ウォルシュ関数

Concept in mathematics

16次の自然順序アダマール行列（中央の行列）を連続順序付けして ウォルシュ行列（右の行列）を出力する。
どちらの行列も、16次のウォルシュ関数を行（および列）として16個含んでいる。
右の行列では、行ごとに符号が変化する回数が連続している。

数学、より具体的には調和解析において、ウォルシュ関数は任意の離散関数を表すのに使用できる完全な直交関数の集合を形成します。これは、フーリエ解析において任意の連続関数を表すのに三角関数を使用できるのと同じです。^{[1]したがって、ウォルシュ関数は、}単位区間 における連続したアナログ三角関数系の離散的なデジタル版と見ることができます。ただし、連続である正弦関数や余弦関数とは異なり、ウォルシュ関数は区分的に一定です。ウォルシュ関数は、二項分数で定義される部分区間で、-1 と +1 のみの値を取ります。

ウォルシュ関数系はウォルシュシステムとして知られています。これはラデマッハ直交関数系の拡張です。 ^[2]

ウォルシュ関数、ウォルシュシステム、ウォルシュ級数^[3]、高速ウォルシュ・アダマール変換はすべて、アメリカの数学者ジョセフ・L・ウォルシュにちなんで名付けられました。これらは、物理学や工学においてデジタル信号の解析に広く応用されています。

歴史的に、ウォルシュ関数の様々な記数法が用いられてきましたが、どれが特に優れているというわけではありません。この記事では、ウォルシュ・ペイリー記数法を使用します。

意味

ウォルシュ関数のシーケンスを次のように定義します。 ${\displaystyle W_{k}:[0,1]\rightarrow \{-1,1\}}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$

任意の自然数 kと実数 に対して、 ${\displaystyle x\in [0,1]}$

${\displaystyle k_{j}}$をkの2進表現におけるj番目のビットとし、最下位ビットをjとする。 ${\displaystyle k_{0}}$

${\displaystyle x_{j}}$を最上位小数ビットとして、の小数2進表現のj番目のビットとします。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{1}}$

そして、定義により

${\displaystyle W_{k}(x)=(-1)^{\sum _{j=0}^{\infty }k_{j}x_{j+1}}}$

特に、区間上のどこでも、kのすべてのビットはゼロです。 ${\displaystyle W_{0}(x)=1}$

はまさにラデマッハ関数r _mであることに注目してください。したがって、ラデマッハ系はウォルシュ系のサブシステムです。さらに、すべてのウォルシュ関数はラデマッハ関数の積です。 ${\displaystyle W_{2^{m}}}$

${\displaystyle W_{k}(x)=\prod _{j=0}^{\infty }r_{j}(x)^{k_{j}}}$

ウォルシュ関数と三角関数の比較

ウォルシュ関数と三角関数はどちらも、単位区間上の二乗可積分関数のヒルベルト空間における正規直交基底となる、完全な正規直交関数の集合を形成する系である。どちらも、例えばハール系やフランクリン系 とは異なり、有界関数の系である。 ${\displaystyle L^{2}[0,1]}$

三角法とウォルシュ法はどちらも、周期性によって単位区間から実数直線への自然な拡張が可能です。さらに、単位区間（フーリエ級数）上のフーリエ解析と実数直線（フーリエ変換）上のフーリエ解析はどちらも、ウォルシュ法によって定義されたデジタル版を持ちます。ウォルシュ級数はフーリエ級数に、アダマール変換はフーリエ変換に類似しています。

プロパティ

ウォルシュ系は、カントール群のポンチャギン双対に同型なアーベル乗法離散群である。その恒等元は であり、すべての元は位数2（すなわち自己逆元）である。 ${\displaystyle \{W_{k}\},k\in \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle \coprod _{n=0}^{\infty }\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \prod _{n=0}^{\infty }\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle W_{0}}$

ウォルシュシステムはヒルベルト空間の直交基底である。直交性とは ${\displaystyle L^{2}[0,1]}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}W_{k}(x)W_{l}(x)dx=\delta _{kl}}$、

が基底であるということは、任意の に対して、 と設定すれば、 ${\displaystyle f\in L^{2}[0,1]}$ ${\displaystyle f_{k}=\int _{0}^{1}f(x)W_{k}(x)dx}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}(f(x)-\sum _{k=0}^{N}f_{k}W_{k}(x))^{2}dx\;\ {\xrightarrow[{N\rightarrow \infty }]{}}\;\ 0}$

あらゆる に対して、級数はほぼあらゆる に対してに収束することがわかります。 ${\displaystyle f\in L^{2}[0,1]}$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }f_{k}W_{k}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x\in [0,1]}$

ウォルシュシステム（ウォルシュ・ペイリー記法）は、 、   においてシャウダー基底を形成します。ハールシステムや三角法とは異なり、この基底は無条件ではなく、またシステムは においてシャウダー基底ではないことに注意してください。 ${\displaystyle L^{p}[0,1]}$ ${\displaystyle 1<p<\infty }$ ${\displaystyle L^{1}[0,1]}$

一般化

ウォルシュ・フェレガーシステム

をハール測度を持つコンパクトカントール群とし、をその離散指標群とする。 の元はウォルシュ関数と容易に同一視できる。もちろん、指標は 上で定義され、ウォルシュ関数は単位区間上で定義されているが、これらの測度空間の間には法零同型性が存在するため、それらの上の可測関数は等長変換を介して同一視される。 ${\displaystyle \mathbb {D} =\prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbb {D} }}=\coprod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbb {D} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$

そして、基本的な表現理論は、ウォルシュシステムの概念の次のような広範な一般化を示唆しています。

任意のバナッハ空間に対し、 Xへの の強連続かつ一様有界な忠実作用を考える。任意の に対して、その固有空間を考える。すると、 Xは固有空間の閉線形張力である。任意の固有空間が1次元であると仮定し、となるような元を選ぶ。すると、系、あるいはウォルシュ・ペイリーの指標における同じ系は、作用 に関連する一般化ウォルシュ系と呼ばれる。古典的なウォルシュ系は特別な場合となり、すなわち、 に対して ${\displaystyle (X,||\cdot ||)}$ ${\displaystyle \{R_{t}\}_{t\in \mathbb {D} }\subset \operatorname {Aut} X}$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle \gamma \in {\hat {\mathbb {D} }}}$ ${\displaystyle X_{\gamma }=\{x\in X:R_{t}x=\gamma (t)x\}}$ ${\displaystyle X={\overline {\operatorname {Span} }}(X_{\gamma },\gamma \in {\hat {\mathbb {D} }})}$ ${\displaystyle w_{\gamma }\in X_{\gamma }}$ ${\displaystyle \|w_{\gamma }\|=1}$ ${\displaystyle \{w_{\gamma }\}_{\gamma \in {\hat {\mathbb {D} }}}}$ ${\displaystyle \{w_{k}\}_{k\in {\mathbb {N} }_{0}}}$ ${\displaystyle \{R_{t}\}_{t\in \mathbb {D} }}$

${\displaystyle R_{t}:x=\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}2^{-j}\mapsto \sum _{j=1}^{\infty }(x_{j}\oplus t_{j})2^{-j}}$

ここで、2 を法とする加算です。 ${\displaystyle \oplus }$

1990年代初頭、セルジュ・フェルレジェとフョードル・スコチェフは、バナッハ空間の広いクラス（いわゆるUMD空間^[4] ）において、一般化ウォルシュ系が古典的なものと多くの類似した性質を持つことを示した。すなわち、それらは空間内でシャウダー基底^[5]と均一な有限次元分解^{[6]を形成し、ランダム無条件収束[7]の性質を持つ。一般化ウォルシュ系の重要な例の1つは、}超有限タイプII因子に関連する非可換L ^p空間におけるフェルミオンウォルシュ系である。

フェルミオンウォルシュシステム

フェルミオン・ウォルシュ系は、古典ウォルシュ系の非可換性、すなわち「量子」的な類似体です。古典ウォルシュ系とは異なり、関数ではなく作用素で構成されています。しかしながら、両系は多くの重要な性質を共有しています。例えば、対応するヒルベルト空間では直交基底を形成し、対応する対称空間ではシャウダー基底を形成します。フェルミオン・ウォルシュ系の元はウォルシュ作用素と呼ばれます。

系の名前に含まれる「フェルミオン」という用語の意味は、包絡演算子空間、いわゆる超有限II型因子が、可算無限個の異なる スピンフェルミオンからなる系の観測可能な空間と見なせるという事実によって説明される。各ラデマッハ演算子は特定のフェルミオン座標にのみ作用し、そこではパウリ行列となる。これは、スピン空間の軸の1つに沿った、そのフェルミオンのスピン成分を測定する観測可能なものと同一視できる。したがって、ウォルシュ演算子は、フェルミオンのサブセットのスピンを、それぞれ自身の軸に沿って測定する。 ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle \{x,y,z\}}$

ヴィレンキンシステム

整数列を固定し、積位相と正規化ハール測度が与えられたとする。と を定義する。それぞれは実数と関連付けられる。 ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},...)}$ ${\displaystyle \alpha _{k}\geq 2,k=1,2,\dots }$ ${\displaystyle \mathbb {G} =\mathbb {G} _{\alpha }=\prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /\alpha _{k}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle A_{0}=1}$ ${\displaystyle A_{k}=\alpha _{1}\alpha _{2}\dots \alpha _{k-1}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {G} }$

${\displaystyle \left|x\right|=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x_{k}}{A_{k}}}\in \left[0,1\right].}$

この対応は、 と単位区間の間の加群零同型である。また、 の位相を生成するノルムも定義する。 について、 とすると、 ${\displaystyle \mathbb {G} }$ ${\displaystyle \mathbb {G} }$ ${\displaystyle k=1,2,\dots }$ ${\displaystyle \rho _{k}:\mathbb {G} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \rho _{k}(x)=\exp \left(i{\frac {2\pi x_{k}}{\alpha _{k}}}\right)=\cos \left({\frac {2\pi x_{k}}{\alpha _{k}}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi x_{k}}{\alpha _{k}}}\right).}$

この集合は一般化ラデマッハ系と呼ばれる。ヴィレンキン系はの（複素数値）指標の群であり、これらはすべて の有限積である。各非負整数に対して、とを満たす一意の列が存在する。 ${\displaystyle \{\rho _{k}\}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbb {G} }}=\coprod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /\alpha _{k}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {G} }$ ${\displaystyle \{\rho _{k}\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n_{0},n_{1},\dots }$ ${\displaystyle 0\leq n_{k}<\alpha _{k+1},k=0,1,2,\dots }$

${\displaystyle n=\sum _{k=0}^{\infty }n_{k}A_{k}.}$

ではどこで ${\displaystyle {\hat {\mathbb {G} }}={\chi _{n}|n=0,1,\dots }}$

${\displaystyle \chi _{n}=\sum _{k=0}^{\infty }\rho _{k+1}^{n_{k}}.}$

特に、 の場合、 はカンター群であり、は（実数値）ウォルシュ・ペイリー系です。 ${\displaystyle \alpha _{k}=2,k=1,2...}$ ${\displaystyle \mathbb {G} }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbb {G} }}=\left\{\chi _{n}|n=0,1,\dots \right\}}$

ヴィレンキン系は 上の完全な直交系であり、上のシャウダー基底を形成する。[  ^8] ${\displaystyle \mathbb {G} }$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {G} ,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle 1<p<\infty }$

非線形位相拡張

離散ウォルシュ・アダマール変換の非線形位相拡張が開発されました。相互相関特性が改善された非線形位相基底関数は、符号分割多元接続（CDMA）通信において従来のウォルシュ符号を大幅に上回る性能を示すことが示されました。^[9]

アプリケーション

ウォルシュ関数の応用は、音声認識、医療および生物学的画像処理、デジタル ホログラフィーなど、数字表現が使用されるあらゆる場面で見られます。

例えば、高速ウォルシュ・アダマール変換（FWHT）は、デジタル準モンテカルロ法の解析に用いられることがあります。電波天文学では、ウォルシュ関数はアンテナ信号間の電気的クロストークの影響を低減するのに役立ちます。また、パッシブLCDパネルでは、オフ状態のピクセルにおけるXとYの自己相関を最小化できるXとYのバイナリ駆動波形として用いられます。

参照

• 離散フーリエ変換
• 二項微分
• 高速フーリエ変換
• 調和解析
• 直交関数
• ウォルシュ行列
• パリティ関数

注記

1. ウォルシュ 1923.
2. 1949年罰金。
3. シップ、ウェイド、サイモン 1990.
4. ピシエ 2011.
5. スコチェフ＆フェルレガー 1995.
6. フェルレガー＆スコチェフ 1996.
7. フェルレガー 1998.
8. ヤング 1976
9. AN Akansu、R. Poluri、「直接拡散CDMA通信のためのWalsh型非線形位相直交符号」、IEEE Trans. Signal Process、vol. 55、no. 7、pp. 3800–3806、2007年7月。

参考文献

• Ferleger, Sergei V. (1998年3月). 非可換対称空間におけるRUCシステム（技術レポート）. MP-ARC-98-188.
• Ferleger, Sergei V.; Sukochev, Fyodor A. (1996年3月). 「反射的非可換Lp空間の線型群の点への縮約可能性について」.ケンブリッジ哲学協会数学紀要. 119 (3​​): 545–560 . Bibcode :1996MPCPS.119..545F. doi :10.1017/s0305004100074405. S2CID  119786894.
• Fine, NJ (1949). 「ウォルシュ関数について」. Trans. Amer. Math. Soc . 65 (3): 372– 414. doi : 10.1090/s0002-9947-1949-0032833-2 .
• ピシエ、ジル (2011). バナッハ空間におけるマルチンゲール（タイプとコタイプとの関連）. コースIHP (PDF) .
• シップ、フェレンツ。ウェイド、WR。サイモン、P. (1990)。ウォルシュシリーズ。二項調和解析の概要。アカデミアイ・キアド。
• Sukochev, Fyodor A.; Ferleger, Sergei V. (1995年12月). 「(UMD)空間における調和解析：基底理論への応用」.数学ノート. 58 (6): 1315– 1326. doi :10.1007/bf02304891. S2CID  121256402.
• Walsh, JL (1923). 「正規直交関数の閉集合」. Amer. J. Math. 45 (1): 5– 24. doi :10.2307/2387224. JSTOR  2387224. S2CID  6131655.
• Young, W.-S. (1976). 「一般化ウォルシュ・フーリエ級数の平均収束」. Trans. Amer. Math. Soc. 218 : 311–320 . doi : 10.1090/s0002-9947-1976-0394022-8 . JSTOR  1997441. S2CID  53755959.

外部リンク

• 「ウォルシュ関数」。MathWorld。

• 「ウォルシュ関数」。数学百科事典。

• 「ウォルシュシステム」。数学百科事典。

• 「ウォルシュ関数」スタンフォード探査プロジェクト。

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Walsh_function&oldid=1321323421"