Continuous probability distribution
ワイブル（2パラメータ） 確率密度関数
累積分布関数
パラメータ λ ∈ ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle \lambda \in (0,+\infty )\,} 鱗の 形状 k ∈ ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle k\in (0,+\infty )\,} サポート x ∈ [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle x\in [0,+\infty )\,} PDF f ( x ) = { k λ ( x λ ) k − 1 e − ( x / λ ) k , x ≥ 0 , 0 , x < 0. {\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}},&x\geq 0,\\0,&x<0.\end{cases}}} CDF F ( x ) = { 1 − e − ( x / λ ) k , x ≥ 0 , 0 , x < 0. {\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-e^{-(x/\lambda )^{k}},&x\geq 0,\\0,&x<0.\end{cases}}} 四分位数 Q ( p ) = λ ( − ln ( 1 − p ) ) 1 k {\displaystyle Q(p)=\lambda (-\ln(1-p))^{\frac {1}{k}}} 平均 λ Γ ( 1 + 1 / k ) {\displaystyle \lambda \,\Gamma (1+1/k)\,} 中央値 λ ( ln 2 ) 1 / k {\displaystyle \lambda (\ln 2)^{1/k}\,} モード { λ ( k − 1 k ) 1 / k , k > 1 , 0 , k ≤ 1. {\displaystyle {\begin{cases}\lambda \left({\frac {k-1}{k}}\right)^{1/k}\,,&k>1,\\0,&k\leq 1.\end{cases}}} 分散 λ 2 [ Γ ( 1 + 2 k ) − ( Γ ( 1 + 1 k ) ) 2 ] {\displaystyle \lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}\right]\,} 歪度 Γ ( 1 + 3 / k ) λ 3 − 3 μ σ 2 − μ 3 σ 3 {\displaystyle {\frac {\Gamma (1+3/k)\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}} 過剰尖度 （本文参照） エントロピ γ ( 1 − 1 / k ) + ln ( λ / k ) + 1 {\displaystyle \gamma (1-1/k)+\ln(\lambda /k)+1\,} MGF ∑ n = 0 ∞ t n λ n n ! Γ ( 1 + n / k ) , k ≥ 1 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma (1+n/k),\ k\geq 1} CF ∑ n = 0 ∞ ( i t ) n λ n n ! Γ ( 1 + n / k ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma (1+n/k)} カルバック・ライブラー距離 以下を参照してください 予想される不足額 λ 1 − p Γ ( 1 + 1 k , log ( 1 1 − p ) ) {\displaystyle {\frac {\lambda }{1-p}}\Gamma (1+{\frac {1}{k}},\log({\frac {1}{1-p}}))} 不完全 ガンマ関数 を使用します 。 Γ ( s , x ) {\displaystyle \Gamma (s,x)}
確率論 と 統計学 において 、 ワイブル分布 は連続 確率分布の 一種です。ワイブル分布は、主に故障までの時間や事象間の時間といった性質を持つ、幅広い確率変数をモデル化します。例としては、最大日降雨量やユーザーがウェブページに費やす時間などが挙げられます。
この分布は、 1939年に詳細を説明したスウェーデンの数学者 ワロッディ・ワイブルにちなんで名付けられましたが、 [1] [2] 最初に特定したのは ルネ・モーリス・フレシェ で、最初に適用したのはロジン＆ラムラー（1933年）で、 粒径分布を 記述するために適用されました。 [3]
意味
標準的なパラメータ化 ワイブル 確率変数 の確率 密度関数 は [4] [5]
f ( x ; λ , k ) = { k λ ( x λ ) k − 1 e − ( x / λ ) k , x ≥ 0 , 0 , x < 0 , {\displaystyle f(x;\lambda ,k)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}},&x\geq 0,\\0,&x<0,\end{cases}}} ここで、 k > 0 は 分布の 形状パラメータ 、λ > 0 は分布の 尺度パラメータ である。その相補累積分布関数は、 引き伸ばされた指数関数 である 。ワイブル分布は、他の多くの確率分布と関連しており、特に 指数分布 （ k = 1）と レイリー分布 （ k = 2および） の間 を補間する 。 [6] λ = 2 σ {\displaystyle \lambda ={\sqrt {2}}\sigma }
量 xが 「故障までの時間」である場合、ワイブル分布は 故障率 が時間のべき乗に比例する分布を与える。 形状 パラメータ k はそのべき乗に1を加えた値であり、したがってこのパラメータは次のように直接解釈できる。 [7]
の値は、 故障率が 時間の経過とともに減少することを示します（ リンディ効果 の場合と同様ですが 、これはワイブル分布ではなく パレート分布 [8] に対応します）。これは、有意な「初期死亡率」、つまり欠陥のある製品が早期に故障し、欠陥のある製品が母集団から除去されるにつれて故障率が時間の経過とともに減少する場合に発生します。 イノベーションの普及 という文脈では、これは否定的な口コミを意味します。 ハザード関数は 、採用者の割合に応じて単調に減少する関数です。 k < 1 {\displaystyle k<1\,} の値は 、故障率が時間の経過とともに一定であることを示します。これは、ランダムな外部イベントが死亡率または故障を引き起こしていることを示唆している可能性があります。ワイブル分布は指数分布に帰着します。 k = 1 {\displaystyle k=1\,} の値は 、故障率が時間とともに増加することを示します。これは、「経年劣化」プロセス、つまり部品が時間の経過とともに故障する可能性が高くなる場合に発生します。 イノベーションの普及 という文脈では、これは肯定的な口コミを意味します。ハザード関数は、採用者の割合の単調増加関数です。この関数は最初は凸型で、その後凹型となり、 で変曲点を持ちます 。 k > 1 {\displaystyle k>1\,} ( e 1 / k − 1 ) / e 1 / k , k > 1 {\displaystyle (e^{1/k}-1)/e^{1/k},\,k>1\,} 材料科学 の分野では、 強度分布の 形状パラメータ kは ワイブル係数として知られています。 イノベーションの普及 という文脈において 、ワイブル分布は「純粋な」模倣/拒絶モデルです。
オプションのパラメータ化
最初の選択肢 医療統計 や 計量経済学の 分野では、 異なるパラメータ化がしばしば採用される。 [9] [10] 形状パラメータ k は上記と同じであるが、尺度パラメータはである 。この場合、 x ≥ 0に対して、確率密度関数は b = λ − k {\displaystyle b=\lambda ^{-k}}
f ( x ; k , b ) = b k x k − 1 e − b x k , {\displaystyle f(x;k,b)=bkx^{k-1}e^{-bx^{k}},} 累積分布関数は
F ( x ; k , b ) = 1 − e − b x k , {\displaystyle F(x;k,b)=1-e^{-bx^{k}},} 分位関数は
Q ( p ; k , b ) = ( − 1 b ln ( 1 − p ) ) 1 k , {\displaystyle Q(p;k,b)=\left(-{\frac {1}{b}}\ln(1-p)\right)^{\frac {1}{k}},} ハザード関数は
h ( x ; k , b ) = b k x k − 1 , {\displaystyle h(x;k,b)=bkx^{k-1},} そして平均は
b − 1 / k Γ ( 1 + 1 / k ) . {\displaystyle b^{-1/k}\Gamma (1+1/k).}
2番目の選択肢 2つ目のパラメータ化オプションも存在する。 [11] [12] 形状パラメータ k は標準の場合と同じであるが、尺度パラメータ λは速度パラメータ β = 1/ λ に置き換えられる。すると、 x ≥ 0に対して 、確率密度関数は
f ( x ; k , β ) = β k ( β x ) k − 1 e − ( β x ) k {\displaystyle f(x;k,\beta )=\beta k({\beta x})^{k-1}e^{-(\beta x)^{k}}} 累積分布関数は
F ( x ; k , β ) = 1 − e − ( β x ) k , {\displaystyle F(x;k,\beta )=1-e^{-(\beta x)^{k}},} 分位関数は
Q ( p ; k , β ) = 1 β ( − ln ( 1 − p ) ) 1 k , {\displaystyle Q(p;k,\beta )={\frac {1}{\beta }}(-\ln(1-p))^{\frac {1}{k}},} そしてハザード関数は
h ( x ; k , β ) = β k ( β x ) k − 1 . {\displaystyle h(x;k,\beta )=\beta k({\beta x})^{k-1}.} 3 つのパラメータ化すべてにおいて、ハザードは k < 1 の場合は減少し、k > 1 の場合は増加し、k = 1 の場合は一定であり、この場合、ワイブル分布は指数分布に減少します。
プロパティ
密度関数 ワイブル分布の密度関数の形は、 k の値によって大きく変わります 。0 < k < 1 の場合、密度関数は x が 上から 0 に近づくにつれて ∞ に向かい、厳密に減少します。 k = 1 の場合、密度関数は x が 上から 0 に近づく につれて1/ λに向かい、厳密に減少します。 k > 1 の場合、密度関数は x が 上から 0 に近づくにつれて 0 に向かい、そのモードまで増加し、その後は減少します。 0 < k < 1 の場合、密度関数は x = 0で無限大の負の傾きを持ち、1 < k < 2 の場合、 x = 0で無限大の正の傾きを持ち、 k > 2の場合、 x = 0で傾きがゼロになります。 k = 1の場合、 密度は x = 0 で有限の負の傾きを持ちます。 k = 2 の場合、 密度 は x = 0 で有限の正の傾きを持ちます。 k が無限大になると 、 ワイブル分布は x = λを中心とする ディラックのデルタ分布 に収束します 。さらに、歪度と変動係数は形状パラメータのみに依存します。ワイブル分布の一般化は、 タイプIIIの双曲線分布 です。
累積分布関数 ワイブル分布の 累積 分布関数は
F ( x ; k , λ ) = 1 − e − ( x / λ ) k {\displaystyle F(x;k,\lambda )=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\,} x ≥ 0の場合 、 F ( x ; k ; λ) = 0 （ x < 0 の場合）となる。
x = λ のとき、 k のすべての値に対して F ( x ; k ; λ) = 1 − e −1 ≈ 0.632 となります。逆に、 F ( x ; k ; λ ) = 0.632 のとき、 x の値は ≈ λ となります。
ワイブル分布の分位点（逆累積分布）関数は
Q ( p ; k , λ ) = λ ( − ln ( 1 − p ) ) 1 / k {\displaystyle Q(p;k,\lambda )=\lambda (-\ln(1-p))^{1/k}} 0 ≤ p < 1 の場合。
故障 率 h （またはハザード関数）は次のように表される。
h ( x ; k , λ ) = k λ ( x λ ) k − 1 . {\displaystyle h(x;k,\lambda )={k \over \lambda }\left({x \over \lambda }\right)^{k-1}.} 平均 故障間隔 MTBF は
MTBF ( k , λ ) = λ Γ ( 1 + 1 / k ) . {\displaystyle {\text{MTBF}}(k,\lambda )=\lambda \Gamma (1+1/k).}
瞬間 ワイブル分布に従う 確率変数の 対数 の モーメント 生成関数は [13] で与えられる。
E [ e t log X ] = λ t Γ ( t k + 1 ) {\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{t\log X}\right]=\lambda ^{t}\Gamma \left({\frac {t}{k}}+1\right)} ここで Γは ガンマ関数 である 。同様に、 log Xの 特性関数 は次のように与えられる。
E [ e i t log X ] = λ i t Γ ( i t k + 1 ) . {\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{it\log X}\right]=\lambda ^{it}\Gamma \left({\frac {it}{k}}+1\right).} 特に、 X の n 次の 素モーメント は次のように与えられる。
m n = λ n Γ ( 1 + n k ) . {\displaystyle m_{n}=\lambda ^{n}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right).} ワイブル 確率変数 の平均 と 分散は 次のように表される 。
E ( X ) = λ Γ ( 1 + 1 k ) {\displaystyle \operatorname {E} (X)=\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\,} そして
var ( X ) = λ 2 [ Γ ( 1 + 2 k ) − ( Γ ( 1 + 1 k ) ) 2 ] . {\displaystyle \operatorname {var} (X)=\lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}\right]\,.} 歪度は次のように表される。
γ 1 = 2 Γ 1 3 − 3 Γ 1 Γ 2 + Γ 3 [ Γ 2 − Γ 1 2 ] 3 / 2 {\displaystyle \gamma _{1}={\frac {2\Gamma _{1}^{3}-3\Gamma _{1}\Gamma _{2}+\Gamma _{3}}{[\Gamma _{2}-\Gamma _{1}^{2}]^{3/2}}}} ここで は次のようにも書ける。 Γ i = Γ ( 1 + i / k ) {\displaystyle \Gamma _{i}=\Gamma (1+i/k)}
γ 1 = Γ ( 1 + 3 k ) λ 3 − 3 μ σ 2 − μ 3 σ 3 {\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\Gamma \left(1+{\frac {3}{k}}\right)\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}} ここで平均は μ で表され、標準偏差は σ で表されます。
過剰 尖度 は次のように表される。
γ 2 = − 6 Γ 1 4 + 12 Γ 1 2 Γ 2 − 3 Γ 2 2 − 4 Γ 1 Γ 3 + Γ 4 [ Γ 2 − Γ 1 2 ] 2 {\displaystyle \gamma _{2}={\frac {-6\Gamma _{1}^{4}+12\Gamma _{1}^{2}\Gamma _{2}-3\Gamma _{2}^{2}-4\Gamma _{1}\Gamma _{3}+\Gamma _{4}}{[\Gamma _{2}-\Gamma _{1}^{2}]^{2}}}} ここで 、尖度過剰は次のようにも表される。 Γ i = Γ ( 1 + i / k ) {\displaystyle \Gamma _{i}=\Gamma (1+i/k)}
γ 2 = λ 4 Γ ( 1 + 4 k ) − 4 γ 1 σ 3 μ − 6 μ 2 σ 2 − μ 4 σ 4 − 3. {\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\lambda ^{4}\Gamma (1+{\frac {4}{k}})-4\gamma _{1}\sigma ^{3}\mu -6\mu ^{2}\sigma ^{2}-\mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}-3.}
モーメント生成関数 X 自身のモーメント母関数には様々な表現法がある 。 冪級数 として表すと、素モーメントは既に分かっているので、
E [ e t X ] = ∑ n = 0 ∞ t n λ n n ! Γ ( 1 + n k ) . {\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right).} あるいは、積分を直接扱うこともできる。
E [ e t X ] = ∫ 0 ∞ e t x k λ ( x λ ) k − 1 e − ( x / λ ) k d x . {\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\int _{0}^{\infty }e^{tx}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}\,dx.} パラメータ k が有理数と仮定し、 k = p / q （ p と q は整数）と表すと、この積分は解析的に評価できる。 [a] tを −t に置き換える と 、
E [ e − t X ] = 1 λ k t k p k q / p ( 2 π ) q + p − 2 G p , q q , p ( 1 − k p , 2 − k p , … , p − k p 0 q , 1 q , … , q − 1 q | p p ( q λ k t k ) q ) {\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{-tX}\right]={\frac {1}{\lambda ^{k}\,t^{k}}}\,{\frac {p^{k}\,{\sqrt {q/p}}}{({\sqrt {2\pi }})^{q+p-2}}}\,G_{p,q}^{\,q,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {1-k}{p}},{\frac {2-k}{p}},\dots ,{\frac {p-k}{p}}\\{\frac {0}{q}},{\frac {1}{q}},\dots ,{\frac {q-1}{q}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {p^{p}}{\left(q\,\lambda ^{k}\,t^{k}\right)^{q}}}\right)} ここで、 G は Meijer G 関数 です。
この 特徴的な関数 は Muraleedharan らによっても得られています。 (2007) [16]
最小値 を、尺度パラメータと形状パラメータ を持つ、独立かつ同一分布に従うワイブル確率変数とする 。これらの 確率変数 の最小値が である場合 、 の累積確率分布は 次のように与えられる。 X 1 , X 2 , … , X n {\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}} λ {\displaystyle \lambda } k {\displaystyle k} n {\displaystyle n} Z = min ( X 1 , X 2 , … , X n ) {\displaystyle Z=\min(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})} Z {\displaystyle Z}
F ( z ) = 1 − e − n ( z / λ ) k . {\displaystyle F(z)=1-e^{-n(z/\lambda )^{k}}.} つまり、もスケールパラメータ と形状パラメータ を持つ ワイブル分布になります 。 Z {\displaystyle Z} n − 1 / k λ {\displaystyle n^{-1/k}\lambda } k {\displaystyle k}
再パラメータ化のコツ いくつかの を固定する 。 を 非負とし、かつすべてゼロではないものとし、 を の独立サンプルとすると 、 [17] α > 0 {\displaystyle \alpha >0} ( π 1 , . . . , π n ) {\displaystyle (\pi _{1},...,\pi _{n})} g 1 , . . . , g n {\displaystyle g_{1},...,g_{n}} Weibull ( 1 , α − 1 ) {\displaystyle {\text{Weibull}}(1,\alpha ^{-1})}
arg min i ( g i π i − α ) ∼ Categorical ( π j ∑ i π i ) j {\displaystyle \arg \min _{i}(g_{i}\pi _{i}^{-\alpha })\sim {\text{Categorical}}\left({\frac {\pi _{j}}{\sum _{i}\pi _{i}}}\right)_{j}} min i ( g i π i − α ) ∼ Weibull ( ( ∑ i π i ) − α , α − 1 ) {\displaystyle \min _{i}(g_{i}\pi _{i}^{-\alpha })\sim {\text{Weibull}}\left(\left(\sum _{i}\pi _{i}\right)^{-\alpha },\alpha ^{-1}\right)} 。
シャノンエントロピー 情報 エントロピーは [18] で与えられる。
H ( λ , k ) = γ ( 1 − 1 k ) + ln ( λ k ) + 1 {\displaystyle H(\lambda ,k)=\gamma \left(1-{\frac {1}{k}}\right)+\ln \left({\frac {\lambda }{k}}\right)+1} ここで、 は オイラー・マスケロニ定数 です 。ワイブル分布は、 x k の 期待値が λ k に等しく 、 ln( x k ) の期待値が ln( λ k ) − に 等しい非負の実数乱数の 最大エントロピー分布 です。 γ {\displaystyle \gamma } γ {\displaystyle \gamma }
カルバック・ライブラー距離 2つのワイブル分布間のカルバック ・ライブラー分布は [19] で与えられる。
D KL ( W e i b 1 ∥ W e i b 2 ) = log k 1 λ 1 k 1 − log k 2 λ 2 k 2 + ( k 1 − k 2 ) [ log λ 1 − γ k 1 ] + ( λ 1 λ 2 ) k 2 Γ ( k 2 k 1 + 1 ) − 1 {\displaystyle D_{\text{KL}}(\mathrm {Weib} _{1}\parallel \mathrm {Weib} _{2})=\log {\frac {k_{1}}{\lambda _{1}^{k_{1}}}}-\log {\frac {k_{2}}{\lambda _{2}^{k_{2}}}}+(k_{1}-k_{2})\left[\log \lambda _{1}-{\frac {\gamma }{k_{1}}}\right]+\left({\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}\right)^{k_{2}}\Gamma \left({\frac {k_{2}}{k_{1}}}+1\right)-1}
パラメータ推定
ワイブルプロットを用いた最小二乗法 ワイブルプロット ワイブル分布のデータへの適合度は、ワイブルプロットを用いて視覚的に評価することができる。 [20] ワイブルプロットは、データの 経験的累積分布関数を Q-Qプロット の一種である特別な軸上にプロットしたものである 。軸は 対 である 。このように変数を変更する理由は、累積分布関数が線形化できるためである。 F ^ ( x ) {\displaystyle {\widehat {F}}(x)} ln ( − ln ( 1 − F ^ ( x ) ) ) {\displaystyle \ln(-\ln(1-{\widehat {F}}(x)))} ln ( x ) {\displaystyle \ln(x)}
F ( x ) = 1 − e − ( x / λ ) k − ln ( 1 − F ( x ) ) = ( x / λ ) k ln ( − ln ( 1 − F ( x ) ) ) ⏟ 'y' = k ln x ⏟ 'mx' − k ln λ ⏟ 'c' {\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\\[4pt]-\ln(1-F(x))&=(x/\lambda )^{k}\\[4pt]\underbrace {\ln(-\ln(1-F(x)))} _{\textrm {'y'}}&=\underbrace {k\ln x} _{\textrm {'mx'}}-\underbrace {k\ln \lambda } _{\textrm {'c'}}\end{aligned}}} これは標準的な直線の形をしていることがわかります。したがって、データがワイブル分布から得られたものであれば、ワイブルプロット上で直線が描かれることが期待されます。
データから経験分布関数を得るには様々なアプローチがあります。一つの方法は、各点の垂直座標を次のように求めることです。
F ^ = i − 0.3 n + 0.4 {\displaystyle {\widehat {F}}={\frac {i-0.3}{n+0.4}}} 、 ここで 、はデータポイントの順位、 はデータポイントの数である。 [21] [22] もう一つの一般的な推定量 [23] は i {\displaystyle i} n {\displaystyle n}
F ^ = i − 0.5 n {\displaystyle {\widehat {F}}={\frac {i-0.5}{n}}} 。 線形回帰は、適合度を数値的に評価し、ワイブル分布のパラメータを推定するためにも使用できます。勾配は形状パラメータを直接的に示し 、尺度パラメータ も推定できます。 k {\displaystyle k} λ {\displaystyle \lambda }
モーメント法 ワイブル分布の変動係数 は 形状パラメータのみに依存する： [24]
C V 2 = σ 2 μ 2 = Γ ( 1 + 2 k ) − ( Γ ( 1 + 1 k ) ) 2 ( Γ ( 1 + 1 k ) ) 2 . {\displaystyle CV^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{\mu ^{2}}}={\frac {\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}}{\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}}}.} サンプル量 を と等しくすると 、形状パラメータのモーメント推定値は、ルックアップテーブルまたは と のグラフから読み取ることができます 。 のより正確な推定値は、 求根アルゴリズムを用いて求めることができます。 s 2 / x ¯ 2 {\displaystyle s^{2}/{\bar {x}}^{2}} σ 2 / μ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}/\mu ^{2}} k {\displaystyle k} C V 2 {\displaystyle CV^{2}} k {\displaystyle k} k ^ {\displaystyle {\hat {k}}}
Γ ( 1 + 2 k ) − ( Γ ( 1 + 1 k ) ) 2 ( Γ ( 1 + 1 k ) ) 2 = s 2 x ¯ 2 . {\displaystyle {\frac {\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}}{\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}}}={\frac {s^{2}}{{\bar {x}}^{2}}}.} 尺度パラメータのモーメント推定値は、次の第1モーメント方程式を使用して求めることができる。
λ ^ = x ¯ Γ ( 1 + 1 k ^ ) . {\displaystyle {\hat {\lambda }}={\frac {\bar {x}}{\Gamma \left(1+{\frac {1}{\hat {k}}}\right)}}.}
最大尤度 与えられたパラメータ の 最大 尤度推定値は [24] である。 λ {\displaystyle \lambda } k {\displaystyle k}
λ ^ = ( 1 n ∑ i = 1 n x i k ) 1 k {\displaystyle {\widehat {\lambda }}=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}\right)^{\frac {1}{k}}} の最大尤度推定値は、 次の式の k の解である [25] k {\displaystyle k}
0 = ∑ i = 1 n x i k ln x i ∑ i = 1 n x i k − 1 k − 1 n ∑ i = 1 n ln x i {\displaystyle 0={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}\ln x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}}}-{\frac {1}{k}}-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln x_{i}} この方程式は 暗黙的にのみ定義されるため、通常は数値的な手段で解く必要があります 。 k ^ {\displaystyle {\widehat {k}}} k {\displaystyle k}
最大の観測サンプルが 個以上のサンプルのデータセットから 得られる 場合、 与えられたパラメータ の最大尤度推定値は [25] である。 x 1 > x 2 > ⋯ > x N {\displaystyle x_{1}>x_{2}>\cdots >x_{N}} N {\displaystyle N} N {\displaystyle N} λ {\displaystyle \lambda } k {\displaystyle k}
λ ^ k = 1 N ∑ i = 1 N ( x i k − x N k ) {\displaystyle {\widehat {\lambda }}^{k}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}-x_{N}^{k})} また、その条件を与えられた場合、 の最大尤度推定値は [ 引用が必要 ] である。 k {\displaystyle k}
0 = ∑ i = 1 N ( x i k ln x i − x N k ln x N ) ∑ i = 1 N ( x i k − x N k ) − 1 N ∑ i = 1 N ln x i {\displaystyle 0={\frac {\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}\ln x_{i}-x_{N}^{k}\ln x_{N})}{\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}-x_{N}^{k})}}-{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln x_{i}} 繰り返しますが、これは暗黙的な関数なので、通常は 数値的な手段で解く必要があります。 k {\displaystyle k}
アプリケーション ワイブル分布が使用される [ 要出典 ]
CumFreqを用いて最大日降雨量に累積ワイブル分布を当てはめた。 分布フィッティングも参照 [26] 石油生産時系列データの近似曲線 [27] 生存分析 では 信頼性工学 と 故障解析 において 電気工学 において、 電気システムで発生する過電圧を表す 工業工学 では 製造 と 配送の 時間 を表すために 極値理論 では 天気予報 や 風力発電業界 では、 風速分布 を記述するため に、自然分布がワイブル形状と一致することが多いため [28] 通信システム工学 情報検索 において、 ウェブページ上の滞在時間をモデル化する。 [29] 一般的な保険 では、 再保険 請求の規模 と アスベスト症 損失の累積的な発展をモデル化する 技術変化の予測（シャリフ・イスラムモデルとしても知られる） [30] 水文学 では、 ワイブル分布は年間最大日降雨量や河川流量などの極端な事象に適用されます。 シェール油井の石油生産率曲線をモデル化する 減少曲線分析 において。 [27] 粉砕、 製粉 、 破砕操作によって生成される 粒子 のサイズを記述する際に 、2パラメータワイブル分布が使用され、これらの用途ではロジン・ラムラー分布と呼ばれることもあります。 [31]この文脈では 、対数正規分布 よりも微粒子の数が少ないと予測され 、通常、狭い粒度分布の場合に最も正確です。 [32] 累積分布関数の解釈は、 が より小さい直径を持つ粒子の 質量分率 であり 、 が 平均粒子サイズ、 が 粒子サイズの広がりの尺度である、となります。 F ( x ; k , λ ) {\displaystyle F(x;k,\lambda )} x {\displaystyle x} λ {\displaystyle \lambda } k {\displaystyle k} ランダムな点群（理想気体中の粒子の位置など）を記述する場合、 与えられた粒子からある距離にある最も近い粒子を見つける確率は 、粒子の密度に等しいワイブル分布で与えられる。 [ 33] x {\displaystyle x} k = 3 {\displaystyle k=3} ρ = 1 / λ 3 {\displaystyle \rho =1/\lambda ^{3}} 宇宙船に搭載された放射線誘発 シングルイベント効果 の速度を計算する際には、実験的に測定されたデバイス 断面積の確率 データを粒子の 線形エネルギー伝達 スペクトルに当てはめるために、4パラメータのワイブル分布が使用されます。 [34] ワイブル近似は、もともと粒子のエネルギーレベルが統計分布に一致するという考えから使用されていましたが、この考えは後に誤りであることが証明され [ 要出典 ] 、ワイブル近似は、実証された物理的根拠ではなく、多くの調整可能なパラメータがあるために引き続き使用されています。 [35]
予測 トレーニング データとサンプル外データの両方がワイブル分布に従うという仮定の下で、サンプル外データの確率を予測することが重要な場合がよくあります。 上記のワイブルパラメータの モーメント法 または 最尤推定値を 累積分布関数 に代入して得られる予測値は、 パラメータの不確実性を無視している。その結果、確率は十分に 較正されて おらず、サンプル外事象の頻度を反映しておらず、特にサンプル外テール事象の確率を過小評価する。 [36] 客観的 ベイズ的アプローチを用いて事前予測を較正することで、この過小評価は完全に排除されます。ワイブル分布は、 グループ 構造を持つ統計分布の一つです 。グループ構造の結果として、ワイブル分布には左ハール測度と右 ハール測度が 関連付けられます。ベイズ予測において、右ハール測度を 事前分布 （右ハール事前分布と呼ばれる）として使用すると、基礎となる真のパラメータ値に対して、完全に較正された確率が得られます。 [37] [36] [38] 適切な右ハール事前分布を用いたワイブル分布の事前予測の較正は、 R ソフトウェアパッケージfitdistcpに実装されています。[1]
の場合 、変数 は 位置パラメータ 、尺度パラメータで ガンベル（最小）分布に従います 。つまり、 です 。 W ∼ W e i b u l l ( λ , k ) {\displaystyle W\sim \mathrm {Weibull} (\lambda ,k)} G = log W {\displaystyle G=\log W} μ = log λ {\displaystyle \mu =\log \lambda } β = 1 / k {\displaystyle \beta =1/k} G ∼ G u m b e l min ( log λ , 1 / k ) {\displaystyle G\sim \mathrm {Gumbel} _{\min }(\log \lambda ,1/k)}
ワイブル分布は、両方の形状パラメータが k に等しい 一般化ガンマ分布 です。
変換ワイブル分布（または3パラメータワイブル分布）には追加のパラメータが含まれています。 [13] 確率密度関数 は f ( x ; k , λ , θ ) = k λ ( x − θ λ ) k − 1 e − ( x − θ λ ) k {\displaystyle f(x;k,\lambda ,\theta )={k \over \lambda }\left({x-\theta \over \lambda }\right)^{k-1}e^{-\left({x-\theta \over \lambda }\right)^{k}}\,}
、 の場合 、 は 分布の 形状 パラメータ 、 は 尺度パラメータ 、は 分布の 位置パラメータ です。 値は、通常のワイブル過程が始まる前の初期の無故障時間を設定します。 のとき 、これは2パラメータ分布に簡約されます。 x ≥ θ {\displaystyle x\geq \theta } f ( x ; k , λ , θ ) = 0 {\displaystyle f(x;k,\lambda ,\theta )=0} x < θ {\displaystyle x<\theta } k > 0 {\displaystyle k>0} λ > 0 {\displaystyle \lambda >0} θ {\displaystyle \theta } θ {\displaystyle \theta } θ = 0 {\displaystyle \theta =0}
ワイブル分布は、確率変数 が W {\displaystyle W} X = ( W λ ) k {\displaystyle X=\left({\frac {W}{\lambda }}\right)^{k}}
は強度1の 標準 指数分布である。 [13] これは、ワイブル分布が一様分布 によって特徴付けられることを意味します 。つまり、 が 上で一様分布する場合 、確率変数 はパラメータ およびを持つワイブル分布に従います 。 ここで は上記の と等価であることに注意してください 。これにより、ワイブル分布をシミュレートするための容易に実装可能な数値スキームが実現されます。 U {\displaystyle U} ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} W = λ ( − ln ( U ) ) 1 / k {\displaystyle W=\lambda (-\ln(U))^{1/k}\,} k {\displaystyle k} λ {\displaystyle \lambda } − ln ( U ) {\displaystyle -\ln(U)} X {\displaystyle X} ワイブル分布は、のときの 強度を持つ指数分布 と、 のときの モードの レイリー分布 の間を補間します。 1 / λ {\displaystyle 1/\lambda } k = 1 {\displaystyle k=1} σ = λ / 2 {\displaystyle \sigma =\lambda /{\sqrt {2}}} k = 2 {\displaystyle k=2} ワイブル分布（ 信頼性工学 では通常十分である）は、3パラメータ 指数ワイブル分布 の特別なケースであり、追加の指数は1に等しい。指数ワイブル分布は、 単峰性 、 バスタブ型 [39] 、および 単調な 故障率 に対応します。
ワイブル分布は、 一般化極値分布 の特殊なケースである。この分布は、 1927年に モーリス・フレシェによって初めて同定された 。[40] この研究にちなんで名付けられた、密接に関連する フレシェ分布は 、確率密度関数 f F r e c h e t ( x ; k , λ ) = k λ ( x λ ) − 1 − k e − ( x / λ ) − k = f W e i b u l l ( x ; − k , λ ) . {\displaystyle f_{\rm {Frechet}}(x;k,\lambda )={\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{-1-k}e^{-(x/\lambda )^{-k}}=f_{\rm {Weibull}}(x;-k,\lambda ).}
それぞれ異なるワイブル分布を持つ複数のランダム変数の最小値として定義されるランダム変数の分布は、 ポリワイブル分布 です。
ワイブル分布は、ロジンとラムラー（1933） [3] によって初めて粒度分布を記述するために適用されました。これは 鉱物処理において 粉砕 プロセスにおける 粒度分布 を記述するために広く用いられています 。この文脈では、累積分布は次のように表されます。 f ( x ; P 80 , m ) = { 1 − e ln ( 0.2 ) ( x P 80 ) m x ≥ 0 , 0 x < 0 , {\displaystyle f(x;P_{\rm {80}},m)={\begin{cases}1-e^{\ln \left(0.2\right)\left({\frac {x}{P_{\rm {80}}}}\right)^{m}}&x\geq 0,\\0&x<0,\end{cases}}}
どこ x {\displaystyle x} 粒子の大きさは P 80 {\displaystyle P_{\rm {80}}} 粒度分布の80パーセンタイルである m {\displaystyle m} 分布の広がりを表すパラメータである スプレッドシート で利用できるため、 Erlang分布 によって基礎となる動作がより適切にモデル化される場合にも使用されます 。 [41] もし そうなら （ 指数分布 ） X ∼ W e i b u l l ( λ , 1 2 ) {\displaystyle X\sim \mathrm {Weibull} (\lambda ,{\frac {1}{2}})} X ∼ E x p o n e n t i a l ( 1 λ ) {\displaystyle {\sqrt {X}}\sim \mathrm {Exponential} ({\frac {1}{\sqrt {\lambda }}})}
同じ k の値の場合、 ガンマ分布は 同様の形状になりますが、ワイブル分布はより 扁平状に なります。
参照
注記 ^ k が整数の 場合については Cheng, Tellambura & Beaulieu (2004) [14] を、有理数の場合についてはSagias & Karagiannidis (2005) [15]を参照。
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離散 一変数
連続 一変量
制限された間隔 でサポートされている 半無限 間隔 でサポートされている 実数直線 全体で サポートされている さまざまなタイプの サポート付き
混合 単変量
多変量 （ジョイント） 方向性 退化 と 特異性 家族
![{\displaystyle \lambda^{2}\left[\Gamma\left(1+{\frac{2}{k}}\right)-\left(\Gamma\left(1+{\frac{1}{k}}\right)\right)^{2}\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55fa6b5cdbe81bb9e6aa0452a2c619623cb23f14)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{t\log X}\right]=\lambda ^{t}\Gamma \left({\frac {t}{k}}+1\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/992fe36496b44da30c136e71b8d389bbd3cf5c28)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{it\log X}\right]=\lambda ^{it}\Gamma \left({\frac {it}{k}}+1\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cafc0ab087d13e9a81eefaa6164a1165323b3065)
![{\displaystyle \operatorname {var} (X)=\lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}\right]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1fbeabd8489533ec121cdd57f2003ba5229d5d8)
![{\displaystyle \gamma _{1}={\frac {2\Gamma _{1}^{3}-3\Gamma _{1}\Gamma _{2}+\Gamma _{3}}{[\Gamma _{2}-\Gamma _{1}^{2}]^{3/2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4debe36ebd435e3ab5ec52a91d071e8b89fd75be)
![{\displaystyle \gamma _{2}={\frac {-6\Gamma _{1}^{4}+12\Gamma _{1}^{2}\Gamma _{2}-3\Gamma _{2}^{2}-4\Gamma _{1}\Gamma _{3}+\Gamma _{4}}{[\Gamma _{2}-\ガンマ _{1}^{2}]^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22013ea4a622ab7a9f7764bc198cfb7ee020c5dd)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb62dff92f0aad620ce5249b5c4463525c568bea)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\int _{0}^{\infty }e^{tx}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60d34e366e5a1f3e487afba88552504547a972f9)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{-tX}\right]={\frac {1}{\lambda ^{k}\,t^{k}}}\,{\frac {p^{k}\,{\sqrt {q/p}}}{({\sqrt {2\pi }})^{q+p-2}}}\,G_{p,q}^{\,q,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {1-k}{p}},{\frac {2-k}{p}},\dots ,{\frac {pk}{p}}\\{\frac {0}{q}},{\frac {1}{q}},\dots ,{\frac {q-1}{q}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {p^{p}}{\left(q\,\lambda ^{k}\,t^{k}\right)^{q}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/992350d0b4b2c014907ad897f1764513c53539ec)
![{\displaystyle D_{\text{KL}}(\mathrm {Weib} _{1}\parallel \mathrm {Weib} _{2})=\log {\frac {k_{1}}{\lambda _{1}^{k_{1}}}}-\log {\frac {k_{2}}{\lambda _{2}^{k_{2}}}}+(k_{1}-k_{2})\left[\log \lambda _{1}-{\frac {\gamma }{k_{1}}}\right]+\left({\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}\right)^{k_{2}}\Gamma \left({\frac {k_{2}}{k_{1}}}+1\right)-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b8b701f13ae0a9c80fb4358f74495e09b96fe3f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\\[4pt]-\ln(1-F(x))&=(x/\lambda )^{k}\\[4pt]\underbrace {\ln(-\ln(1-F(x)))} _{\textrm {'y'}}&=\underbrace {k\ln x} _{\textrm {'mx'}}-\underbrace {k\ln \lambda } _{\textrm {'c'}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/211d2c05e68101789978ade36bb598b66e56c5a0)
