ワインガルテン関数

Rational mathematical function indexed by integer partitions

数学において、ワインガルテン関数は、整数の分割によって添え字付けされた有理関数であり、古典群上の行列係数の積分の計算に用いられる。ワインガルテン関数は、漸近的な挙動を発見したワインガルテン（1978年）によって初めて研究され、ユニタリ群に対して明示的に評価したコリンズ（2003年）によって命名された。

ユニタリ群

ワインガルテン関数は、行列係数の積のユニタリ群 U _d上の積分を評価するために使用されます。

一般に、 の形の積分を考える。でない限り、積分はゼロになることが示される。^[1]したがって、 は複素共役を表す の形の積分のみを考える 。は の共役転置であることに注意すること。したがって、上記の式は の行列要素に対する であると解釈できる。 $${\displaystyle \int _{U_{d}}U_{i_{1}j_{1}}\cdots U_{i_{n}j_{n}}U_{i_{1}^{\prime }j_{1}^{\prime }}^{*}\cdots U_{i_{n'}^{\prime }j_{n'}^{\prime }}^{*}dU,}$$ ${\displaystyle n=n'}$ $${\displaystyle \int _{U_{d}}U_{i_{1}j_{1}}\cdots U_{i_{n}j_{n}}U_{i_{1}^{\prime }j_{1}^{\prime }}^{*}\cdots U_{i_{n}^{\prime }j_{n}^{\prime }}^{*}dU,}$$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle U_{ji}^{*}=(U^{\dagger })_{ij}}$ ${\displaystyle U^{\dagger }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle i_{1}j_{1}\ldots i_{n}j_{n}j'_{1}i'_{1}\ldots j'_{n}i'_{n}}$ ${\displaystyle U\otimes \cdots \otimes U\otimes U^{\dagger }\otimes \cdots \otimes U^{\dagger }}$

この積分はに等しく、はワインガルテン関数で、 で与えられ ます。ここで、和はnのすべての分割 λ にわたって与えられます(Collins 2003)。ここで、 χ ^λは分割 λ に対応するS _nの指標であり、 sは λ のシュール多項式です。したがって、s _{λ, d} (1) は λ に対応するU _dの表現の次元です。 $${\displaystyle \sum _{\sigma ,\tau \in S_{n}}\delta _{i_{1}i_{\sigma (1)}^{\prime }}\cdots \delta _{i_{n}i_{\sigma (n)}^{\prime }}\delta _{j_{1}j_{\tau (1)}^{\prime }}\cdots \delta _{j_{n}j_{\tau (n)}^{\prime }}W_{\sigma ,\tau }(d)}$$ ${\displaystyle W_{\sigma ,\tau }(d)=\operatorname {Wg} (\sigma \tau ^{-1},d)}$ ${\displaystyle \operatorname {Wg} }$ $${\displaystyle \operatorname {Wg} (\sigma ,d)={\frac {1}{n!^{2}}}\sum _{\lambda }{\frac {\chi ^{\lambda }(1)^{2}\chi ^{\lambda }(\sigma )}{s_{\lambda ,d}(1)}}}$$

ワインガルテン関数はdに関する有理関数です。 dが小さい値の場合、極を持つことがありますが、上記の式ではそれらの極は打ち消されます。ワインガルテン関数には、最大d個の部分を持つ分割についてのみ和をとる、同値ではない別の定義があります。これはもはやdに関する有理関数ではなく、すべての正の整数dに対して有限です。2種類のワインガルテン関数はd がnより大きい場合に一致し、どちらも積分の式に使用できます。

これらの積分は格子ゲージ理論ではリンク積分と呼ばれます。^[1]量子弦図にヒントを得たこれらの積分を評価するグラフィカルな方法については^{[2] [3]}を参照してください。 ${\displaystyle U(N)}$

ワインガルテン関数の例

置換 σ がその閉路形状によって表される、最初のいくつかのワインガルテン関数。例えば、 では、 は 0 個の元を持つ自明な置換である。 では、 は 4 個の元を持つ置換であり、そのうち 2 個の元を保存し、 2 個の元を交換する。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Wg} (,d)&=1\\\operatorname {Wg} (1,d)&={\frac {1}{d}}\\\operatorname {Wg} (2,d)&={\frac {-1}{d(d^{2}-1)}}\\\operatorname {Wg} (1^{2},d)&={\frac {1}{d^{2}-1}}\\\operatorname {Wg} (3,d)&={\frac {2}{d(d^{2}-1)(d^{2}-4)}}\\\operatorname {Wg} (21,d)&={\frac {-1}{(d^{2}-1)(d^{2}-4)}}\\\operatorname {Wg} (1^{3},d)&={\frac {d^{2}-2}{d(d^{2}-1)(d^{2}-4)}}\\\operatorname {Wg} (4,d)&={\frac {-5}{d(d^{2}-1)(d^{2}-4)(d^{2}-9)}}\\\operatorname {Wg} (31,d)&={\frac {2d^{2}-3}{d^{2}(d^{2}-1)(d^{2}-4)(d^{2}-9)}}\\\operatorname {Wg} (2^{2},d)&={\frac {d^{2}+6}{d^{2}(d^{2}-1)(d^{2}-4)(d^{2}-9)}}\\\operatorname {Wg} (21^{2},d)&={\frac {-1}{d(d^{2}-1)(d^{2}-9)}}\\\operatorname {Wg} (1^{4},d)&={\frac {d^{4}-8d^{2}+6}{d^{2}(d^{2}-1)(d^{2}-4)(d^{2}-9)}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \operatorname {Wg} (,d)=1}$ ${\displaystyle \operatorname {Wg} (21^{2},d)={\frac {-1}{d(d^{2}-1)(d^{2}-9)}}}$

これらの式を生成するコンピュータ代数プログラムが存在します。^{[4] [5]}

リンク積分の例

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{U_{d}}dUU_{ij}{\bar {U}}_{k\ell }&=\delta _{ik}\delta _{j\ell }\operatorname {Wg} (1,d)={\frac {\delta _{ik}\delta _{j\ell }}{d}}\\\int _{U_{d}}dUU_{ij}U_{k\ell }{\bar {U}}_{mn}{\bar {U}}_{pq}&=(\delta _{im}\delta _{jn}\delta _{kp}\delta _{\ell q}+\delta _{ip}\delta _{jq}\delta _{km}\delta _{\ell n})\operatorname {Wg} (1^{2},d)+(\delta _{im}\delta _{jq}\delta _{kp}\delta _{\ell n}+\delta _{ip}\delta _{jn}\delta _{km}\delta _{\ell q})\operatorname {Wg} (2,d)\\\int _{U_{d}}dU\;{\overline {U_{11}U_{22}U_{33}}}U_{12}U_{23}U_{31}&=\operatorname {Wg} (3,d)={\frac {2}{d(d^{2}-1)(d^{2}-4)}}\end{aligned}}}$$

漸近解析

順列 が与えられたとき、自明な部分と非自明な部分が存在する。自明な部分は要素を固定し、非自明な部分は要素を循環的に置換する。これは順列 の循環記法で表すことができる。例えば、次の順列は非自明な部分 を持つ。 ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (123)(45)(6)(7)(8)}$ ${\displaystyle (123)(45)}$

元の固定順列が与えられた場合、ユニタリ群のサイズが に大きくなると、漸近公式が得られます。ここで、は のサイクル、はサイクル の長さ、はカタラン数、 はで構成される転置（ペアワイズ交換）の最小数です。この公式は、ガウスユニタリアンサンブルの代数が自由確率代数に収束することを証明するために使用できます。^[1] ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d\to \infty }$ $${\displaystyle \operatorname {Wg} (\sigma ,d)=d^{-n-|\sigma |}\left[\prod _{C_{i}\in \sigma }(-1)^{|C_{i}|-1}c_{|C_{i}|-1}+O(d^{-2})\right]}$$ ${\displaystyle C_{1},C_{2},\dots }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle |C_{i}|}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle c_{n}:={\frac {(2n)!}{n!(n+1)!}}}$ ${\displaystyle |\sigma |}$ ${\displaystyle \sigma }$

高次展開は、 の形式で存在し、は上で与えられ、に依存しますが には依存しません。完全な展開は、^[1]で、からまでの長さの弱単調ウォークの数です。弱単調ウォークを定義するために、のケイリーグラフを構築します。各有向エッジは、右側に転置を乗じることで得られます。ここで、ケイリーグラフ上の弱単調ウォークはとなるパスです。 ${\displaystyle d^{-n-|\sigma |}(a_{0}+a_{2}d^{-2}+a_{4}d^{-4}+\cdots )}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle a_{2},a_{4},\dots }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle d}$ $${\displaystyle W_{\rho \sigma }(d)={\frac {(-1)^{\left|\rho ^{-1}\sigma \right|}}{d^{n+\left|\rho ^{-1}\sigma \right|}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {{\vec {W}}_{k}(\rho ,\sigma )}{d^{2k}}},}$$ ${\displaystyle {\vec {W}}_{k}(\rho ,\sigma )}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \left|\rho ^{-1}\sigma \right|+2k}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle (i_{1}j_{1}),(i_{2}j_{2}),\dots }$ ${\displaystyle j_{1}\leq j_{2}\leq \cdots }$

ユニタリ群上の積分を1/dのべき級数として体系的に計算する図式的な方法^[6]が存在する。

漸近解析の例

とする。これは要素に作用する。これは長さ、、の循環に分解される。 ${\displaystyle \sigma =(123)(45)(6)(7)(8)}$ ${\displaystyle n=8}$ ${\displaystyle |C_{1}|=3}$ ${\displaystyle |C_{2}|=2}$ ${\displaystyle |C_{3}|=|C_{4}|=|C_{5}|=1}$

サイクルを適用すると、になります。 ${\displaystyle |\sigma |=n-k}$ ${\displaystyle k=5}$ ${\displaystyle |\sigma |=3}$

カタラン因数は3 サイクル、2 サイクル、各 1 サイクルに対するものなので、先頭の項の積は になります。 ${\displaystyle c_{2}=2}$ ${\displaystyle c_{1}=1}$ ${\displaystyle c_{0}=1}$ ${\displaystyle (-1)^{2}c_{2}\cdot (-1)^{1}c_{1}\cdot 1^{3}=-2}$

したがって、主要な漸近項は です。 ${\displaystyle \operatorname {Wg} (\sigma ,d)=-2d^{-11}+O(d^{-13})}$

上記の計算では、自明な部分は全く問題にならないことに注意してください。これは、その場合、漸近式は順列の非自明な部分のみに依存するためです。 ${\displaystyle |C_{3}|=|C_{4}|=|C_{5}|=1}$ ${\displaystyle (-1)^{|C_{i}|-1}c_{|C_{i}|-1}=1}$

直交群とシンプレクティック群

直交群とシンプレクティック群については、コリンズとシュニアディ（2006）によってワインガルテン関数が評価された。彼らの理論はユニタリー群の場合と類似しており、すべての部分が均等な大きさになるように分割によってパラメータ化される。

さらに読む

紹介

• Mele, Antonio Anna (2024-05-08). 「量子情報におけるハール測度ツール入門：初心者向けチュートリアル」. Quantum . 8 : 1340. arXiv : 2307.08956 . Bibcode :2024Quant...8.1340M. doi :10.22331/q-2024-05-08-1340. ISSN  2521-327X.
• コリンズ, ベノワ; 松本, 翔; ノヴァク, ジョナサン (2022-05-01). 「ワインガルテン微積分」(PDF) .アメリカ数学会報. 69 (5): 1. doi :10.1090/noti2474. ISSN  0002-9920.

歴史作品

• コリンズ、ベノワ（2003）、「ユニタリ群上の多項式確率変数のモーメントとキュムラント、イチクソン・ズーバー積分、および自由確率」、国際数学研究通知、2003（17）：953-982、arXiv：math-ph/0205010、doi：10.1155/S107379280320917X、MR  1959915
• Collins, Benoît; Śniady, Piotr (2006)、「ユニタリ群、直交群、シンプレクティック群におけるハール測度に関する積分」、Communications in Mathematical Physics、264 (3): 773– 795、arXiv : math-ph/0402073、Bibcode :2006CMaPh.264..773C、doi :10.1007/s00220-006-1554-3、MR  2217291、S2CID  16122807
• ワインガルテン、ドン（1978）、「無限階数の極限における群積分の漸近的挙動」、Journal of Mathematical Physics、19（5）：999–1001、Bibcode：1978JMP....19..999W、doi：10.1063/1.523807、MR  0471696

参考文献

1. Collins, Benoit; Matsumoto, Sho; Novak, Jonathan (2022-05-01). 「ワインガルテン微積分」(PDF) .アメリカ数学会報. 69 (5): 1. doi :10.1090/noti2474. ISSN  0002-9920.
2. Collins, Benoît; Nechita, Ion (2010-07-01). 「ランダム量子チャネルI：グラフィカル計算とベル状態現象」. Communications in Mathematical Physics . 297 (2): 345– 370. arXiv : 0905.2313 . Bibcode :2010CMaPh.297..345C. doi :10.1007/s00220-010-1012-0. ISSN  1432-0916.
3. イオン・ネヒタ、「ワインガルテン計算と量子情報理論への応用」 – SFB TRR 195 テュービンゲン年次会議 – 2018年9月
4. Z. PuchałaとJA Miszczak、「ユニタリ群上のハール測度に関する記号積分」、Mathematica、arXiv:1109.4244 (2011)。
5. M. Fukuda, R. König, I. Nechita, RTNI - Haarランダムテンソルネットワークのシンボリックインテグレータ、arXiv:1902.08539 (2019)。
6. Brouwer, PW; Beenakker, CWJ (1996). 「ユニタリー群上の図式的積分法とメソスコピック系における量子輸送への応用」Journal of Mathematical Physics . 37 (10): 4904– 4934. arXiv : cond-mat/9604059 . Bibcode :1996JMP....37.4904B. doi :10.1063/1.531667.

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