ウォルキスト液

一般相対性理論において、ワールキスト流体は、一定の重力質量密度に対応する状態方程式を持つアインシュタイン方程式の正確な回転完全流体解です

はじめに

ウォールキスト流体は、1968年にヒューゴ・D・ウォールキストによって初めて発見されました。^[1]これは、一般相対論において知られている数少ない回転完全流体の正確な解の一つです。この解は、回転がゼロの極限において静的ウィテカー計量に帰着します

ワールキスト流体の計量は次のように与えられます。

ds^{2}=f(dt-{\tilde {A}}d\varphi )^{2}-r_{0}^{2}(\zeta ^{2}+\xi ^{2})[{\frac {d\zeta ^{2}}{(1-{\tilde {k}}^{2}\zeta ^{2}){\tilde {h}}_{1}}}+{\frac {d\xi ^{2}}{(1+{\tilde {k}}^{2}\xi ^{2}){\tilde {h}}_{2}}}+{\frac {{\tilde {h}}_{1}{\tilde {h}}_{2}}{{\tilde {h}}_{1}-{\tilde {h}}_{2}}}d\varphi ^{2}]

ここで

f={\frac {{\tilde {h}}_{1}-{\tilde {h}}_{2}}{\zeta ^{2}+\xi ^{2}}}

{\tilde {A}}=r_{0}({\frac {\xi ^{2}{\tilde {h}}_{1}+\zeta ^{2}{\tilde {h}}_{2}}{{\tilde {h}}_{1}-{\tilde {h}}_{2}}}-\xi _{A}^{2})

{\tilde {h}}_{1}(\zeta )=1+\zeta ^{2}+{\frac {\zeta }{\kappa ^{2}}}[\zeta _{+}{\frac {1}{\tilde {k}}}{\sqrt {1-{\tilde {k}}^{2}\zeta ^{2}}}\arcsin({\tilde {k}}\zeta )]

{\tilde {h}}_{2}(\xi )=1-\xi ^{2}-{\frac {\xi }{\kappa ^{2}}}[\xi _{-}{\frac {1}{\tilde {k}}}{\sqrt {1+{\tilde {k}}^{2}\xi ^{2}}}\sinh ^{-1}({\tilde {k}}\xi )]

はによって定義されます。これは、が定数である状態方程式を持つ解です $\xi _{A}$ ${\tilde {h}}_{2}(\xi _{A})=0$ $\mu +3p=\mu _{0}$ $\mu _{0}$

ワールキスト流体の圧力と密度は次のように表されます

p={\frac {1}{2}}\mu _{0}(1-\kappa ^{2}f)

\mu ={\frac {1}{2}}\mu _{0}(3\kappa ^{2}f-1)

流体の消失圧力面は扁長で、物理的な回転星が扁平であるのとは対照的です。ワールキスト流体は時空の漸近平坦領域には対応できないことが示されています。^[2]

^ Wahlquist, Hugo D. (1968). 「完全流体の有限回転体の内部解」. Physical Review . 172 (5): 1291–1296 . Bibcode :1968PhRv..172.1291W. doi :10.1103/PhysRev.172.1291
^ ブラッドリー, マイケル; フォドール, ギュラ; マークルンド, マティアス; ペルジェス, ゾルタン (2000). 「ワールキスト計量は孤立回転体を記述できない」.古典重力と量子重力. 17 (2): 351– 359. arXiv : gr-qc/9910001 . Bibcode :2000CQGra..17..351B. doi :10.1088/0264-9381/17/2/306. S2CID 2911496.