ウェーバー数

流体力学における無次元数

レンガの半分が水面に衝突した後の飛沫。画像の幅は約50センチです。空中を自由に移動する水滴に注目してください。これは高レイノルズ数の流れに典型的な現象です。水滴の複雑な非球形形状は、ウェーバー数が高いことを示しています。また、水面に巻き込まれた気泡と、衝突地点から遠ざかる方向に広がる擾乱の輪にも注目してください。

ウェーバー数（We）は流体力学における無次元数であり、2つの異なる流体の界面を持つ流体の流れ、特に曲面が強い多相流の解析に有用である。 ^[1]モーリッツ・ウェーバー（1871–1951）にちなんで名付けられた。^{[2]ウェーバー数は、流体の}慣性力と表面張力の相対的な重要性を示す尺度と考えることができる。この量は、薄膜流れや液滴・気泡の形成を解析する際に有用である。

数式

ウェーバー数は次のように表記されます。

${\displaystyle \mathrm {We} ={\frac {\mbox{Inertial pressure}}{\mbox{Laplace pressure}}}={\frac {\rho \,v^{2}}{\left(\sigma /l\right)}}={\frac {\rho \,v^{2}\,l}{\sigma }}}$  

どこ

• ${\displaystyle \rho }$流体の密度（ kg / m ³）です。
• ${\displaystyle v}$速度（m/ s ）です。
• ${\displaystyle l}$は、その特性長さ、通常は液滴の直径（m）です。
• ${\displaystyle \sigma }$表面張力（N /m）です。
• ${\displaystyle \rho \,v^{2}}$慣性または動圧スケールです。
• ${\displaystyle \sigma /l}$ラプラス圧力スケールです。

上記はウェーバー数を定義する力の観点です。また、エネルギーの観点からウェーバー数を定義すれば、衝突時の運動エネルギーと表面エネルギーの比として定義することもできます。

${\displaystyle \mathrm {We} ={\frac {E_{\mathrm {kin} }}{E_{\mathrm {surf} }}}}$、

どこ

${\displaystyle E_{\mathrm {kin} }\propto \rho l^{3}v^{2}}$  

そして

${\displaystyle E_{\mathrm {surf} }\propto l^{2}\sigma }$。

ナビエ・ストークス方程式における出現

ウェーバー数は、自由表面境界条件を通じて非圧縮ナビエ・ストークス方程式に現れる。^[3]

一定の密度と動粘性を持つ流体の場合、自由表面界面では、法線応力と表面張力に関連する曲率力の間にバランスが保たれます。 ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\widehat {\bf {n}}}\cdot \mathbb {T} \cdot {\widehat {\bf {n}}}=\sigma \left(\nabla \cdot {\widehat {\bf {n}}}\right)}$

ここで、 は表面の単位法線ベクトル、はコーシー応力テンソル、 は発散演算子です。非圧縮流体のコーシー応力テンソルは次の式で表されます。 ${\displaystyle {\widehat {\bf {n}}}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \nabla \cdot }$

${\displaystyle \mathbb {T} =-pI+\mu \left[\nabla {\bf {v}}+(\nabla {\bf {v}})^{T}\right]}$

動圧を導入し、高レイノルズ数の流れを想定すると、スケーリングによって変数を無次元化することができます。 ${\displaystyle p_{d}=p-\rho {\bf {g}}\cdot {\bf {x}}}$

${\displaystyle p_{d}=\rho V^{2}p_{d}',\quad \nabla =L^{-1}\nabla ',\quad {\bf {g}}=g{\bf {g}}',\quad {\bf {x}}=L{\bf {x}}',\quad {\bf {v}}=V{\bf {v}}'}$

無次元化変数における自由表面境界条件は次のようになります。

${\displaystyle -p_{d}'+{1 \over {{\text{Fr}}^{2}}}z'+{1 \over {\text{Re}}}{\widehat {\bf {n}}}\cdot \left[\nabla '{\bf {v}}'+(\nabla '{\bf {v}}')^{T}\right]\cdot {\widehat {\bf {n}}}={1 \over {\text{We}}}\left(\nabla '\cdot {\widehat {\bf {n}}}\right)}$

ここで、 はフルード数、はレイノルズ数、 はウェーバー数です。ウェーバー数の影響は、重力と粘性力に対する相対的な値として定量化できます。 ${\displaystyle {\text{Fr}}}$ ${\displaystyle {\text{Re}}}$ ${\displaystyle {\text{We}}}$

アプリケーション

ウェーバー数の応用例の一つは、ヒートパイプの研究です。ヒートパイプの蒸気コアにおける運動量流束が大きい場合、ウィック内の液体に作用するせん断応力が大きくなり、蒸気流に液滴が巻き込まれる可能性があります。ウェーバー数は、この現象の発生を決定する無次元パラメータであり、巻き込み限界（ウェーバー数が1以上）と呼ばれます。この場合、ウェーバー数は、蒸気層内の運動量を液体を拘束する表面張力で割った比として定義されます。ここで、代表長さは表面の細孔径です。

参考文献

1. アーノルド・フローン、ノーバート・ロス（2000年3月27日）「液滴のダイナミクス」シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア、pp. 15–. ISBN 978-3-540-65887-0。
2. フィリップ・デイ、アンドレアス・マンツ、ヨンハオ・チャン（2012年7月28日）『マイクロドロップレット技術：生物学と化学における原理と新たな応用』シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア、9～ISBN 978-1-4614-3265-4。
3. Bush, John WM「表面張力モジュール」（PDF） . MIT数学科.

さらに読む

• Weast, R. Lide, D. Astle, M. Beyer, W. (1989–1990). CRC化学物理ハンドブック. 第70版. フロリダ州ボカラトン: CRC Press, Inc.. F-373,376.

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