ヴェイユ予想

On generating functions from counting points on algebraic varieties over finite fields

数学において、ヴェイユ予想はアンドレ・ヴェイユ（1949）による非常に影響力のある提唱でした 。この予想は、数十年にわたる成功裏に証明され、多くの著名な研究者によって現代の代数幾何学と数論の枠組みが構築されました。

この予想は、有限体上の代数多様体上の点を数えることによって導かれる生成関数（局所ゼータ関数として知られる）に関するものである。q 個の元を持つ有限体上の多様体Vには、元の体における座標を持つ有理点が有限個存在するほか、元の体の任意の有限拡大における座標を持つ点も存在する。生成関数の係数は、 q ^k個の元を持つ拡大体上の点の数N _kから導かれる。

ヴェイユは、滑らかな多様体に対するそのようなゼータ関数は有理関数であり、ある関数方程式を満たし、零点が制限された場所に存在すると予想した。最後の2つの部分は、リーマンゼータ関数を意図的にモデル化したものである。リーマンゼータ関数は素整数に対する生成関数の一種であり、関数方程式に従い、（予想的に）零点がリーマン予想によって制限される。その有理性はベルナール・ドゥワーク （1960年）、関数方程式はアレクサンダー・グロタンディーク （1965年）、リーマン予想の類似物はピエール・ドリーニュ （1974年）によって証明された。

背景と歴史

ヴェイユ予想の最も古い先駆者はカール・フリードリヒ・ガウスによるもので、彼の著書『算術論』（Mazur 1974）の第 VII 節に登場し、単位根と ガウス周期について述べている。記事 358 では、ガウスは、二次拡大の塔を築く周期から、正多角形の構築へと移り、pが 3 を法として 1 と合同な素数であると仮定する。すると、p次の単位根の円分体の内部に巡回 3 次体が存在し、この体の整数の周期の正規整基底が存在する（ヒルベルト・スパイザーの定理の一例）。ガウスは、乗法の下でpを法として非ゼロの剰余の巡回群( Z / p Z ) ^×と、その指数 3 の一意な部分群に対応する、位数 3 の周期を構成する。ガウスは、、、をその剰余類とする。exp(2 πi / p )に適用されたこれらの剰余類に対応する周期（単位根の和）を取って、彼はこれらの周期には計算に利用できる乗算表があることを指摘する。 積は周期の線形結合であり、彼は係数を決定する。 彼は、たとえば、 を、に含まれ、1 つ増やした後で にも含まれるZ / p Zの要素の数に等しく設定する。 彼は、この数と関連する数が周期の積の係数であることを証明した。 これらの集合とヴェイユ予想の関係を見るために、αとα + 1 が両方とも に含まれる場合、 Z / p Zにxとy が存在して、x ³ = αかつy ³ = α + 1となることに注目する。したがって、x ³ + 1 = y ³となる。したがって、は有限体Z / p Zにおけるx ³ + 1 = y ³の解の数と関係している。他の係数も同様の解釈となる。したがって、ガウスによる周期積の係数の決定は、これらの点の数を数えることになる。 ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {R}}'}$ ${\displaystyle {\mathfrak {R}}''}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {R}}{\mathfrak {R}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {R}}{\mathfrak {R}})}$彼は楕円曲線を証明し、その副産物としてリーマン予想の類似物を証明した。

代数曲線の特殊な場合におけるヴェイユ予想は、エミール・アルティン（1924）によって予想された 。有限体上の曲線の場合はヴェイユによって証明され、有限体上の楕円曲線に関するハッセの定理によって開始された研究は完了した。ヴェイユ予想の関心は数論の分野からも明らかであった。それは、解析数論における基本的な関心事である指数和の上限を示唆していたからである（モレノ 2001）。

他の数学分野の観点から真に注目を集めたのは、代数的位相幾何学との関連を提案した点であった。有限体は本質的に離散的であり、位相幾何学は連続体についてのみ論じるという点を踏まえると、ヴェイユの詳細な定式化（いくつかの例題の解に基づく）は印象的で斬新であった。それは、有限体上の幾何学が、ベッティ数やレフシェッツの不動点定理などに関するよく知られたパターンに当てはまるはずであることを示唆した。

位相幾何学との類似性から、代数幾何学に適用する新しいホモロジー理論を構築する必要があることが示唆された。これは、セールからの最初の示唆を基にして20年を要した（これはアレクサンダー・グロタンディークの研究と学派の中心的目的であった） 。予想の有理性部分は、p進法を用いて、ベルナール・ドゥワーク （1960）によって最初に証明された。グロタンディーク（1965）と彼の協力者は、グロタンディークとミヒャエル・アルティンがヴェイユ予想を攻撃するために開発した新しいコホモロジー理論であるエタール・コホモロジーの特性を用いて、有理性予想、関数方程式、ベッティ数との関連を確立した。エタール・コホモロジーは、グロタンディーク（1960）で概説されている。4つの予想のうち、リーマン予想の類似物が最も証明が難しかった。セール（1960）によるケーラー多様体に対するヴェイユ予想の類似物の証明に触発され、グロタンディークは代数的サイクルに関する彼の標準予想（クライマン、1968）に基づく証明を構想した。しかし、グロタンディークの標準予想は未解決のままである（ただし、ドゥリーニュがヴェイユ予想の研究を拡張して証明した硬いレフシェッツ定理は除く）。また、リーマン予想の類似物は ドゥリーニュ （1974）によって証明された。ドゥリーニュはエタールコホモロジー理論を用いて証明したが、独創的な議論によって標準予想の使用を回避した。

Deligne (1980) は、層のプッシュフォワードの重みを制限する、ヴェイユ予想の一般化を発見し、証明しました。

ヴェイユ予想の記述

Xがq個の元を持つ体F _q上の非特異な n次元射影代数多様体であるとする。Xのゼータ関数ζ ( X , s )は定義により

${\displaystyle \zeta (X,s)=\exp \left(\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {N_{m}}{m}}q^{-ms}\right)}$

ここで、N _mはF _qのm次拡大F _{q ^m}上で定義されたX の点の数です。

ヴェイユ予想は次のように述べています。

1. （有理性）ζ ( X , s )はT = q ^{− s}の有理関数である。より正確には、ζ ( X , s )は有限交代積として表される。

${\displaystyle \prod _{i=0}^{2n}P_{i}(q^{-s})^{(-1)^{i+1}}={\frac {P_{1}(T)\dotsb P_{2n-1}(T)}{P_{0}(T)\dotsb P_{2n}(T)}},}$

ここで各P _i ( T )は整多項式である。さらに、P ₀ ( T ) = 1 − T、P _{2 n} ( T ) = 1 − q ⁿ Tであり、1 ≤ i ≤ 2 n − 1に対して、P _i ( T )はα _{ij の}ような数に対してC上で因数分解される。 ${\displaystyle \textstyle \prod _{j}(1-\alpha _{ij}T)}$

2. （関数方程式とポアンカレ双対性）ゼータ関数は

${\displaystyle \zeta (X,n-s)=\pm q^{nE/2-Es}\zeta (X,s)}$

または同等

${\displaystyle \zeta (X,q^{-n}T^{-1})=\pm q^{nE/2}T^{E}\zeta (X,T)}$

ここで_、 EはXのオイラー特性^である。特に、各iについて、α2n _{− i , 1}、α2n _{− i , 2}、…は、_ある順序でqn ^/ αi _,1、qn / _{αi , 2}、…と等しい。

3. （リーマン予想）1 ≤ i ≤ 2 n − 1およびjのすべてに対して、| α _{i , j} | = q ^{i /2 が成り立つ。これは、} P _k ( T )のすべての零点が、実部k /2を持つ複素数sの「臨界線」上にあることを意味する。

4. (ベッティ数) X が複素数体に埋め込まれた数体上に定義された非特異射影多様体Yの(良好な)「pを法とする縮約」である場合、 P _iの次数はYの複素点の空間のi^番目のベッティ数です。

例

射影直線

最も単純な例（点以外）は、Xを射影直線とすることです。q ^m個の元を持つ体上のXの点の数は、 N _m = q ^m + 1です（ここで「+ 1」は「無限遠点」に由来します）。ゼータ関数は、

${\displaystyle {\frac {1}{(1-q^{-s})(1-q^{1-s})}}.}$

ヴェイユ予想のすべての部分を直接確認するのは簡単です。例えば、対応する複素多様体はリーマン球面であり、その初期ベッティ数は1, 0, 1です。

射影空間

n次元射影空間を計算するのはそれほど難しくありません。q m個の元を持つ体上のXの点の数は、 N _m = 1 + q ^m + q ^{2 m} + ⋯ + q ^nmです。^ゼータ関数は、

${\displaystyle {\frac {1}{(1-q^{-s})(1-q^{1-s})\dots (1-q^{n-s})}}.}$

ヴェイユ予想のすべての部分を直接確認することも簡単です。（複素射影空間は関連するベッティ数を与え、それが答えをほぼ決定します。）

射影直線と射影空間上の点の数は、有限個のアフィン空間のコピーの互いに素な和として書けるため、非常に簡単に計算できます。また、グラスマン多様体や旗多様体など、同様の「舗装」特性を持つ他の空間に対するヴェイユ予想の証明も容易です。

楕円曲線

これらは、ヴェイユ予想（ハッセによって証明された）の最初の非自明な場合を与える。Eがq個の元を持つ有限体上の楕円曲線である場合、q ^m個の元を持つ体上で定義されたEの点の数は1 − α ^m − β ^m + q ^mである。ここでαとβは絶対値が√qである複素共役である。ゼータ関数は

${\displaystyle {\frac {(1-\alpha q^{-s})(1-\beta q^{-s})}{(1-q^{-s})(1-q^{1-s})}}.}$

ベッティ数はトーラス、1、2、1 で与えられ、分子は二次関数です。

超楕円曲線

例として、超楕円曲線^{[1]を考えてみましょう。}

${\displaystyle C:y^{2}+y=x^{5},}$

これは種数、次元である。最初は有理数 上で定義された曲線として見られるが、この曲線はすべての素数 において良好な簡約性を持つ。したがって、 を法として簡約すると、となる種数2の超楕円曲線が得られる。例として、ヴェイユ多項式、および のゼータ関数は次の形をとる。 ${\displaystyle g=2}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle C/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle 5\neq q\in \mathbb {P} }$ ${\displaystyle q\neq 5}$ ${\displaystyle C/{\bf {F}}_{q}:y^{2}+h(x)y=f(x)}$ ${\displaystyle h(x)=1,f(x)=x^{5}\in {\bf {F}}_{q}[x]}$ ${\displaystyle q=41}$ ${\displaystyle P_{i}(T)}$ ${\displaystyle i=0,1,2,}$ ${\displaystyle C/{\bf {F}}_{41}}$

${\displaystyle \zeta (C/{\bf {F}}_{41},s)={\frac {P_{1}(T)}{P_{0}(T)\cdot P_{2}(T)}}={\frac {1-9\cdot T+71\cdot T^{2}-9\cdot 41\cdot T^{3}+41^{2}\cdot T^{4}}{(1-T)(1-41\cdot T)}}.}$

と の値は、それぞれとの解の数を数え、無限遠点 を考慮するためにこれら2つの数にそれぞれ1を加えることで決定できます。この数え方から、 とが得られます。これは次の式から分かります。^[2] ${\displaystyle c_{1}=-9}$ ${\displaystyle c_{2}=71}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle y^{2}+y=x^{5}}$ ${\displaystyle {\bf {F}}_{41}}$ ${\displaystyle {\bf {F}}_{41^{2}}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle N_{1}=33}$ ${\displaystyle N_{2}=1743}$

${\displaystyle c_{1}=N_{1}-1-q=33-1-41=-9}$   そして

${\displaystyle c_{2}=(N_{2}-1-q^{2}+c_{1}^{2})/2=(1743-1-41^{2}+(-9)^{2})/2=71.}$

の零点はと（これらの実数部と虚数部の小数展開は小数点第5位以下を切り捨てる）であり、その複素共役は と である。したがって、 を因数分解すると と なる。ヴェイユ予想の第3部（リーマン予想）で述べられているように、の場合 である。 ${\displaystyle P_{1}(T)}$ ${\displaystyle z_{1}:=0.12305+{\sqrt {-1}}\cdot 0.09617}$ ${\displaystyle z_{2}:=-0.01329+{\sqrt {-1}}\cdot 0.15560}$ ${\displaystyle z_{3}:={\bar {z}}_{1}}$ ${\displaystyle z_{4}:={\bar {z}}_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}(T)=\prod _{j=1}^{4}(1-\alpha _{1,j}T)}$ ${\displaystyle \alpha _{1,j}=1/z_{j}}$ ${\displaystyle |\alpha _{1,j}|={\sqrt {41}}}$ ${\displaystyle j=1,2,3,4}$

に属する非特異射影複素多様体にはベッティ数 が存在します。^[3]ヴェイユ予想の第4部で述べたように、（位相的に定義された）ベッティ数は、すべての素数に対して、 ヴェイユ多項式 の次数と一致します。 ${\displaystyle C/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle B_{0}=1,B_{1}=2g=4,B_{2}=1}$ ${\displaystyle P_{i}(T)}$ ${\displaystyle q\neq 5}$ ${\displaystyle {\rm {deg}}(P_{i})=B_{i},\,i=0,1,2}$

アーベル面

アーベル面は2次元アーベル多様体である。つまり、群の構成と逆元を取ることと両立する形で、群の構造も持つ射影多様体である。楕円曲線は1次元アーベル多様体を表す。有限体上に定義されたアーベル面の例として、種数2の曲線 ^[4]のヤコビ多様体を考える。 ${\displaystyle X:={\text{Jac}}(C/{\bf {F}}_{41})}$

${\displaystyle C/{\bf {F}}_{41}:y^{2}+y=x^{5},}$

これは超楕円曲線の節で導入された。の次元はの種数に等しいので、となる。 ^[5]を満たす代数的整数が存在する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{4}}$

1. 多項式には の係数があります。 ${\displaystyle P(x)=\prod _{j=1}^{4}(x-\alpha _{j})}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
2. ${\displaystyle M_{m}:=|{\text{Jac}}(C/{\bf {F}}_{41^{m}})|=\prod _{j=1}^{4}(1-\alpha _{j}^{m})}$すべてのために;そして ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$
3. ${\displaystyle |\alpha _{j}|={\sqrt {41}}}$のために。 ${\displaystyle j=1,\ldots ,4}$

のゼータ関数は次のように与えられる。 ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \zeta (X,s)=\prod _{i=0}^{4}P_{i}(q^{-s})^{(-1)^{i+1}}={\frac {P_{1}(T)\cdot P_{3}(T)}{P_{0}(T)\cdot P_{2}(T)\cdot P_{4}(T)}},}$

ここで、、、はゼータ関数の複素変数を表す。ヴェイユ多項式は次のような特別な形をとる（Kahn 2020）。 ${\displaystyle q=41}$ ${\displaystyle T=q^{-s}\,{\stackrel {\rm {def}}{=}}\,{\text{exp}}(-s\cdot {\text{log}}(41))}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle P_{i}(T)}$

${\displaystyle P_{i}(T)=\prod _{1\leq j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{i-1}<j_{i}\leq 4}(1-\alpha _{j_{1}}\cdot \ldots \cdot \alpha _{j_{i}}T)}$

、および ${\displaystyle i=0,1,\ldots ,4}$

${\displaystyle P_{1}(T)=\prod _{j=1}^{4}(1-\alpha _{j}T)=1-9\cdot T+71\cdot T^{2}-9\cdot 41\cdot T^{3}+41^{2}\cdot T^{4}}$

は曲線（上記参照）とそのヤコビ多様体についても同様である。つまり、 の逆根はの多くの異なる逆根の積である。したがって、多項式のすべての係数はパラメータ の多項式関数として表すことができ、に現れるの係数に対するこれらの多項式関数を計算すると、次のことがわかる。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P_{i}(T)}$ ${\displaystyle \alpha _{j_{1}}\cdot \ldots \cdot \alpha _{j_{i}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle P_{1}(T)}$ ${\displaystyle P_{i}(T)}$ ${\displaystyle c_{1}=-9}$ ${\displaystyle c_{2}=71}$ ${\displaystyle q=41}$ ${\displaystyle P_{1}(T)=1+c_{1}T+c_{2}T^{2}+qc_{1}T^{3}+q^{2}T^{4}.}$ ${\displaystyle P_{i}(T)}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}P_{0}(T)&=1-T\\P_{1}(T)&=1-3^{2}\cdot T+71\cdot T^{2}-3^{2}\cdot 41\cdot T^{3}+41^{2}\cdot T^{4}\\P_{2}(T)&=(1-41\cdot T)^{2}\cdot (1+11\cdot T+3\cdot 7\cdot 41\cdot T^{2}+11\cdot 41^{2}\cdot T^{3}+41^{4}\cdot T^{4})\\P_{3}(T)&=1-3^{2}\cdot 41\cdot T+71\cdot 41^{2}\cdot T^{2}-3^{2}\cdot 41^{4}\cdot T^{3}+41^{6}\cdot T^{4}\\P_{4}(T)&=1-41^{2}\cdot T\end{alignedat}}}$

多項式は有限体とその体拡大上のヤコビ多様体の元の数を計算することを可能にする: ^{[6] [7]} ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle {\text{Jac}}(C)}$ ${\displaystyle {\bf {F}}_{41}}$ ${\displaystyle {\bf {F}}_{41^{2}}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}M_{1}&\;{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\;|{\text{Jac}}(C/{\bf {F}}_{41})|=P_{1}(1)=\prod _{j=1}^{4}[1-\alpha _{j}T]_{T=1}\\&=[1-9\cdot T+71\cdot T^{2}-9\cdot 41\cdot T^{3}+41^{2}\cdot T^{4}]_{T=1}=1-9+71-9\cdot 41+41^{2}=1375=5^{3}\cdot 11{\text{, and}}\\M_{2}&\;{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\;|{\text{Jac}}(C/{\bf {F}}_{41^{2}})|=\prod _{j=1}^{4}[1-\alpha _{j}^{2}T]_{T=1}\\&=[1+61\cdot T+3\cdot 587\cdot T^{2}+61\cdot 41^{2}\cdot T^{3}+41^{4}\cdot T^{4}]_{T=1}=2930125=5^{3}\cdot 11\cdot 2131.\end{alignedat}}}$

の零点の逆元は、絶対値の期待値を持つ（リーマン予想）。さらに、写像は、の零点の逆元と、の零点の逆元を相関させる。素数41で良好な約分を持つ、特異でない複素射影代数多様体は、ベッティ数 を持つ必要がある。なぜなら、これらは多項式 の次数だからである。のオイラー特性は、これらの次数／ベッティ数の交代和によって与えられる：。 ${\displaystyle \alpha _{i,j}}$ ${\displaystyle P_{i}(T)}$ ${\displaystyle 41^{i/2}}$ ${\displaystyle \alpha _{i,j}\longmapsto 41^{2}/\alpha _{i,j},}$ ${\displaystyle j=1,\ldots ,\deg P_{i},}$ ${\displaystyle P_{i}(T)}$ ${\displaystyle P_{4-i}(T)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X={\text{Jac}}(C/{\bf {F}}_{41})}$ ${\displaystyle B_{0}=B_{4}=1,B_{1}=B_{3}=4,B_{2}=6}$ ${\displaystyle P_{i}(T).}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E=1-4+6-4+1=0}$

対数をとると

${\displaystyle \zeta ({\text{Jac}}(C/{\bf {F}}_{41}),s)\,=\,\exp \left(\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {M_{m}}{m}}(41^{-s})^{m}\right)\,=\,\prod _{i=0}^{4}\,P_{i}(41^{-s})^{(-1)^{i+1}}={\frac {P_{1}(T)\cdot P_{3}(T)}{P_{0}(T)\cdot P_{2}(T)\cdot P_{4}(T)}},}$

すると

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\sum _{m=1}^{\infty }&{\frac {M_{m}}{m}}(41^{-s})^{m}\,=\,\log \left({\frac {P_{1}(T)\cdot P_{3}(T)}{P_{0}(T)\cdot P_{2}(T)\cdot P_{4}(T)}}\right)\\&=1375\cdot T+2930125/2\cdot T^{2}[phone]/3\cdot T^{3}[phone]/4\cdot T^{4}+13426146538750000/5\cdot T^{5}+O(T^{6}).\end{alignedat}}}$

既知の値とのほかに、このテイラー級数から、...​​​​ ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle M_{m}}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\bf {F}}_{41^{m}}}$ ${\displaystyle {\bf {F}}_{41}}$ ${\displaystyle C/{\bf {F}}_{41}}$ ${\displaystyle M_{3}=4755796375=5^{3}\cdot 11\cdot 61\cdot 56701}$ ${\displaystyle M_{4}=7984359145125=3^{4}\cdot 5^{3}\cdot 11\cdot 2131\cdot 33641}$ ${\displaystyle m_{1}|m_{2}}$ ${\displaystyle M_{m_{1}}|M_{m_{2}}}$ ${\displaystyle {\text{Jac}}(C/{\bf {F}}_{41^{m_{1}}})}$ ${\displaystyle {\text{Jac}}(C/{\bf {F}}_{41^{m_{2}}})}$

ヴェイユコホモロジー

ヴェイユは、複素多様体に対する通常の有理係数コホモロジーに類似した、有限体上の多様体に対する適切な「ヴェイユコホモロジー理論」の存在から、これらの予想が導かれると示唆した。彼のアイデアは、 Fが有限体上のフロベニウス自己同型ならば、位数q ^mの体上の多様体Xの点の数は（代数閉包上に定義された多様体Xのすべての点に作用する） F ^mの不動点の数であるというものである。代数的位相幾何学では、自己同型の不動点の数は、コホモロジー群上のトレースの交代和として与えられるレフシェッツの不動点定理を使用して求めることができる。したがって、有限体上の多様体に対して同様のコホモロジー群があれば、ゼータ関数をそれらの用語で表すことができる。

これに関する最初の問題は、ヴェイユコホモロジー理論の係数体は有理数にはなり得ないことである。これを理解するには、特性pの有限体上の超特異 楕円曲線の場合を考えてみよう。この自己準同型環は有理数上の四元数代数の順序であり、複素楕円曲線の場合と同様に係数体上の 2 次元ベクトル空間となる最初のコホモロジー群に作用するはずである。しかし、有理数上の四元数代数は有理数上の 2 次元ベクトル空間に作用することはできない。同じ議論により、係数体が実数またはp進数である可能性も排除される。なぜなら、四元数代数は依然としてこれらの体上の除算代数だからである。しかし、係数体が素数ℓ ≠ pに対してℓ進数体となる可能性は排除されない。なぜなら、これらの体上では除算代数は分解して行列代数となり、2次元ベクトル空間に作用するからである。グロタンディークとミヒャエル・アルティンは、素数ℓ ≠ pに対してℓ進数体上に適切なコホモロジー理論を構築し、これをℓ進コホモロジーと呼ぶ。

グロタンディークの4つの予想のうち3つの証明

1964年末までに、グロタンディークはアルティンとジャン＝ルイ・ヴェルディエ（そして1960年のドゥワークによる研究）と共に、上記の最も難解な3番目の予想（「リーマン予想」予想）を除くヴェイユ予想を証明した（Grothendieck 1965）。エタールコホモロジーに関する一般定理により、グロタンディークはℓ進コホモロジー理論におけるレフシェッツの不動点公式の類似を証明し、これをフロベニウスの自己同型Fに適用することで、ゼータ関数の予想された公式を証明した。

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {P_{1}(T)\cdots P_{2n-1}(T)}{P_{0}(T)P_{2}(T)\cdots P_{2n}(T)}}}$

ここで各多項式P _iはℓ進コホモロジー群H ⁱ上のI  −  TFの行列式である。

ゼータ関数の有理性は直ちに導かれる。ゼータ関数の関数方程式はℓ進コホモロジーのポアンカレ双対性から導かれ、複素ベッティ数とリフトの関係は複素多様体のℓ進コホモロジーと通常のコホモロジーの比較定理から導かれる。

より一般的には、グロタンディークは層F ₀のゼータ関数（または「一般化L関数」）に対して同様の式を証明しました。

${\displaystyle Z(X_{0},F_{0},t)=\prod _{x\in |X_{0}|}\det(1-F_{x}^{*}t^{\deg(x)}\mid F_{0})^{-1}}$

コホモロジー群上の積として：

${\displaystyle Z(X_{0},F_{0},t)=\prod _{i}\det(1-F^{*}t\mid H_{c}^{i}(F))^{(-1)^{i+1}}}$

定数層の特殊なケースでは、通常のゼータ関数が得られます。

ドリーニュによるリーマン予想の最初の証明

Verdier (1974)、Serre (1975)、Katz (1976)、およびFreitag & Kiehl (1988)は、Deligne (1974)の最初の証明について解説的な説明を与えた。ℓ進コホモロジーの背景の多くは、(Deligne 1977)で説明されている。

残る3番目のヴェイユ予想（「リーマン予想」）に対するドリーニュの最初の証明は、次の手順で行われた。

レフシェッツ鉛筆の使用

• グロタンディークはゼータ関数をℓ進コホモロジー群上のフロベニウスのトレースで表現したので、 q個の元を持つ有限体上のd次元多様体Vに対するヴェイユ予想は、 Vのi番目のℓ進コホモロジー群H ⁱ ( V )に作用するフロベニウスの固有値αが絶対値 | α | =  q ^{i /2 (} Q _ℓの代数的要素を複素数に埋め込むため) を持つことを示すことに依存します。
• Vを膨らませて 基本体を拡張すると、多様体V が射影直線P ¹上への射影を持ち、非常に緩やかな（二次）特異点を持つ特異ファイバーが有限個存在すると仮定できる。レフシェッツ (1924) によって複素多様体（および通常のコホモロジー）に対して導入され、グロタンディーク (1972) とデリーニュ & カッツ (1973) によってℓ進コホモロジーに拡張されたレフシェッツ ペンシルのモノドロミー理論は、 Vのコホモロジーとそのファイバーのコホモロジーを関連付ける。この関係は、特異ファイバー上で消滅する類が張る、非特異ファイバーV _xのコホモロジーH ^{d −1} ( V _x ) の部分空間である消失サイクルの空間E _xに依存する。
• ルレイスペクトル列は、Vの中間コホモロジー群をファイバーと基底のコホモロジーに関連付ける。扱いにくい部分は、多かれ少なかれ群H ¹ ( P ¹ , j _* E ) = Hである。¹
  _カップ( U、E )、ここで、Uは非特異なファイバーを持つ射影直線上の点、jは射影直線へのUの包含、Eは消失サイクルの空間E _{xのファイバーを持つ層です。}

主要な推定値

ドリーニュの証明の核心は、U上の層Eが純粋であることを示すこと、言い換えれば、その茎上のフロベニウスの固有値の絶対値を見つけることである。これは、Eの偶数冪E ^kのゼータ関数を調べ、コホモロジー群上の交代積​​としてのゼータ関数に対するグロタンディークの公式を適用することによって行われる。Eの偶数k冪を考慮するという重要なアイデアは、論文Rankin (1939) に触発されたものであり、Rankin はラマヌジャンのタウ関数を有界化するためにk  = 2 で同様のアイデアを使用した。Langlands (1970、セクション 8) は、 kのより高い偶数値に対する Rankin の結果を一般化するとラマヌジャン予想が導かれると指摘し、ドリーニュは、多様体のゼータ関数の場合は、層のゼータ関数のグロタンディークの理論がこの一般化の類似物を提供することを認識した。

• E ^kのゼータ関数の極はグロタンディークの公式を用いて求められる。

${\displaystyle Z(U,E^{k},T)={\frac {\det(1-F^{*}T\mid H_{c}^{1}(E^{k}))}{\det(1-F^{*}T\mid H_{c}^{0}(E^{k}))\det(1-F^{*}T\mid H_{c}^{2}(E^{k}))}}}$

分母のコホモロジー群を明示的に計算する。H⁰
_秒Uは通常コンパクトではないので、項は通常1であり、H^2c
_​は次のように明示的に計算できる。ポアンカレ双対性はH^2c
_​（E ^k）からH⁰
( E ^k ) は、 Uの幾何学的基本群であるモノドロミー群の共変量の空間であり、モノドロミー群はE k^のファイバーに作用する点である。E のファイバーは カップ積によって誘導される双線型形式を持ち、これはdが偶数であれば反対称であり、E をシンプレクティック空間にする。 （これは少し不正確です。ドリーニュは後に、難しいレフシェッツ定理を使用してE ∩ E ^{⊥ = 0 であることを示しましたが、これにはヴェイユ予想が必要であり、ヴェイユ予想の証明には実際には}EではなくE / E ∩ E ^⊥を使ったもう少し複雑な議論を使用する必要があります。）カジュダンとマルグリスの議論では、ピカール–レフシェッツの公式によって与えられたEに作用するモノドロミー群の像は、シンプレクティック群でザリスキ稠密であり、したがって古典的な不変量理論でよく知られているのと同じ不変量を持つことがわかります。この計算でフロベニウスの作用を追跡すると、その固有値はすべてq ^{k ( d −1)/2+1であることがわかります。したがって、} Z ( E ^k , T )のゼータ関数はT  = 1/ q ^{k ( d −1)/2+1}にのみ極を持ちます。

• E ^kのゼータ関数のオイラー積は

${\displaystyle Z(E^{k},T)=\prod _{x}{\frac {1}{Z(E_{x}^{k},T)}}}$

kが偶数の場合、右側の因子の係数（Tのべき級数として考える）はすべて非負である。これは次のように書ける。

${\displaystyle {\frac {1}{\det(1-T^{\deg(x)}F_{x}\mid E^{k})}}=\exp \left(\sum _{n>0}{\frac {T^{n}}{n}}\operatorname {Trace} (F_{x}^{n}\mid E)^{k}\right)}$

Fの冪の跡は有理数であるという事実を用いて、 kが偶数であるので、そのk冪は非負となる。ドリーニュは、これらの跡を多様体の点の数（これらは常に有理数整数である）と関連付けることで、これらの跡の有理性を証明した。

• Z ( E ^k , T )のべき級数は、その唯一の極の絶対値 1/ q ^{k ( d −1)/2+1}より小さいTに対して収束する。kが偶数のとき、そのすべてのオイラー因子の係数は非負であるため、各オイラー因子の係数はZ ( E ^k , T ) の係数の定数倍で制限され、したがって同じ領域に収束し、この領域には極を持たない。したがって、kに対して多項式 Z ( E^k
  _x、T ) はこの領域で零点を持たない、つまりE ^kの茎上のフロベニウスの固有値は絶対値が最大でq ^{k ( d −1)/2+1}である。
• この推定値は、 Eのファイバー上のフロベニウスの任意の固有値αの絶対値を次のように求めるのに用いることができる。任意の整数kに対して、αk^はEkの茎上のフロベニウスの固有値であり、kが偶数の場合、q1 ⁺ k ^{( d − 1 )/2}で有界となる。したがって、

${\displaystyle |\alpha ^{k}|\leq q^{k(d-1)/2+1}}$

これは任意の大きな偶数kに対しても成り立つので、次のことを意味する。

${\displaystyle |\alpha |\leq q^{(d-1)/2}.}$

ポアンカレ双対性は、

${\displaystyle |\alpha |=q^{(d-1)/2}.}$

証明の完了

この推定値からリーマン予想を導き出すことは、ほとんどの場合、標準的な手法をかなり簡単に使用して、次のように行われます。

• H上のフロベニウスの固有値¹
  _カップ( U、E ) は層Eのゼータ関数の零点なので推定できます。このゼータ関数はEの茎のゼータ関数のオイラー積として書くことができ、これらの茎の固有値の推定値を使用すると、この積は | T | <  q ^{− d /2−1/2}で収束し、この領域にはゼータ関数の零点がないことがわかります。これは、E上のフロベニウスの固有値の絶対値が最大でq ^{d /2+1/2であることを意味します (実際、それらの絶対値はちょうど}q ^{d /2}であることがすぐにわかります)。議論のこのステップは、オイラー積として書くことでリーマンゼータ関数には実部が 1 より大きい零点がないことの通常の証明と非常によく似ています。
• この結論は、中間コホモロジー群上の偶数次元dのフロベニウス多様体の固有値αが次式を満たすということである。

${\displaystyle |\alpha |\leq q^{d/2+1/2}}$

リーマン予想を得るには、指数から1/2を消去する必要がある。これは次のようにして行うことができる。この推定値をVの任意の偶数冪V ^kに適用し、キュネスの公式を用いると、任意の次元dの多様体Vの中コホモロジー上のフロベニウスの固有値は、

${\displaystyle |\alpha ^{k}|\leq q^{kd/2+1/2}}$

これは任意の大きな偶数kに対しても成り立つので、次のことを意味する。

${\displaystyle |\alpha |\leq q^{d/2}}$

ポアンカレ双対性は、

${\displaystyle |\alpha |=q^{d/2}.}$

• これは、多様体の中コホモロジーに対するヴェイユ予想を証明するものである。中次元より下のコホモロジーに対するヴェイユ予想は、弱レフシェッツ定理を適用することでこのことから導かれ、中次元より上のコホモロジーに対する予想はポアンカレ双対性から導かれる。

ドリーニュの第二校正

ドリーニュ (1980) は、層のプッシュフォワードの重みを規定するヴェイユ予想の一般化を発見し、証明した。実際には、応用において主に用いられるのは、元のヴェイユ予想ではなく、この一般化であり、例えば難解なレフシェッツ定理などである。2番目の証明の大部分は、彼の最初の証明のアイデアの再構成である。必要な主な追加のアイデアは、ジャック・アダマールとシャルル・ジャン・ド・ラ・ヴァレー・プーサンの定理に密接に関連する議論であり、ドリーニュはこれを用いて、様々なL級数が実部 1 の零点を持たないことを示す。

有限体上の多様体上の構成可能層は、すべての点xに対してxにおけるフロベニウスの固有値がすべて絶対値N ( x ) ^{β /2を持つとき、重み}βの純粋層と呼ばれます。また、重み ≤ βを持つ純粋層による繰り返し拡張として表すことができるとき、重み ≤  βの混合層と呼ばれます 。

ドリーニュの定理は、f が有限体上の有限型のスキームの射である場合、R ⁱ f _!は重み ≤  βの混合層を重み ≤  β  +  iの混合層に変換します。

元のヴェイユ予想は、f を滑らかな射影多様体から点への射とみなし、その多様体上の定数層Q _{ℓ を}考慮することで導かれる。これはフロベニウスの固有値の絶対値に上界を与え、ポアンカレ双対性からこれが下界でもあることが示される。

一般に、R ⁱ f _!は純粋層を純粋層に変換しません。しかし、適切な形のポアンカレ双対性が成立する場合、例えばfが滑らかで適切な場合、あるいはBeilinson, Bernstein & Deligne (1982) のように層ではなく倒錯層を扱う場合など、成立します。

モース理論に関するウィッテン (1982) の研究に触発されて、ローモン (1987) はドリーニュのℓ進フーリエ変換を使った別の証明を見つけ、これによってアダマールとド・ラ・ヴァレー＝プーサンの方法を使うことを避けてドリーニュの証明を簡略化することができた。彼の証明は、フーリエ変換のノルムが元の関数のノルムと単純な関係にあるという事実を使って、ガウス和の絶対値の古典的な計算を一般化している。キールとワイサウアー (2001) はドリーニュの定理を説明する基礎としてローモンの証明を使った。カッツ (2001) はドリーニュの最初の証明の精神でモノドロミーを使ってローモンの証明をさらに簡略化した。ケドラヤ (2006) はエタール コホモロジーをリジッド コホモロジーに置き換えてフーリエ変換を使った別の証明を示した。

アプリケーション

• ドリーニュ (1980) は、ヴェイユ予想の 2 番目の証明を使用して、有限体上の困難なレフシェッツ定理を証明することができました。
• ドリーニュ（1971）は以前、ラマヌジャン-ピーターソン予想がヴェイユ予想から導かれることを示していた。
• Deligne (1974、セクション 8) は、Weil 予想を使用して指数和の推定値を証明しました。
• ニック・カッツとウィリアム・メッシング (1974)は、ドリーニュのヴェイユ予想の証明を使用して、有限体上のキュネス型標準予想を証明することができました。

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外部リンク

参考文献

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