ワイエルシュトラスの因数分解定理

Theorem in complex analysis that entire functions can be factorized according to their zeros

数学、特に複素解析の分野において、ワイエルシュトラスの因数分解定理は、すべての関数は（おそらく無限個の）零点を含む積として表せると主張している。この定理は、すべての多項式は根ごとに1つずつ線型因数に因数分解できると主張する代数学の基本定理の拡張と見なすことができる。

カール・ワイエルシュトラスにちなんで名付けられたこの定理は、無限大に向かうすべての数列には、その数列のちょうどその点にゼロを持つ関連する完全関数が存在するという 2 番目の結果と密接に関連しています。

この定理の一般化により、有理型関数に拡張され、与えられた有理型関数を、関数の零点と極に依存する項と、関連する非零の正則関数という3つの要素の積として考えることができる。^[要出典]

モチベーション

複素平面上の任意の有限点集合には、その集合の点を零点とする多項式が必ず存在する。逆は代数の基本定理から導かれる。すなわち、複素平面上の任意の多項式関数は、aを非零定数とし、 aを零点の集合とする因数分解を持つ。^[1] ${\displaystyle \{c_{n}\}}$ ${\textstyle p(z)=\prod _{n}(z-c_{n})}$ ${\displaystyle p(z)}$ ${\textstyle p(z)=a\prod _{n}(z-c_{n}),}$ ${\displaystyle \{c_{n}\}}$ ${\displaystyle p(z)}$

ワイエルシュトラスの因数分解定理の2つの形式は、上記の定理を整関数に拡張したものと考えることができる。積における追加項の必要性は、列が有限でない場合を考えれば明らかである。無限積は収束しないため、整関数を定義することはできない。したがって、一般に、所定の零点の列から整関数を定義したり、代数の基本定理によって得られる表現を用いて零点によって整関数を表すことはできない。その代わりに、この定理はこれらの零点を他の因数に置き換える。 ${\textstyle \prod _{n}(z-c_{n})}$ ${\displaystyle \{c_{n}\}}$

問題の無限積が収束するために必要な条件は、各 に対して、 を置き換える因数がになるにつれて 1 に近づくことです。したがって、所定の点では 0 となり、その点以外では 1 に近い値を維持し、さらに所定の数以上の零点を導入しないような因数関数を求めるのは理にかなっています。ワイエルシュトラスの基本因数はこれらの特性を持ち、上記の因数と同じ目的を果たします。 ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle (z-c_{n})}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle (z-c_{n})}$

基本要因

の形の関数を考える。 において、それらは と評価され、 の位数まで平坦な傾きを持つ。 の直後、それらは急激に小さな正の値へと減少する。対照的に、平坦な傾きを持たないが、 において正確にゼロと評価される関数を考える。また、| z | < 1において、 ${\textstyle \exp \left(-{\tfrac {z^{n+1}}{n+1}}\right)}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z=1}$ ${\displaystyle 1-z}$ ${\displaystyle z=1}$

${\displaystyle (1-z)=\exp(\ln(1-z))=\exp \left(-{\tfrac {z^{1}}{1}}-{\tfrac {z^{2}}{2}}-{\tfrac {z^{3}}{3}}+\cdots \right).}$

E _n ( x )のプロット（n = 0, ..., 4、xは[−1, 1]の区間）

基本因子[ ^2]は一次因子^[3] とも呼ばれ、 ゼロの傾きとゼロの値の特性を組み合わせた関数です（図を参照）。

${\displaystyle E_{n}(z)={\begin{cases}(1-z)&{\text{if }}n=0,\\(1-z)\exp \left({\frac {z^{1}}{1}}+{\frac {z^{2}}{2}}+\cdots +{\frac {z^{n}}{n}}\right)&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

| z | < 1かつの場合、これを と表現することができ 、これらのプロパティがどのように適用されるかを読み取ることができます。 ${\displaystyle n>0}$ ${\textstyle \displaystyle E_{n}(z)=\exp \left(-{\tfrac {z^{n+1}}{n+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {z^{k}}{1+k/(n+1)}}\right)}$

基本因子の有用性は次の補題にある: ^[2] ${\textstyle E_{n}(z)}$

補題（15.8、ルディン）| z | ≤ 1 の場合、 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \vert 1-E_{n}(z)\vert \leq \vert z\vert ^{n+1}.}$

指定されたゼロを持つ関数全体の存在

を となる非ゼロ複素数列とする。がとなる非負整数列であるとする。 ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle |a_{n}|\to \infty }$ ${\displaystyle \{p_{n}\}}$ ${\displaystyle r>0}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(r/|a_{n}|\right)^{1+p_{n}}<\infty ,}$

次に関数

${\displaystyle E(z)=\prod _{n=1}^{\infty }E_{p_{n}}(z/a_{n})}$

は点でのみ零点を持つ。^[2]ある数が数列にちょうどm回現れる場合、関数Eは重複度mの点で零点を持つ。 ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle z=z_{0}}$

• 定理の記述における列は常に存在します。例えば、常に を取り、収束させることができます。このような列は一意ではありません。有限個の位置でこの列を変えたり、別の列p ′ _n ≥ p _nを取ったりしても、収束は破れません。 ${\displaystyle \{p_{n}\}}$ ${\displaystyle p_{n}=n}$
• この定理は次のように一般化される：リーマン球面の開集合（したがって領域）内の数列には、それらの部分集合内で正則で、数列の点で零点を持つ関数が関連付けられる。 ^[2]

ワイエルシュトラスの因数分解定理

ƒ を整関数とし、 をƒの非零の零点を重複度に応じて繰り返すものとする。また、ƒ はz = 0においてm ≥ 0の零点を持つとする。^[a]このとき、整関数gと整数列が存在し、 ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle \{p_{n}\}}$

${\displaystyle f(z)=z^{m}e^{g(z)}\prod _{n=1}^{\infty }E_{p_{n}}\!\!\left({\frac {z}{a_{n}}}\right).}$^[4]

代数学の基本定理で示されたケースがここに組み入れられています。もし数列が有限であれば、とをとって を得ることができます。 ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle p_{n}=0}$ ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle e^{g(z)}=c}$ ${\displaystyle \,f(z)=c\,{\displaystyle \prod }_{n}(z-a_{n})}$

因数分解の例

三角関数の正弦関数と余弦関数は因数分解できるが、ガンマ関数は因数分解できる 。ここで はオイラー・マスケロニ定数である。^{[引用が必要]}余弦恒等式は の特別な場合とみなすことができる。[^{引用が必要]} $${\displaystyle \sin \pi z=\pi z\prod _{n\neq 0}\left(1-{\frac {z}{n}}\right)e^{z/n}=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-\left({\frac {z}{n}}\right)^{2}\right)}$$ $${\displaystyle \cos \pi z=\prod _{q\in \mathbb {Z} ,\,q\;{\text{odd}}}\left(1-{\frac {2z}{q}}\right)e^{2z/q}=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-\left({\frac {z}{n+{\tfrac {1}{2}}}}\right)^{2}\right)}$$ ${\displaystyle \Gamma }$ $${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=e^{\gamma z}z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-z/n},}$$ ${\displaystyle \gamma }$ $${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (s-z)\Gamma (s+z)}}={\frac {1}{\Gamma (s)^{2}}}\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-\left({\frac {z}{n+s}}\right)^{2}\right)}$$ ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}}$

アダマール因数分解定理

ワイエルシュトラスの因数分解定理の特殊なケースは、有限位数の整関数 に対して発生します。この場合、は から独立に取ることができ、関数は多項式です。したがって 、の根でゼロでないもの ( )は(この場合を意味するものとする) における の零点の位数であり、多項式(その次数を と呼ぶ)、 は級数が収束するような最小の非負の整数です。これはアダマールの標準表現と呼ばれます。 ^[4]非負の整数は、関数 の種数と呼ばれます。の位数はを満たします。言い換えると、位数が整数でない場合、 はの整数部です。位数が正の整数である場合、または の2 つの可能性があります。 ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g(z)}$ $${\displaystyle f(z)=z^{m}e^{P(z)}\prod _{k=1}^{\infty }E_{p}(z/a_{k})}$$ ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a_{k}\neq 0}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle f(0)\neq 0}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{|a_{n}|^{p+1}}}}$$ ${\displaystyle g=\max\{p,q\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle g\leq \rho \leq g+1}$$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle g=[\rho ]}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle g=\rho -1}$ ${\displaystyle g=\rho }$

たとえば、、は種数の整関数です。 ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle g=\rho =1}$

参照

• ミッタク・レフラーの定理
• ワリス積は、この定理を正弦関数に適用することで得られる。
• ブラシュケ積

注記

1. z = 0におけるm = 0の零点は、 ƒ (0) ≠ 0を意味するものと解釈されます。つまり、には零点がありません。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0}$

1. Knopp, K. (1996)、「Weierstrass's Factor-Theorem」、関数理論、パート II、ニューヨーク: ドーバー、pp.  1–7。
2. Rudin, W. (1987), 実解析と複素解析(PDF) (第3版)、ボストン: McGraw Hill、pp.  299– 304、ISBN 0-07-054234-1、OCLC  13093736
3. Boas, RP (1954), Entire Functions , New York: Academic Press Inc., ISBN 0-8218-4505-5、OCLC  6487790 {{citation}}: ISBN / Date incompatibility (help)、第2章。
4. Conway, JB (1995), Functions of One Complex Variable I, 2nd ed. , springer.com: Springer, ISBN 0-387-90328-3

外部リンク

• 「ワイエルシュトラスの定理」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]

• ウェイバックマシンにおけるオイラーによる正弦関数のワイエルシュトラス分解の可視化（2018年11月30日アーカイブ）

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