Re} \left[w(z)\right]\right),\end{aligned}}} それぞれ。
多くの場合、分光法などでは、 非線形最小二乗 法を用いて、 1つまたは複数のフォークトプロファイルおよび／またはそれぞれの導関数を測定信号にフィッティングする必要があります。その後、さらに偏導関数を用いて計算を高速化することができます。 ヤコビ行列を パラメータ 、 、 に関して 有限差分 を用いて 近似する代わりに 、対応する解析式を適用することができます。 および を用いると 、 これらは次のように表されます。 μ V {\displaystyle \mu _{V}} σ {\displaystyle \sigma } γ {\displaystyle \gamma } Re [ w ( z ) ] = ℜ w {\displaystyle \operatorname {Re} \left[w(z)\right]=\Re _{w}} Im [ w ( z ) ] = ℑ w {\displaystyle \operatorname {Im} \left[w(z)\right]=\Im _{w}}
∂ V ∂ μ V = − ∂ V ∂ x = 1 σ 3 2 π ⋅ ( x c ⋅ ℜ w − γ ⋅ ℑ w ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V}{\partial \mu _{V}}}=-{\frac {\partial V}{\partial x}}={\frac {1}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(x_{c}\cdot \Re _{w}-\gamma \cdot \Im _{w}\right)\end{aligned}}} ∂ V ∂ σ = 1 σ 4 2 π ⋅ ( ( x c 2 − γ 2 − σ 2 ) ⋅ ℜ w − 2 x c γ ⋅ ℑ w + γ σ ⋅ 2 π ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V}{\partial \sigma }}={\frac {1}{\sigma ^{4}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\left(x_{c}^{2}-\gamma ^{2}-\sigma ^{2}\right)\cdot \Re _{w}-2x_{c}\gamma \cdot \Im _{w}+\gamma \sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\right)\end{aligned}}} ∂ V ∂ γ = − 1 σ 3 2 π ⋅ ( σ ⋅ 2 π − x c ⋅ ℑ w − γ ⋅ ℜ w ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V}{\partial \gamma }}=-{\frac {1}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}-x_{c}\cdot \Im _{w}-\gamma \cdot \Re _{w}\right)\end{aligned}}} オリジナルのVoigtプロファイルの場合 ; V {\displaystyle V}
∂ V ′ ∂ μ V = − ∂ V ′ ∂ x = − ∂ 2 V ( ∂ x ) 2 = 1 σ 5 2 π ⋅ ( γ ⋅ ( 2 x c ⋅ ℑ w − σ ⋅ 2 π ) + ( γ 2 + σ 2 − x c 2 ) ⋅ ℜ w ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V'}{\partial \mu _{V}}}=-{\frac {\partial V'}{\partial x}}=-{\frac {\partial ^{2}V}{\left(\partial x\right)^{2}}}={\frac {1}{\sigma ^{5}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\gamma \cdot \left(2x_{c}\cdot \Im _{w}-\sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\right)+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-x_{c}^{2}\right)\cdot \Re _{w}\right)\end{aligned}}} ∂ V ′ ∂ σ = 3 σ 6 2 π ⋅ ( − γ σ x c ⋅ 2 2 3 π + ( x c 2 − γ 2 3 − σ 2 ) ⋅ γ ⋅ ℑ w + ( γ 2 + σ 2 − x c 2 3 ) ⋅ x c ⋅ ℜ w ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V'}{\partial \sigma }}={\frac {3}{\sigma ^{6}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(-\gamma \sigma x_{c}\cdot {\frac {2{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi }}}}+\left(x_{c}^{2}-{\frac {\gamma ^{2}}{3}}-\sigma ^{2}\right)\cdot \gamma \cdot \Im _{w}+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-{\frac {x_{c}^{2}}{3}}\right)\cdot x_{c}\cdot \Re _{w}\right)\end{aligned}}} ∂ V ′ ∂ γ = 1 σ 5 2 π ⋅ ( x c ⋅ ( σ ⋅ 2 π − 2 γ ⋅ ℜ w ) + ( γ 2 + σ 2 − x c 2 ) ⋅ ℑ w ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V'}{\partial \gamma }}={\frac {1}{\sigma ^{5}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(x_{c}\cdot \left(\sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}-2\gamma \cdot \Re _{w}\right)+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-x_{c}^{2}\right)\cdot \Im _{w}\right)\end{aligned}}} 1階偏微分の場合 、そして V ′ = ∂ V ∂ x {\displaystyle V'={\frac {\partial V}{\partial x}}}
∂ V ″ ∂ μ V = − ∂ V ″ ∂ x = − ∂ 3 V ( ∂ x ) 3 = − 3 σ 7 2 π ⋅ ( ( x c 2 − γ 2 3 − σ 2 ) ⋅ γ ⋅ ℑ w + ( γ 2 + σ 2 − x c 2 3 ) ⋅ x c ⋅ ℜ w − γ σ x c ⋅ 2 2 3 π ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V''}{\partial \mu _{V}}}=-{\frac {\partial V''}{\partial x}}=-{\frac {\partial ^{3}V}{\left(\partial x\right)^{3}}}=-{\frac {3}{\sigma ^{7}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\left(x_{c}^{2}-{\frac {\gamma ^{2}}{3}}-\sigma ^{2}\right)\cdot \gamma \cdot \Im _{w}+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-{\frac {x_{c}^{2}}{3}}\right)\cdot x_{c}\cdot \Re _{w}-\gamma \sigma x_{c}\cdot {\frac {2{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi }}}}\right)\end{aligned}}} ∂ V ″ ∂ σ = − 1 σ 8 2 π ⋅ ( ( − 3 γ x c σ 2 + γ x c 3 − γ 3 x c ) ⋅ 4 ⋅ ℑ w + ( ( 2 x c 2 − 2 γ 2 − σ 2 ) ⋅ 3 σ 2 + 6 γ 2 x c 2 − x c 4 − γ 4 ) ⋅ ℜ w + ( γ 2 + 5 σ 2 − 3 x c 2 ) ⋅ γ σ ⋅ 2 π ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial V''}{\partial \sigma }}=-{\frac {1}{\sigma ^{8}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \\&\left(\left(-3\gamma x_{c}\sigma ^{2}+\gamma x_{c}^{3}-\gamma ^{3}x_{c}\right)\cdot 4\cdot \Im _{w}+\left(\left(2x_{c}^{2}-2\gamma ^{2}-\sigma ^{2}\right)\cdot 3\sigma ^{2}+6\gamma ^{2}x_{c}^{2}-x_{c}^{4}-\gamma ^{4}\right)\cdot \Re _{w}+\left(\gamma ^{2}+5\sigma ^{2}-3x_{c}^{2}\right)\cdot \gamma \sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\right)\end{aligned}}} ∂ V ″ ∂ γ = − 3 σ 7 2 π ⋅ ( ( γ 2 + σ 2 − x c 2 3 ) ⋅ x c ⋅ ℑ w + ( γ 2 3 + σ 2 − x c 2 ) ⋅ γ ⋅ ℜ w + ( x c 2 − γ 2 − 2 σ 2 ) ⋅ σ ⋅ 2 3 π ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V''}{\partial \gamma }}=-{\frac {3}{\sigma ^{7}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-{\frac {x_{c}^{2}}{3}}\right)\cdot x_{c}\cdot \Im _{w}+\left({\frac {\gamma ^{2}}{3}}+\sigma ^{2}-x_{c}^{2}\right)\cdot \gamma \cdot \Re _{w}+\left(x_{c}^{2}-\gamma ^{2}-2\sigma ^{2}\right)\cdot \sigma \cdot {\frac {\sqrt {2}}{3{\sqrt {\pi }}}}\right)\end{aligned}}} 2階偏導関数 についてです 。 と は の計算において比較的似た役割を果たすため 、それぞれの偏導関数も構造の点では非常に似ていますが、結果的には全く異なる導関数プロファイルとなります。実際、 と に関する偏導関数はどちらも幅パラメータであるため、 より類似性を示しています。 と は計算コストが高いため 、 これらの導関数はすべて単純な演算（乗算と加算）のみで 済みます。 を計算する際に、このように以前の計算を再利用することで、最小限のコストで導出を行うことができます。これは、各勾配について をそれぞれ評価する必要がある 有限差分勾配近似 の場合には当てはまりません 。 V ″ = ∂ 2 V ( ∂ x ) 2 {\displaystyle V''={\frac {\partial ^{2}V}{\left(\partial x\right)^{2}}}} μ V {\displaystyle \mu _{V}} γ {\displaystyle \gamma } z {\displaystyle z} σ {\displaystyle \sigma } γ {\displaystyle \gamma } ℜ w {\displaystyle \Re _{w}} ℑ w {\displaystyle \Im _{w}} w ( z ) {\displaystyle w\left(z\right)} w ( z ) {\displaystyle w\left(z\right)}
フォークト関数 ヴォイト 関数 [2] U 、 V 、 H （ 線広がり関数 と呼ばれることもある）は次のように定義される。
U ( x , t ) + i V ( x , t ) = π 4 t e z 2 erfc ( z ) = π 4 t w ( i z ) , {\displaystyle U(x,t)+iV(x,t)={\sqrt {\frac {\pi }{4t}}}e^{z^{2}}\operatorname {erfc} (z)={\sqrt {\frac {\pi }{4t}}}w(iz),} H ( a , u ) = U ( u a , 1 4 a 2 ) π a , {\displaystyle H(a,u)={\frac {U({\frac {u}{a}},{\frac {1}{4a^{2}}})}{{\sqrt {\pi }}\,a}},} どこ
z = 1 − i x 2 t , {\displaystyle z={\frac {1-ix}{2{\sqrt {t}}}},} erfcは 相補誤差関数 であり、 w ( z )は Faddeeva関数 である。
ヴォイトプロファイルとの関係 V ( x ; σ , γ ) = H ( a , u ) 2 π σ , {\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )={\frac {H(a,u)}{{\sqrt {2\pi }}\,\sigma }},} ガウスシグマ相対変数 と u = x 2 σ {\displaystyle u={\frac {x}{{\sqrt {2}}\,\sigma }}} a = γ 2 σ . {\displaystyle a={\frac {\gamma }{{\sqrt {2}}\,\sigma }}.}
数値近似値
テッパー・ガルシア関数 テッパー ・ガルシア関数は 、メキシコ生まれのドイツ系オーストラリア人天体物理学者トール・テッパー・ガルシアにちなんで名付けられ、指数関数と有理関数の組み合わせであり、 広範囲のパラメータにわたって線広がり関数を近似する。 [3] これは、正確な線広がり関数の
切断された べき級数 展開
から得られる。 H ( a , u ) {\displaystyle H(a,u)}
最も計算効率の高い形式では、 テッパー・ガルシア関数は 次のように表される。
T ( a , u ) = R − ( a / π P ) [ R 2 ( 4 P 2 + 7 P + 4 + Q ) − Q − 1 ] , {\displaystyle T(a,u)=R-\left(a/{\sqrt {\pi }}P\right)~\left[R^{2}~(4P^{2}+7P+4+Q)-Q-1\right]\,,} ここで 、、、 およびです 。 P ≡ u 2 {\displaystyle P\equiv u^{2}} Q ≡ 3 / ( 2 P ) {\displaystyle Q\equiv 3/(2P)} R ≡ e − P {\displaystyle R\equiv e^{-P}}
したがって、線広がり関数は、一次的には、純粋なガウス関数に、吸収媒質の微視的特性（ で符号化されている ）に線形に依存する補正係数を加えたものとして見ることができる。しかし、級数展開における早期の打ち切りの結果として、近似の誤差は依然として のオーダー 、すなわち である 。この近似の相対精度は a {\displaystyle a} a {\displaystyle a} H ( a , u ) ≈ T ( a , u ) + O ( a ) {\displaystyle H(a,u)\approx T(a,u)+{\mathcal {O}}(a)}
ϵ ≡ | H ( a , u ) − T ( a , u ) | H ( a , u ) ≲ 10 − 4 {\displaystyle \epsilon \equiv {\frac {\vert H(a,u)-T(a,u)\vert }{H(a,u)}}\lesssim 10^{-4}} の全波長範囲にわたって 、 である 。この関数は高精度であるだけでなく、 実装も容易で、計算速度も速い。クエーサー吸収線解析の分野で広く用いられている。 [4] H ( a , u ) {\displaystyle H(a,u)} a ≲ 10 − 4 {\displaystyle a\lesssim 10^{-4}} T ( a , u ) {\displaystyle T(a,u)}
擬似フォークト近似 擬似 Voigtプロファイル （または 擬似Voigt関数）は、 ガウス曲線 G ( x )と ローレンツ曲線 L ( x )の 畳み込み の代わりにそれらの 線形結合 を使用してVoigtプロファイル V ( x )を近似したものです 。
擬似フォークト関数は、実験的な スペクトル線の形状 の計算によく使用されます。
正規化された擬似フォークトプロファイルの数学的定義は次のように与えられる。
V p ( x , f ) = η ⋅ L ( x , f ) + ( 1 − η ) ⋅ G ( x , f ) {\displaystyle V_{p}(x,f)=\eta \cdot L(x,f)+(1-\eta )\cdot G(x,f)} と 。 0 < η < 1 {\displaystyle 0<\eta <1} η {\displaystyle \eta } 半値全幅 (FWHM) パラメータ の関数です。
パラメータにはいくつかの選択肢がある 。 [5] [6] [7] [8] 1%の精度の簡単な式は [9] [10]である。 η {\displaystyle \eta }
η = 1.36603 ( f L / f ) − 0.47719 ( f L / f ) 2 + 0.11116 ( f L / f ) 3 , {\displaystyle \eta =1.36603(f_{L}/f)-0.47719(f_{L}/f)^{2}+0.11116(f_{L}/f)^{3},} ここで、はローレンツ関数（ ）、ガウス関数（ ）、および合計関数（ ）の 半値全幅 （FWHM）パラメータの関数です 。合計FWHM（ ）パラメータは次のように表されます。 η {\displaystyle \eta } f L {\displaystyle f_{L}} f G {\displaystyle f_{G}} f {\displaystyle f} f {\displaystyle f}
f = [ f G 5 + 2.69269 f G 4 f L + 2.42843 f G 3 f L 2 + 4.47163 f G 2 f L 3 + 0.07842 f G f L 4 + f L 5 ] 1 / 5 . {\displaystyle f=[f_{G}^{5}+2.69269f_{G}^{4}f_{L}+2.42843f_{G}^{3}f_{L}^{2}+4.47163f_{G}^{2}f_{L}^{3}+0.07842f_{G}f_{L}^{4}+f_{L}^{5}]^{1/5}.}
フォイクトプロファイルの幅 フォークト分布の半値幅 （ FWHM）は、関連するガウス分布とロレンツ分布の幅から求めることができます。ガウス分布のFWHMは
f G = 2 σ 2 ln ( 2 ) . {\displaystyle f_{\mathrm {G} }=2\sigma {\sqrt {2\ln(2)}}.} ロレンツ分布のFWHMは
f L = 2 γ . {\displaystyle f_{\mathrm {L} }=2\gamma .} フォークト、ガウス、ロレンツのプロファイルの幅のおおよその関係（約1.2％以内の精度）は次のとおりです。 [11]
f V ≈ f L / 2 + f L 2 / 4 + f G 2 . {\displaystyle f_{\mathrm {V} }\approx f_{\mathrm {L} }/2+{\sqrt {f_{\mathrm {L} }^{2}/4+f_{\mathrm {G} }^{2}}}.} 構造上、この表現は純粋なガウス分布またはロレンツ分布に対して正確です。
オリベロとロングボサム[12] は0.02%の精度でより良い近似値を与えている （元々はキールコフ [13] によって発見された）。
f V ≈ 0.5343 f L + 0.2169 f L 2 + f G 2 . {\displaystyle f_{\mathrm {V} }\approx 0.5343f_{\mathrm {L} }+{\sqrt {0.2169f_{\mathrm {L} }^{2}+f_{\mathrm {G} }^{2}}}.} 繰り返しますが、この式は純粋なガウス分布またはローレンツ分布に対しては正確です。同じ文献 [12] には、わずかに精度が高い（0.012%以内）ものの、はるかに複雑な式が示されています。
素粒子物理学では、相対論的バージョンのフォークト関数が用いられます。これは、 相対論的ブライト・ウィグナー 分布とガウス分布の畳み込みです。
非対称擬似フォークト関数（マルティネリ関数とも呼ばれる）は、 ピーク位置の両側に異なる幅を持たせることで、 分割正規分布と同様に構築できます。
V p ( x , f ) = η ⋅ L ( x , f ) + ( 1 − η ) ⋅ G ( x , f ) {\displaystyle V_{p}(x,f)=\eta \cdot L(x,f)+(1-\eta )\cdot G(x,f)}
ここで 、 はローレンツ関数の重み、 は分割関数（ に対して 、 に対して ）である。 の極限において、この関数は対称擬フォークト関数に戻る。この関数は 、 共鳴非弾性X線散乱 装置における弾性散乱のモデル化に用いられてきた 。 [14] 0 < η < 1 {\displaystyle 0<\eta <1} f {\displaystyle f} f = f 1 {\displaystyle f=f_{1}} x < 0 {\displaystyle x<0} f = f 2 {\displaystyle f=f_{2}} x ≥ 0 {\displaystyle x\geq 0} f 1 → f 2 {\displaystyle f_{1}\rightarrow f_{2}}
参考文献 ^ Voigt、Woldemar、1912 年、「Das Gesetz der Intensitätsverteilung innerhalb der Linien eines Gasspectrums」、Sitzungsbericht der Bayerischen Akademie der Wissenschaften、25、603 ^ Temme, NM (2010)、「Voigt関数」、 Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.)、 NIST Handbook of Mathematical Functions 、Cambridge University Press、 ISBN 978-0-521-19225-5 、 MR 2723248 。 ^ Tepper-García, Thorsten (2006). 「クエーサー吸収線へのVoigtプロファイルフィッティング：Voigt-Hjerting関数の解析的近似」 Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 369 (4): 2025– 2035. arXiv : astro-ph/0602124 . Bibcode :2006MNRAS.369.2025T. doi : 10.1111/j.1365-2966.2006.10450.x . S2CID 16981310. ^ SAO/NASA天体物理学データシステム（ADS）で見つかった引用リスト：https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/2006MNRAS.369.2025T/citations ^ Wertheim GK, Butler MA, West KW, Buchanan DN (1974). 「実験的線形のガウス分布とローレンツ分布の定量化」 Review of Scientific Instruments . 45 (11): 1369– 1371. Bibcode :1974RScI...45.1369W. doi :10.1063/1.1686503. ^ Sánchez-Bajo, F.; FL Cumbrera (1997年8月). 「X線線広がり解析における分散法における擬似フォークト関数の利用」. Journal of Applied Crystallography . 30 (4): 427– 430. Bibcode :1997JApCr..30..427S. doi :10.1107/S0021889896015464. ^ Liu Y, Lin J, Huang G, Guo Y, Duan C (2001). 「Voigtプロファイルへの単純な経験的解析的近似」. JOSA B. 18 ( 5): 666– 672. Bibcode :2001JOSAB..18..666L. doi :10.1364/josab.18.000666. ^ Di Rocco HO, Cruzado A (2012). 「重み係数が幅比のみに依存する場合の、ガウス関数とローレンツ関数の和としてのVoigtプロファイル」. Acta Physica Polonica A. 122 ( 4): 666– 669. Bibcode :2012AcPPA.122..666D. doi : 10.12693/APhysPolA.122.666 . ISSN 0587-4246. ^ 井田 剛志、安藤 正之、虎谷 秀一 (2000). 「Voigt プロファイルを近似するための拡張擬似Voigt関数」. Journal of Applied Crystallography . 33 (6): 1311– 1316. doi :10.1107/s0021889800010219. S2CID 55372305. ^ P. Thompson, DE Cox, JB Hastings (1987). 「Al 2 O 3 からのデバイ・シェラーシンクロトロンX線データのリートフェルト精密化 」. Journal of Applied Crystallography . 20 (2): 79– 83. Bibcode :1987JApCr..20...79T. doi :10.1107/S0021889887087090. ^ Whiting, EE (1968年6月). 「Voigtプロファイルへの経験的近似」. Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer . 8 (6): 1379– 1384. Bibcode :1968JQSRT...8.1379W. doi :10.1016/0022-4073(68)90081-2. ISSN 0022-4073. ^ ab Olivero, JJ; Longbothum, RL (1977年2月). 「Voigt線幅への経験的適合：簡潔なレビュー」. Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer . 17 (2): 233– 236. Bibcode :1977JQSRT..17..233O. doi :10.1016/0022-4073(77)90161-3. ISSN 0022-4073. ^ Kielkopf, John F. (1973). 「Voigt関数の新しい近似とスペクトル線プロファイル解析への応用」 アメリカ光学会誌 . 63 (8): 987. Bibcode :1973JOSA...63..987K. doi :10.1364/JOSA.63.000987. ^ Martinelli, Leonardo (2025). 「銅酸化物超伝導体における一軸ひずみによる静的および動的電荷相関の分離」. Physical Review B. 112 L041124 . Bibcode :2025PhRvB.112d1124M. doi : 10.1103/n834-dkyh .
外部リンク https://jugit.fz-juelich.de/mlz/libcerf は、複雑な誤差関数の数値 C ライブラリであり、約 13 ～ 14 桁の精度を持つ 関数 voigt(x, sigma, gamma)を提供します。
離散 一変数
連続 一変量
制限された間隔 でサポートされている 半無限 間隔 でサポートされている 実数直線 全体で サポートされている さまざまなタイプの サポート付き
混合 単変量
多変量 （ジョイント） 方向性 退化 と 特異性 家族
![{\displaystyle {\frac {\Re [w(z)]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}},~~~z={\frac {x+i\gamma }{\sigma {\sqrt {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d32b81cec7e6bba1f2c5ce2b2dbd4469531d9d53)
![{\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )={\frac {\operatorname {Re} [w(z)]}{{\sqrt {2\pi }}\,\sigma }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09078935f729902c72d9b1b64d2a2a2291873cd3)
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int w(z)\,dz={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int e^{-z^{2}}\left[1-\operatorname {erf} (-iz)\right]\,dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8b31c51050bbf533103cf874be6e747d453866a)
![{\displaystyle F(x;\mu,\sigma)=\operatorname {Re} \left[{\frac {1}{2}}+{\frac {\operatorname {erf} (z)}{2}}+{\frac {iz^{2}}{\pi }}\,_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2}},2;-z^{2}\right)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5d07a432fe757810dd141d270667d705e7a8258)
![{\displaystyle V(x;\mu _{V},\sigma ,\gamma )={\frac {\operatorname {Re} [w(z)]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b086dff7ca0535412fbf35f180caec20ba8c8e9a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial}{\partial x}}V(x_{c};\sigma ,\gamma )&=-{\frac {\operatorname {Re} \left[z~w(z)\right]}{\sigma ^{2}{\sqrt {\pi }}}}=-{\frac {x_{c}}{\sigma ^{2}}}{\frac {\operatorname {Re} \left[w(z)\right]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}+{\frac {\gamma }{\sigma ^{2}}}{\frac {\operatorname {Im} \left[w(z)\right]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\\&={\frac {1}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\gamma \cdot \operatorname {Im} \left[w(z)\right]-x_{c}\cdot \operatorname {Re} \left[w(z)\right]\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5daf037d7e2e1e09cf479761cb8377e3e4e06a97)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}}{\left(\partial x\right)^{2}}}V(x_{c};\sigma ,\gamma )&={\frac {x_{c}^{2}-\gamma ^{2}-\sigma ^{2}}{\sigma ^{4}}}{\frac {\operatorname {Re} \left[w(z)\right]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}-{\frac {2x_{c}\gamma }{\sigma ^{4}}}{\frac {\operatorname {Im} \left[w(z)\right]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}+{\frac {\gamma }{\sigma ^{4}}}{\frac {1}{\pi }}\\&=-{\frac {1}{\sigma ^{5}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\gamma \cdot \left(2x_{c}\cdot \operatorname {Im} \left[w(z)\right]-\sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\right)+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-x_{c}^{2}\right)\cdot \operatorname {Re} \left[w(z)\right]\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87d3c80969d05caae1ee85d195675c55a926cf59)
![{\displaystyle \operatorname {Re} \left[w(z)\right]=\Re _{w}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a419322625df866fc852ff4ae7b5970c1ff3605b)
![{\displaystyle \operatorname {Im} \left[w(z)\right]=\Im _{w}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daf2fdac80435ccb39a7355f48e8a67ad2496b08)
![{\displaystyle T(a,u)=R-\left(a/{\sqrt {\pi }}P\right)~\left[R^{2}~(4P^{2}+7P+4+Q)-Q-1\right]\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c16f22985123d8564e3fc8b56c1ba678dee9ada5)
![{\displaystyle f=[f_{G}^{5}+2.69269f_{G}^{4}f_{L}+2.42843f_{G}^{3}f_{L}^{2}+4.47163f_{G}^{2}f_{L}^{3}+0.07842f_{G}f_{L}^{4}+f_{L}^{5}]^{1/5}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3ab3f98234264eaebccd47e51e399110e699301)
