Short "burst" or "envelope" of restricted wave action that travels as a unit
分散せずに伝播する波束のループアニメーション：位相が変化してもエンベロープは維持されます 物理学 において 、 波束（ 波列 または 波群 とも呼ばれる）とは、 包絡線 によって囲まれた単位として伝播する、局所的な波動作用の短いバーストである 。波束は、 異なる 波数を持つ、潜在的に無限の 正弦波 成分の集合に分解したり、合成したりすることができる。これらの正弦波成分は、位相と振幅が空間の狭い領域でのみ建設的に干渉し、それ以外の領域では破壊的に干渉する。 [1] 時間または空間において限られた幅を持つ信号は、中心周波数の周囲に、 その幅に反比例する 帯域幅内に多くの周波数成分を必要とする。 ガウス関数でさえ、その フーリエ変換 が中心周波数の周りに集まった周波数の波の「束」である ため、波束とみなされる。 [2] 各成分 波動関数 、つまり波束は、 波動方程式 の解である。波動方程式に応じて、波束のプロファイルは一定（分散なし）のままである場合もあれば、伝播中に変化する（分散あり）場合もある。
歴史的背景 波束に関する概念（ 変調 、 搬送波 、 位相速度 、 群速度 ）は1800年代半ばに遡ります。波の位相速度とは異なる群速度の概念は、 1839年に WRハミルトンによって初めて提唱され、 レイリーが 1877年に著した「音響理論」の中で 初めて本格的に扱われました。 [3]
エルヴィン・シュレーディンガーは有名な 波動方程式 を発表した直後に波束の概念を導入した 。 [4] 彼は 量子調和振動子 の波動方程式を解き、 重ね合わせの原理 を導入し、それを用いてコンパクトな状態が持続できることを示した。この研究はコヒーレント 状態 という重要な概念をもたらしたが、波束の概念は長続きしなかった。シュレーディンガーの論文の翌年、 ヴェルナー・ハイゼンベルクは 不確定性原理 に関する論文を発表し 、その過程でシュレーディンガーの結果は 量子調和振動子 にのみ適用され、例えば原子の クーロンポテンシャル 特性には適用されないことを示した。 [4] : 829
翌年、1927年、 チャールズ・ゴルトン・ダーウィンは、 初期のガウス波束を仮定して、自由空間における束縛されていない電子に対する シュレーディンガー方程式 を研究した。 [5] ダーウィンは、ある 速度で移動する波束の 位置が 、 t {\displaystyle t} x {\displaystyle x} v {\displaystyle v}
x 0 + v t ± σ 2 + ( h t / 2 π σ m ) 2 {\displaystyle x_{0}+vt\pm {\sqrt {\sigma ^{2}+(ht/2\pi \sigma m)^{2}}}}
初期位置の不確実性は どこにありますか。 σ {\displaystyle \sigma }
1927年後半、 ポール・エーレンフェストは 、幅 と質量の 物質 波 束が2倍に広がるのにかかる 時間は であると示した 。 は非常に小さいため、大きな幅と質量を持つ巨視的物体スケールの波束は、 宇宙の時間 スケールでのみ2倍になる。 [6] : 49 T {\displaystyle T} Δ x {\displaystyle \Delta x} m {\displaystyle m} T ≈ m Δ x 2 / ℏ {\textstyle T\approx m{\Delta x}^{2}/\hbar } ℏ {\displaystyle \hbar }
量子力学における意義 量子力学は、 シュレーディンガーの波動方程式 を用いて原子系および素粒子系の性質を記述する 。量子力学の古典極限や量子散乱の多くの定式化では、この方程式の様々な解から形成される波束が用いられる。量子波束のプロファイルは伝播するにつれて変化し、分散を示す。物理学者は「波束は素粒子の表現としては不適切である」と結論付けている。 [4] : 829
波束と古典的限界 シュレーディンガーは、量子波動解を局所的にコンパクトな波群として解釈することを期待して、波束を開発した。 [4] このような波束は、位置の局所性と運動量の広がりをトレードオフする。波動の座標表現（例えば 直交座標系 ）において、粒子の局所的確率の位置は、波束解の位置によって規定される。空間的な波束が狭く、したがって波束の位置がより局所的であるほど、波の 運動量 の広がりは大きくなる。位置の広がりと運動量の広がりの間のこのトレードオフは、ハイゼンベルクの不確定性原理の特徴である。
最適なトレードオフの一つは、位置の不確実性 と運動量の不確実性の積を最小化することである 。 [7] : 60 このような波束を静止させると、それは静止したままとなる。位置と運動量の平均値は古典粒子と一致する。しかし、波束は最適な運動量の不確実性によって与えられる速度であらゆる方向に拡散する 。拡散は非常に速いため、原子の周りを一周する距離では波束は認識できない。 Δ x {\displaystyle \Delta x} Δ p x {\displaystyle \Delta p_{x}} Δ p x {\displaystyle \Delta p_{x}}
波束と量子散乱 物理学では粒子間の相互作用は散乱 と呼ばれ 、波束の概念は 量子散乱アプローチ において重要な役割を果たします。単色（単一運動量）源は、散乱モデルにおいて収束の困難を引き起こします。 [8] : 150 散乱問題には古典的な限界もあります。散乱対象（例えば原子）の大きさが波束よりもはるかに小さい場合、波束の中心は散乱の古典的な軌道を描きます。そうでない場合、波束は対象と相互作用する際に歪み、散乱します。 [9] : 295
基本的な行動
非分散性 分散のない波束（実部または虚部） 分散がなければ、波束は伝播する際にその形状を維持します。 分散のない伝播の例として、 古典物理学 における 次の 波動方程式の波動解を考えてみましょう。 ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u , {\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c^{2}\,\nabla ^{2}u,}
ここで、 c は特定の媒体における波の伝播速度です。
物理学の時間慣習 e − iωt を用いると、波動方程式は 平面波 解
を持つ。 u ( x , t ) = e i ( k ⋅ x − ω ( k ) t ) , {\displaystyle u(\mathbf {x} ,t)=e^{i{(\mathbf {k\cdot x} }-\omega (\mathbf {k} )t)},}
ここで、角周波数 ω と 角波ベクトル k の関係は 分散関係 によって与えられ 、 となる 。この関係は、平面波が波動方程式の解となるように成立する必要がある。関係が 線形で あるため、波動方程式は 非分散的 であると言われる。 ω ( k ) = ± | k | c = ± 2 π c λ , {\displaystyle \omega (\mathbf {k} )=\pm |\mathbf {k} |c=\pm {\frac {2\pi c}{\lambda }},} ω 2 / | k | 2 = c 2 {\displaystyle \omega ^{2}/|\mathbf {k} |^{2}=c^{2}}
簡略化するために、 ω(k) = ±kc の1次元波動方程式を考えてみましょう 。一般解は、
第1項と第2項がそれぞれ正の x 方向 （負）に伝播する波を表す式です 。 u ( x , t ) = A e i k ( x − c t ) + B e i k ( x + c t ) , {\displaystyle u(x,t)=Ae^{ik(x-ct)}+Be^{ik(x+ct)},}
波束は、多くの異なる 波形の 和から生じる局所的な擾乱である。波束が強く局所化している場合、局所化領域内での建設的な重ね合わせと、領域外の破壊的な重ね合わせを可能にするために、より多くの周波数が必要となる。 基本的な1次元平面波解から、波束の一般的な形は次のように表すことができる。
ここで、 波の重ね合わせ の係数を含む 振幅 A ( k )は、 t = 0 で評価された「 十分に良好な 」初期波 u ( x , t ) の 逆フーリエ変換 から得られる 。 これは フーリエ変換の慣例 から得られる 。 u ( x , t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ A ( k ) e i ( k x − ω ( k ) t ) d k . {\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\,\infty }A(k)~e^{i(kx-\omega (k)t)}\,dk.} A ( k ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ u ( x , 0 ) e − i k x d x . {\displaystyle A(k)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\,\infty }u(x,0)~e^{-ikx}\,dx.} 1 / 2 π {\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}}
例えば、 u ( x , 0 ) = e − x 2 + i k 0 x , {\displaystyle u(x,0)=e^{-x^{2}+ik_{0}x},}
我々は得る A ( k ) = 1 2 e − ( k − k 0 ) 2 4 , {\displaystyle A(k)={\frac {1}{\sqrt {2}}}e^{-{\frac {(k-k_{0})^{2}}{4}}},}
そして最後に u ( x , t ) = e − ( x − c t ) 2 + i k 0 ( x − c t ) = e − ( x − c t ) 2 [ cos ( 2 π x − c t λ ) + i sin ( 2 π x − c t λ ) ] . {\displaystyle {\begin{aligned}u(x,t)&=e^{-(x-ct)^{2}+ik_{0}(x-ct)}\\&=e^{-(x-ct)^{2}}\left[\cos \left(2\pi {\frac {x-ct}{\lambda }}\right)+i\sin \left(2\pi {\frac {x-ct}{\lambda }}\right)\right].\end{aligned}}}
この波束の実部または虚部の非分散伝播は、上記のアニメーションに示されています。
分散型 分散のある波束。波が広がり、振幅が減少することに注目してください。 自由空間において、不確実性が最小限で一定の運動量で 1 次元移動する、初期ガウス状態の位置空間確率密度。 対照的に、分散の場合、波は伝播中に形状が変化します。例えば、 自由シュレーディンガー方程式 は 、 次式の平面波解を持ちます。 ここで は定数であり、分散関係は [11] を満たし、添え字は 単位ベクトル表記 を表します。分散関係は非線形であるため、自由シュレーディンガー方程式は 分散的 です。 i ℏ ∂ ψ ∂ t = − ℏ 2 2 m ∇ 2 ψ , {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi ,} ψ ( r , t ) = A e i [ k ⋅ r − ω ( k ) t ] , {\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=Ae^{i{[\mathbf {k\cdot r} }-\omega (\mathbf {k} )t]},} A {\displaystyle A} ω ( k ) = ℏ k 2 2 m = ℏ 2 m ( k x 2 + k y 2 + k z 2 ) , {\displaystyle \omega (\mathbf {k} )={\frac {\hbar \mathbf {k} ^{2}}{2m}}={\frac {\hbar }{2m}}(k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}),}
この場合、波束は 次のように表されます。ここでも は単に のフーリエ変換です 。が ガウス関数 である場合（したがって ） 、波束は ガウス波束 と呼ばれます。 ψ ( r , t ) = 1 ( 2 π ) 3 / 2 ∫ g ( k ) e i [ k ⋅ r − ω ( k ) t ] d 3 k {\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int g(\mathbf {k} )e^{i{[\mathbf {k\cdot r} }-\omega (\mathbf {k} )t]}d^{3}k} g ( k ) {\displaystyle g(\mathbf {k} )} ψ ( r , 0 ) {\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,0)} ψ ( r , 0 ) {\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,0)} g ( k ) {\displaystyle g(\mathbf {k} )}
例えば、空間原点に局在する波束をガウス関数として表す 初期条件を満たす 1次元自由シュレーディンガー方程式（ 2Δ x 、 m 、 ħを1に設定）の解は、 ψ ( x , 0 ) = 2 / π 4 exp ( − x 2 + i k 0 x ) , {\displaystyle \psi (x,0)={\sqrt[{4}]{2/\pi }}\exp \left({-x^{2}+ik_{0}x}\right),} ψ ( x , t ) = 2 / π 4 1 + 2 i t e − 1 4 k 0 2 e − 1 1 + 2 i t ( x − i k 0 2 ) 2 = 2 / π 4 1 + 2 i t e − 1 1 + 4 t 2 ( x − k 0 t ) 2 e i 1 1 + 4 t 2 ( ( k 0 + 2 t x ) x − 1 2 t k 0 2 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x,t)&={\frac {\sqrt[{4}]{2/\pi }}{\sqrt {1+2it}}}e^{-{\frac {1}{4}}k_{0}^{2}}~e^{-{\frac {1}{1+2it}}\left(x-{\frac {ik_{0}}{2}}\right)^{2}}\\&={\frac {\sqrt[{4}]{2/\pi }}{\sqrt {1+2it}}}e^{-{\frac {1}{1+4t^{2}}}(x-k_{0}t)^{2}}~e^{i{\frac {1}{1+4t^{2}}}\left((k_{0}+2tx)x-{\frac {1}{2}}tk_{0}^{2}\right)}~.\end{aligned}}}
この波束の分散挙動の印象は、確率密度を見ると得られます。
この分散波束は、一定の群速度 k o で移動しながら、急速に非局在化していることは明らかです 。その 幅 は時間とともに √ 1 + 4 t 2 → 2 t と増加し、最終的には空間の無制限の領域に拡散します。 | ψ ( x , t ) | 2 = 2 / π 1 + 4 t 2 e − 2 ( x − k 0 t ) 2 1 + 4 t 2 . {\displaystyle |\psi (x,t)|^{2}={\frac {\sqrt {2/\pi }}{\sqrt {1+4t^{2}}}}~e^{-{\frac {2(x-k_{0}t)^{2}}{1+4t^{2}}}}~.}
量子力学におけるガウス波束
1次元平面波（青）の重ね合わせがガウス波束（赤）を形成し、右方向に広がりながら伝播します。青い点は各平面波の位相速度を示し、赤い線は中心群速度を示します。 複素平面で示される1次元ガウス波束（ a =2、 k =4の場合） 上記の分散ガウス波束は正規化されておらず、 t = 0 で原点をちょうど中心としており、3Dでは標準単位で次のように記述できます。 [14] [15]フーリエ変換も波数、 k ベクトル に関してガウス分布です 。a と その逆関数は 不確定性関係 に従う
ため、 波束の幅の2乗 と見なすことができます 。一方、その逆関数は次のように記述できます。 ψ ( r , 0 ) = e − r ⋅ r / 2 a , {\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,0)=e^{-\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} /2a},} ψ ( k , 0 ) = ( 2 π a ) 3 / 2 e − a k ⋅ k / 2 . {\displaystyle \psi (\mathbf {k} ,0)=(2\pi a)^{3/2}e^{-a\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2}.} Δ x Δ p x = ℏ / 2 , {\displaystyle \Delta x\Delta p_{x}=\hbar /2,} a = 2 ⟨ r ⋅ r ⟩ / 3 ⟨ 1 ⟩ = 2 ( Δ x ) 2 , {\displaystyle a=2\langle \mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \rangle /3\langle 1\rangle =2(\Delta x)^{2},} 1 / a = 2 ⟨ k ⋅ k ⟩ / 3 ⟨ 1 ⟩ = 2 ( Δ p x / ℏ ) 2 . {\displaystyle 1/a=2\langle \mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \rangle /3\langle 1\rangle =2(\Delta p_{x}/\hbar )^{2}.}
複素平面で示される1次元ガウス波束 。群速度はゼロです。 では 、波動関数の位相はゼロで、幅は最小です。 では 、波動関数の位相は2乗で、幅は減少します。 では 、波動関数の位相は2乗で、幅は増加します。 a = 1 , ℏ = 1 , k 0 = 0 , m = 1 {\displaystyle a=1,\hbar =1,k_{0}=0,m=1} t = 0 {\displaystyle t=0} t < 0 {\displaystyle t<0} t > 0 {\displaystyle t>0} それぞれの波は時間的に位相回転するだけなので、時間依存のフーリエ変換解は
Ψ ( k , t ) = ( 2 π a ) 3 / 2 e − a k ⋅ k / 2 e − i E t / ℏ = ( 2 π a ) 3 / 2 e − a k ⋅ k / 2 − i ( ℏ 2 k ⋅ k / 2 m ) t / ℏ = ( 2 π a ) 3 / 2 e − ( a + i ℏ t / m ) k ⋅ k / 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\Psi (\mathbf {k} ,t)&=(2\pi a)^{3/2}e^{-a\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2}e^{-iEt/\hbar }\\&=(2\pi a)^{3/2}e^{-a\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2-i(\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2m)t/\hbar }\\&=(2\pi a)^{3/2}e^{-(a+i\hbar t/m)\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2}.\end{aligned}}}
複素平面で示された1次元ガウス波束 。全体の群速度は正であり、波束は分散しながら移動する。 a = 1 , ℏ = 1 , k 0 = 1 , m = 1 {\displaystyle a=1,\hbar =1,k_{0}=1,m=1} 逆フーリエ変換は依然としてガウス変換ですが、パラメーター a は複素数になり、全体的な正規化係数があります。
Ψ ( r , t ) = ( a a + i ℏ t / m ) 3 / 2 e − r ⋅ r 2 ( a + i ℏ t / m ) . {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\left({a \over a+i\hbar t/m}\right)^{3/2}e^{-{\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \over 2(a+i\hbar t/m)}}.}
Ψ の全空間積分は不変である。なぜなら、これは Ψ とゼロエネルギー状態（無限波長の波、空間定数関数）との 内積だからである。任意の エネルギー固有状態 η ( x ) に対して、 内積は時間とともに単純な変化しかしない。すなわち、その位相は ηのエネルギーによって決まる周波数で回転する。η が ゼロエネルギーのとき 、無限波長の波のように、全く変化しない。 ⟨ η | ψ ⟩ = ∫ η ( r ) ψ ( r ) d 3 r , {\displaystyle \langle \eta |\psi \rangle =\int \eta (\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} ,}
与えられた に対して 、波動関数の位相は位置とともに のように変化します 。位相は位置とともに 二次的に 変化します。つまり、これは、 波束に一定の運動量を与える場合のような線形 位相係数 による乗算とは異なります。一般に、ガウス波束の位相には、一次項と二次項の両方があります。二次項の係数は、ガウス波束が鋭くなるにつれて から に向かって増加し始め、鋭さが最大になる瞬間に、波動関数の位相は位置とともに線形に変化します。その後、 ガウス波束が再び広がるにつれて、 二次項の係数は から に 向かって増加します。 t {\displaystyle t} ℏ t / m 2 ( a 2 + ( ℏ t / m ) 2 ) ‖ r ‖ 2 {\displaystyle {\frac {\hbar t/m}{2(a^{2}+(\hbar t/m)^{2})}}\|\mathbf {r} \|^{2}} e i k ⋅ r {\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }} − ∞ {\displaystyle -\infty } 0 {\displaystyle 0} 0 {\displaystyle 0} + ∞ {\displaystyle +\infty }
積分 ∫ |Ψ| 2 d 3 r も不変であり、これは確率保存の記述である。 明示的には、 rが 原点からの距離である 場合、粒子の速度はゼロであり、幅は （任意に選ばれた）時間 t = 0で √a であり、最終的には ħt / ( m√a ) の ように時間の経過とともに線形に増加し、 波束の広がりを 示している 。 [17 ] P ( r ) = | Ψ | 2 = Ψ ∗ Ψ = ( a a 2 + ( ℏ t / m ) 2 ) 3 e − a r ⋅ r a 2 + ( ℏ t / m ) 2 , {\displaystyle P(r)=|\Psi |^{2}=\Psi ^{*}\Psi =\left({a \over {\sqrt {a^{2}+(\hbar t/m)^{2}}}}\right)^{3}~e^{-{a\,\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \over a^{2}+(\hbar t/m)^{2}}},} a 2 + ( ℏ t / m ) 2 a , {\displaystyle {\sqrt {a^{2}+(\hbar t/m)^{2} \over a}},}
例えば、電子波束が最初に原子サイズ（すなわち 10 −10 m）の領域に局在している場合、その波束の幅は約 10 −16 秒で2倍になります。粒子波束は（自由空間において）非常に急速に拡散することが明らかです。 [18] 例えば、 1 ミリ秒後には、その幅は約1キロメートルにまで広がります。
この線形増加は（時間不変の）運動量不確実性を反映しています。波束は狭い範囲 Δ x = √ a /2 に制限されているため、運動量は（不確定性原理によれば） ħ / √ 2 a だけ不確実であり、速度の広がりは ħ/m √ 2 a 、したがって将来の位置は ħt /m √ 2 a だけ不確実です。したがって、不確定性関係は厳密な不等式となり、飽和にはほど遠い状態です。初期の不確定性 Δ x Δ p = ħ /2は、（ t が大きい場合） ħt/ma 倍に増加しています 。
2Dの場合 2次元ガウス量子波束。色（黄緑青）は波動関数の位相を示し 、 明るさは波動関数の位相を示す 。 ψ {\displaystyle \psi } | ψ | 2 / | ψ | m a x 2 {\displaystyle |\psi |^{2}/|\psi |_{max}^{2}} k 0 x = k 0 {\displaystyle k_{0x}=k_{0}} k 0 y = 0 {\displaystyle k_{0y}=0} ガウス2次元量子波動関数:
ψ ( x , y , t ) = ψ ( x , t ) ψ ( y , t ) {\displaystyle \psi (x,y,t)=\psi (x,t)\psi (y,t)}
ψ ( x , t ) = ( 2 a 2 π ) 1 / 4 e i ϕ ( a 4 + 4 ℏ 2 t 2 m 2 ) 1 / 4 e i k 0 x exp [ − ( x − ℏ k 0 m t ) 2 a 2 + 2 i ℏ t m ] {\displaystyle \psi (x,t)=\left({\frac {2a^{2}}{\pi }}\right)^{1/4}{\frac {e^{i\phi }}{\left(a^{4}+{\frac {4\hbar ^{2}t^{2}}{m^{2}}}\right)^{1/4}}}e^{ik_{0}x}\exp \left[-{\frac {\left(x-{\frac {\hbar k_{0}}{m}}t\right)^{2}}{a^{2}+{\frac {2i\hbar t}{m}}}}\right]}
ここで
ϕ = − θ − ℏ k 0 2 2 m t {\displaystyle \phi =-\theta -{\frac {\hbar k_{0}^{2}}{2m}}t}
tan ( 2 θ ) = 2 ℏ t m a 2 {\displaystyle \tan(2\theta )={\frac {2\hbar t}{ma^{2}}}}
エアリー波列 一定の群速度で運動し、常に分散する上記のガウス波束とは対照的に、 エアリー関数 に基づく波動関数が存在し、これは包絡分散なしで自由に伝播し、その形状を維持し、自由空間で加速します。 [20] ここで、単純化（および 無次元化 ）のために、 ħ = 1 、 m = 1/2 、 B を任意の定数として選択すると、次の
ようになります。 ψ = Ai [ B ℏ 2 / 3 ( x − B 3 t 2 4 m 2 ) ] e ( i B 3 t / 2 m ℏ ) [ x − ( B 3 t 2 / 6 m 2 ) ] , {\displaystyle \psi =\operatorname {Ai} \left[{\frac {B}{\hbar ^{2/3}}}\left(x-{\frac {B^{3}t^{2}}{4m^{2}}}\right)\right]e^{(iB^{3}t/2m\hbar )[x-(B^{3}t^{2}/6m^{2})]},} ψ = Ai [ B ( x − B 3 t 2 ) ] e i B 3 t ( x − 2 3 B 3 t 2 ) . {\displaystyle \psi =\operatorname {Ai} [B(x-B^{3}t^{2})]\,e^{iB^{3}t(x-{\tfrac {2}{3}}B^{3}t^{2})}\,.}
この力が作用しない状況では、状態は正規化不可能であり、かつすべての時間に対して未定義（無限大）の ⟨ x ⟩を持つため、 エーレンフェストの定理 と矛盾しません 。（定義できる範囲では、 前線の見かけの加速にもかかわらず、すべての時間に対して ⟨ p ⟩ = 0 です。）
エアリー波列は1次元自由空間における唯一の分散のない波である。 [21] 高次元では、他の分散のない波も可能である。 [22]
位相空間におけるエアリー波列。その形状は、同じ軸を持つ一連の放物線であるが、エアリー関数に従って振動する。時間発展は - 方向に沿ったせん断である。各放物線はこのせん断下でも形状を維持し、その頂点は別の放物線に沿って並進運動を行う。したがって、エアリー波列は分散せず、波列の群運動は一定の加速を受ける。 x {\displaystyle x} 位相空間 において、この波列の 純粋状態 ウィグナー準確率分布は 明らかである。この波列の x と p における形状は 時間経過に伴って不変であるが、加速放物線ではその特徴は右方向に加速する。ウィグナー関数はを満たす。 この3つの等式は、以下の3つの事実を示している。 W ( x , p ; t ) = W ( x − B 3 t 2 , p − B 3 t ; 0 ) = 1 2 1 / 3 π B A i ( 2 2 / 3 ( B ( x − B 3 t 2 ) + ( p / B − t B 2 ) 2 ) ) = W ( x − 2 p t , p ; 0 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}W(x,p;t)&=W(x-B^{3}t^{2},p-B^{3}t;0)\\&={\frac {1}{2^{1/3}\pi B}}\,\mathrm {Ai} \left(2^{2/3}\left(B(x-B^{3}t^{2}\right)+\left(p/B-tB^{2})^{2}\right)\right)\\&=W(x-2pt,p;0).\end{aligned}}}
時間発展は位相空間における による並進と同等です 。 ( B 3 t 2 , B 3 t ) {\displaystyle (B^{3}t^{2},B^{3}t)} ウィグナー関数の等高線は、 という形の放物線です 。 B ( x − B 3 t 2 ) + ( p / B − t B 2 ) 2 = C {\textstyle B\left(x-B^{3}t^{2}\right)+\left(p/B-tB^{2}\right)^{2}=C} 時間発展は、速度 で - 方向 に沿った位相空間でのせん断と同等です 。 x {\displaystyle x} p / m = 2 p {\displaystyle p/m=2p} x 全体にわたって積分することで得られる運動量分布は 一定であることに注意されたい。これは 運動量空間における確率密度 であるため、波動関数自体は正規化できないことは明らかである。
フリープロパゲーター 議論されているガウス波束解の狭幅極限は、自由 伝播関数核 K である。他の微分方程式では、これは通常 グリーン関数 と呼ばれるが K の時間フーリエ変換にのみグリーン関数という名称が用いられるのが通例である 。
簡単に するために 1 次元に戻り、 m と ħ を 1 に設定して、 a を 無限小量 ε とすると、積分が 1 になるように再スケールされたガウス初期条件は デルタ関数 δ ( x ) になり 、その時間発展によって プロパゲータが生成されます。 ψ 0 ( x ) = 1 2 π ε e − x 2 2 ε {\displaystyle \psi _{0}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi \varepsilon }}}e^{-{x^{2} \over 2\varepsilon }}\,} K t ( x ) = 1 2 π ( i t + ε ) e − x 2 2 ( i t + ε ) {\displaystyle K_{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi (it+\varepsilon )}}}e^{-x^{2} \over 2(it+\varepsilon )}\,}
初期の非常に狭い波束は瞬時に無限に広がりますが、 x の値が大きくなると位相がより急速に振動することに注意してください 。これは奇妙に思えるかもしれません。解は、ある点に局在していた状態から、 それ以降の全ての時点で「どこにでも」存在する状態へと変化しますが、これは上述のように、局在粒子の 運動量の不確実性 が非常に大きいことを反映しています 。
さらに、波動関数のノルムは無限大であることにも注意してください。これは、 デルタ関数 の 2 乗も同様に発散するため、正しいことになります。
ε に関する係数は、 K 上の積分が適切に定義されることを保証するための微小量です。ε → 0 の 極限では 、 K は純粋に振動的となり、 K の積分は絶対収束しません。本節の残りの部分では、ε はゼロに設定され ます が、中間状態におけるすべての積分が適切に定義されるため、 ε → 0 の極限は最終状態が計算された後にのみ取られます。
伝播関数は、原点 x = 0から出発して時刻 tに点 x に到達する振幅である。並進不変性により、点 y から出発して点 x に到達する振幅は 、同じ関数であるが、今度は並進する。 K t ( x , y ) = K t ( x − y ) = 1 2 π i t e i ( x − y ) 2 2 t . {\displaystyle K_{t}(x,y)=K_{t}(x-y)={1 \over {\sqrt {2\pi it}}}e^{i(x-y)^{2} \over 2t}\,.}
t が小さい極限では 、プロパゲータはデルタ関数になります
が、これは 分布 の意味でのみです 。この量の積分に任意の微分可能な テスト関数 を掛けると、テスト関数の値がゼロになります。 lim t → 0 K t ( x − y ) = δ ( x − y ) , {\displaystyle \lim _{t\to 0}K_{t}(x-y)=\delta (x-y)~,}
これを理解するには、 K の全空間にわたる積分が 常に 1 であることに注目してください。
これは、この積分が K と一様波動関数
の内積だからです。しかし、指数の位相係数は原点を除くすべての点で非ゼロの空間微分を持ちます。そのため、時間が小さい場合、1点を除いてすべての点で位相が高速に打ち消されます。これは 、最後に ε →0の極限をとれば厳密に成り立ちます。 ∫ K t ( x ) d x = 1 , {\displaystyle \int K_{t}(x)dx=1\,,}
つまり、伝播核はデルタ関数の（未来の）時間発展であり、ある意味で連続的である。つまり、小さな時間で初期のデルタ関数に戻る。初期の波動関数が位置 y における無限に狭いスパイクであれば、 それは振動波となる。 ψ 0 ( x ) = δ ( x − y ) , {\displaystyle \psi _{0}(x)=\delta (x-y)\,,} ψ t ( x ) = 1 2 π i t e i ( x − y ) 2 / 2 t . {\displaystyle \psi _{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi it}}}e^{i(x-y)^{2}/2t}\,.}
さて、すべての関数は このような狭いスパイクの重み付き和として表すことができるので、 すべての関数 ψ0 の時間発展はこの伝播カーネル K によって決定され 、 ψ 0 ( x ) = ∫ ψ 0 ( y ) δ ( x − y ) d y , {\displaystyle \psi _{0}(x)=\int \psi _{0}(y)\delta (x-y)dy\,,}
ψ t ( x ) = ∫ ψ 0 ( y ) 1 2 π i t e i ( x − y ) 2 / 2 t d y . {\displaystyle \psi _{t}(x)=\int \psi _{0}(y){1 \over {\sqrt {2\pi it}}}e^{i(x-y)^{2}/2t}dy\,.}
したがって、これは基本解 または 一般解を 表現する正式な方法です 。この表現の解釈は、 時刻 tに点 xに存在する粒子の振幅は、粒子が y から出発した際の振幅と、 yから x へ 移動した際の振幅を掛け合わせ 、 すべての可能な出発点について合計したもので ある、というものです。言い換えれば、これは 任意の初期条件 ψ 0 と核 Kの 畳み込み です。 ψ t = K ∗ ψ 0 . {\displaystyle \psi _{t}=K*\psi _{0}\,.}
時刻 t + t ' 後の xから y へ の振幅は 2段階で考えることができるため、伝播関数は合成恒等式に従う。 これは次のように解釈できる。 時刻 t + t ' における xから z への振幅は、 時刻 t における x から y へ の振幅に、 時刻 t ' における yから z への 振幅を乗じ 、 すべての可能な中間状態 yについて合計したものである。これは任意の量子系の特性であり、時間を多数のセグメントに分割することで、時間発展を 経路積分 として表現することができる 。 [24] ∫ K ( x − y ; t ) K ( y − z ; t ′ ) d y = K ( x − z ; t + t ′ ) , {\displaystyle \int K(x-y;t)K(y-z;t')dy=K(x-z;t+t')~,}
拡散への解析接続 量子力学における波束の広がりは、 拡散における確率密度の広がりと直接関係している。 ランダムに移動する 粒子の場合 、確率密度関数は 拡散方程式 を満たす
。ここで、係数2は便宜上のものであり、時間または空間の再スケーリングによって削除することができる。 ∂ ∂ t ρ = 1 2 ∂ 2 ∂ x 2 ρ , {\displaystyle {\partial \over \partial t}\rho ={1 \over 2}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\rho ,}
この方程式の解は、熱核 の形をとる 時間変動 ガウス関数である。ρ t の積分は一定であるが、その幅は短い時間で狭くなるため 、この関数は t =0 においてデルタ関数に近づく（ これも分布の意味でのみ）。つまり、
任意の テスト関数 f に対して 、 ρ t ( x ) = 1 2 π t e − x 2 2 t , {\displaystyle \rho _{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi t}}}e^{-x^{2} \over 2t},} lim t → 0 ρ t ( x ) = δ ( x ) {\displaystyle \lim _{t\to 0}\rho _{t}(x)=\delta (x)} lim t → 0 ∫ x f ( x ) ρ t ( x ) = f ( 0 ) {\displaystyle \lim _{t\to 0}\int _{x}f(x)\rho _{t}(x)=f(0)}
時間変動ガウス分布は拡散方程式の伝播核であり、 畳み込み 恒等式に従うため、 拡散は経路積分として表すことができます。伝播関数は 、 無限小拡散演算子である
演算子 Hの指数関数です。 K t + t ′ = K t ∗ K t ′ , {\displaystyle K_{t+t'}=K_{t}*K_{t'}\,,} K t ( x ) = e − t H , {\displaystyle K_{t}(x)=e^{-tH}\,,} H = − ∇ 2 2 . {\displaystyle H=-{\nabla ^{2} \over 2}\,.}
行列には2つの添字があり、連続空間ではx と x 'の関数となります 。この場合、並進不変性のため、行列要素 K は位置の差にのみ依存します。そのため、演算子、行列要素、そして差の関数を同じ名前で呼ぶという表記法の都合の良い誤用が生じます。 K t ( x , x ′ ) = K t ( x − x ′ ) . {\displaystyle K_{t}(x,x')=K_{t}(x-x')\,.}
変換不変性とは、連続行列の乗算 が本質的に畳み込みであることを意味する。 C ( x , x ″ ) = ∫ x ′ A ( x , x ′ ) B ( x ′ , x ″ ) , {\displaystyle C(x,x'')=\int _{x'}A(x,x')B(x',x'')\,,} C ( Δ ) = C ( x − x ″ ) = ∫ x ′ A ( x − x ′ ) B ( x ′ − x ″ ) = ∫ y A ( Δ − y ) B ( y ) . {\displaystyle C(\Delta )=C(x-x'')=\int _{x'}A(x-x')B(x'-x'')=\int _{y}A(\Delta -y)B(y)\,.}
指数関数は、伝播カーネル上の積分が収束する限り、複素数値を含む t の範囲にわたって定義できます 。z の実部が正である限り 、 x の大きな値に対して Kは指数的に減少し、 K 上の積分は 確かに絶対収束します。 K z ( x ) = e − z H . {\displaystyle K_{z}(x)=e^{-zH}\,.}
この式のz が純虚軸に近づく 限界は、上記のシュレーディンガー伝播関数に相当し、 これは上記のガウス分布の時間発展を示しています。 K t S c h r = K i t + ε = e − ( i t + ε ) H , {\displaystyle K_{t}^{\rm {Schr}}=K_{it+\varepsilon }=e^{-(it+\varepsilon )H}\,,}
指数関数または経路積分の基本的な恒等式は、 すべての複素 z 値に当てはまり、積分は絶対収束するため、演算子は明確に定義されます。 K z ∗ K z ′ = K z + z ′ {\displaystyle K_{z}*K_{z'}=K_{z+z'}\,}
したがって、ガウス分布の量子発展、すなわち複素拡散核 K は、 時間発展した状態に相当する。 ψ 0 ( x ) = K a ( x ) = K a ∗ δ ( x ) {\displaystyle \psi _{0}(x)=K_{a}(x)=K_{a}*\delta (x)\,} ψ t = K i t ∗ K a = K a + i t . {\displaystyle \psi _{t}=K_{it}*K_{a}=K_{a+it}\,.}
これは、複素ガウス解の上記の拡散形式を示している。 ψ t ( x ) = 1 2 π ( a + i t ) e − x 2 2 ( a + i t ) . {\displaystyle \psi _{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi (a+it)}}}e^{-{x^{2} \over 2(a+it)}}\,.}
参照
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参考文献 コーエン・タンヌージ、クロード。ディウ、バーナード。フランク・ラロエ（2019）。 量子力学、第 1 巻 。ワインハイム、ドイツ：ジョン・ワイリー＆サンズ。 ISBN 978-3-527-34553-3 。 ジャクソン、ジョン・デイビッド（1998年） 『古典電気力学 』ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、 ISBN 978-0-471-30932-1 。 Kozdron, Michael J. (2008). 「ブラウン運動と熱方程式」 (PDF) . レジーナ大学. 2024年 10月29日 閲覧 .
外部リンク ウィキバーシティの波束運動に関する学習教材 ウィクショナリーの波束の辞書定義 Google での 1D 波束プロット Google での 1D 波列と確率密度プロット Google の 2D 波束プロット Google の 2D 波動トレイン プロット Googleの2次元確率密度プロット 量子物理学オンライン：自由波束のインタラクティブシミュレーション Web-Schrödinger: インタラクティブな2D波束動力学シミュレーション 2Dにおける波形パッケージのシミュレーション（2Dにおけるフーリエ合成による） .gif/1280px-Wave_packet_propagation_(phase_faster_than_group,_nondispersive).gif)
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![{\displaystyle {\begin{aligned}u(x,t)&=e^{-(x-ct)^{2}+ik_{0}(x-ct)}\\&=e^{-(x-ct)^{2}}\left[\cos \left(2\pi {\frac {x-ct}{\lambda }}\right)+i\sin \left(2\pi {\frac {x-ct}{\lambda }}\right)\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccc2bb230bd72af84a67abc8270b7ffbe4974fa6)
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![{\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=Ae^{i{[\mathbf {k\cdot r} }-\omega (\mathbf {k} )t]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b70750da9e616e88a1108fd861142eb892767e4)
![{\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int g(\mathbf {k} )e^{i{[\mathbf {k\cdot r} }-\omega (\mathbf {k} )t]}d^{3}k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/232a64b090ac7496384efa5e0b044355526c064a)
![{\displaystyle \psi (x,0)={\sqrt[{4}]{2/\pi }}\exp \left({-x^{2}+ik_{0}x}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7715198e701cf32f4892dd636a94cbf582136afa)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x,t)&={\frac {\sqrt[{4}]{2/\pi }}{\sqrt {1+2it}}}e^{-{\frac {1}{4}}k_{0}^{2}}~e^{-{\frac {1}{1+2it}}\left(x-{\frac {ik_{0}}{2}}\right)^{2}}\\&={\frac {\sqrt[{4}]{2/\pi }}{\sqrt {1+2it}}}e^{-{\frac {1}{1+4t^{2}}}(x-k_{0}t)^{2}}~e^{i{\frac {1}{1+4t^{2}}}\left((k_{0}+2tx)x-{\frac {1}{2}}tk_{0}^{2}\right)}~.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0e67a48191155d76114ed05d738cb11c3830ce3)
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![{\displaystyle \psi (x,t)=\left({\frac {2a^{2}}{\pi }}\right)^{1/4}{\frac {e^{i\phi }}{\left(a^{4}+{\frac {4\hbar ^{2}t^{2}}{m^{2}}}\right)^{1/4}}}e^{ik_{0}x}\exp \left[-{\frac {\left(x-{\frac {\hbar k_{0}}{m}}t\right)^{2}}{a^{2}+{\frac {2i\hbar t}{m}}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2b31d16e3f612617e46660e90153ee41f1481be)
![{\displaystyle \psi =\operatorname {Ai} \left[{\frac {B}{\hbar ^{2/3}}}\left(x-{\frac {B^{3}t^{2}}{4m^{2}}}\right)\right]e^{(iB^{3}t/2m\hbar )[x-(B^{3}t^{2}/6m^{2})]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af78610b11747a0ddab5e051bb5644e66b19f0f2)
![{\displaystyle \psi =\operatorname {Ai} [B(xB^{3}t^{2})]\,e^{iB^{3}t(x-{\tfrac {2}{3}}B^{3}t^{2})}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/341f6fbcd5645606de9bcff2b41def9cf974382b)
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