ワバの問題

応用数学において、ワーバの問題は、1965年にグレース・ワーバによって初めて提起され、（重み付けされた）ベクトル観測値の集合から、2つの座標系間の回転行列（特殊直交行列）を求める問題です。ワーバの問題の解は、磁力計やマルチアンテナGPS受信機などのセンサーを用いた衛星姿勢決定においてしばしば用いられます。ワーバの問題が最小化しようとするコスト関数は以下のとおりです。

${\displaystyle J(\mathbf {R} )={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}a_{k}\|\mathbf {w} _{k}-\mathbf {R} \mathbf {v} _{k}\|^{2}}$のために ${\displaystyle N\geq 2}$

ここで、は参照フレームにおけるk番目の3ベクトル測定値、はボディフレームにおける対応するk番目の3ベクトル測定値、は座標フレーム間の3行3列の回転行列です。^{[ 1 ]}は各観測値に対する任意の重みのセットです。 ${\displaystyle \mathbf {w} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle a_{k}}$

この問題に対する多くの解法が文献に発表されており、特にダベンポートのq法、^{[ 2 ]} QUEST法、特異値分解（SVD）に基づく手法が挙げられます。ワーバ問題を解くためのいくつかの手法は、マークリーとモルタリによって議論されています。

これは直交プロクラステス問題の別の定式化である（対応する重みの平方根を乗じたすべてのベクトルを、N列の2つの行列の列として考えることで、別の定式化が得られる）。簡潔で洗練された導出はAppel (2015)に示されている。^{[ 3 ]}

SVDによるソリューション

1 つの解決策は、特異値分解 (SVD) を使用して見つけることができます。

1. 次のようにして行列を取得します。 ${\displaystyle \mathbf {B} }$

${\displaystyle \mathbf {B} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {w} _{i}{\mathbf {v} _{i}}^{T}}$

2.特異値分解を求める ${\displaystyle \mathbf {B} }$

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {U} \mathbf {S} \mathbf {V} ^{T}}$

3. 回転行列は単純に次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {U} \mathbf {M} \mathbf {V} ^{T}}$

どこ ${\displaystyle \mathbf {M} =\operatorname {diag} ({\begin{bmatrix}1&1&\det(\mathbf {U} )\det(\mathbf {V} )\end{bmatrix}})}$

注記

1. 問題の定義における回転は。 ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{T}}$
2. 「DavenportのQ法（点サンプル集合に一致する向きの検出）」 Mathematics Stack Exchange . 2020年7月23日閲覧。
3. Appel, M. 「到着方向推定に基づく堅牢なスプーフィング検出と軽減」（PDF） Ion GNSS+ 2015 28ページ。

参考文献

• ワバ、G. 問題65–1：衛星姿勢の最小二乗推定、SIAMレビュー、1965年、7(3)、409
• シュスター、MDおよびオー、SD「ベクトル観測による3軸姿勢決定」、ガイダンス・アンド・コントロール誌、1981年、4(1):70–77
• マークリー、FL「ベクトル観測と特異値分解を用いた姿勢決定」、宇宙科学ジャーナル、1988年、38:245–258
• Markley, FLとMortari, D.ベクトル観測を用いたクォータニオン姿勢推定、Journal of the Astronautical Sciences、2000年、48(2):359–380
• Markley, FLおよびCrassidis, JL 『宇宙船の姿勢決定と制御の基礎』Springer 2014
• Libbus, B.、Simons, G.、Yao, Y. 「ラベル付き点の複数セットを回転させて近接一致させる：一般化ワバ問題」アメリカ数学月刊誌、2017年、124(2):149–160
• Lourakis, M. および Terzakis, G. 「効率的な絶対方向の再考」、IEEE/RSJ 国際知能ロボット・システム会議 (IROS)、2018 年、pp. 5813-5818。

参照

• トライアド法
• カブシュアルゴリズム
• 直交プロクルステス問題

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