明確な表現

Expression whose definition assigns it a unique interpretation

数学において、明確に定義された式または一義的な式とは、その定義によって一意の解釈または値が割り当てられる式のことである。そうでない場合、その式は明確に定義されていない、明確に定義されていない、または曖昧であると言われる。^[1]関数は、入力の表現を変更しても入力の値を変更せずに同じ結果を返す場合、明確に定義されている。例えば、が実数を入力として受け取り、が等しくない場合、関数は明確に定義されていない（したがって関数ではない）。^[2]明確に定義されているという用語は、論理式が一義的または矛盾がないことを示すためにも使用される。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(0.5)}$ ${\displaystyle f(1/2)}$ ${\displaystyle f}$

定義されていない関数は、定義されていない関数とは異なります。例えば、の場合、 が定義されていないとしても、関数が定義されていないことを意味するのではなく、むしろ 0 がの定義域に含まれないことを意味します。 ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle f(0)}$ ${\displaystyle f}$

例

を集合とし、 およびをおよびの場合のように「定義」します。 ${\displaystyle A_{0},A_{1}}$ ${\displaystyle A=A_{0}\cup A_{1}}$ ${\displaystyle f:A\rightarrow \{0,1\}}$ ${\displaystyle f(a)=0}$ ${\displaystyle a\in A_{0}}$ ${\displaystyle f(a)=1}$ ${\displaystyle a\in A_{1}}$

は、であれば明確に定義されます。例えば、 かつ であれば、は明確に定義され、 と等しくなります。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}=\emptyset \!}$ ${\displaystyle A_{0}:=\{2,4\}}$ ${\displaystyle A_{1}:=\{3,5\}}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle \operatorname {mod} (a,2)}$

しかし、 の場合、 はに対して「曖昧」であるため、 は定義されません。例えば、 かつ の場合、は0 と 1 の両方になる必要があり、これは曖昧です。結果として、後者は定義されておらず、関数ではありません。 ${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}\neq \emptyset }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle a\in A_{0}\cap A_{1}}$ ${\displaystyle A_{0}:=\{2\}}$ ${\displaystyle A_{1}:=\{2\}}$ ${\displaystyle f(2)}$ ${\displaystyle f}$

定義の先取りとしての「定義」

前の簡単な例で「定義」を引用符で囲むのを避けるために、「定義」を2 つの論理的なステップに分解することができます。 ${\displaystyle f}$

1. 二項関係の定義。例では：

   ${\displaystyle f:={\bigl \{}(a,i)\mid i\in \{0,1\}\wedge a\in A_{i}{\bigr \}},}$

   (これは今のところ、デカルト積 の特定のサブセットに他なりません。) ${\displaystyle A\times \{0,1\}}$
2. アサーション。二項関係は関数です。例では、 ${\displaystyle f}$

   ${\displaystyle f:A\rightarrow \{0,1\}.}$

ステップ1の定義は、任意の定義の自由度をもって定式化されており、確かに有効です（「well-defined」と分類する必要はありません）。しかし、ステップ2の主張は証明されなければなりません。つまり、が関数である場合、かつ の場合に限り、 は関数として well-defined です。一方、 の場合、 に対して となり、二項関係は関数的ではありません（二項関係 § 二項関係の種類で定義されているとおり）。したがって、関数として well-defined ではありません。口語的には、「関数」は時点で曖昧であるとも呼ばれます（ただし、定義上「曖昧な関数」は決して存在しません）。そして、元の「定義」は無意味です。これらの微妙な論理的問題にもかかわらず、この種の「定義」には、アポストロフィなしの「定義」という用語が一般的に使用されています。その理由は以下の3つです。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}=\emptyset }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}\neq \emptyset }$ ${\displaystyle a\in A_{0}\cap A_{1}}$ ${\displaystyle (a,0)\in f}$ ${\displaystyle (a,1)\in f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$

1. これは、2 段階アプローチの便利な省略形を提供します。
2. 関連する数学的推論 (つまり、ステップ 2) はどちらの場合も同じです。
3. 数学のテキストでは、その主張は「100% まで」真実です。

代表者の独立性

関数の定義方程式が引数自体だけでなく、引数の要素（代表として）も参照する場合、関数のwell-defined性に関する疑問がしばしば生じます。引数が剰余類であり、方程式が剰余類の代表を参照している場合、これは避けられないことがあります。関数適用の結果は、代表の選択に依存してはなりません。

1つの引数を持つ関数

たとえば、次の関数を考えてみましょう。

${\displaystyle {\begin{matrix}f:&\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} &\to &\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \\&{\overline {n}}_{8}&\mapsto &{\overline {n}}_{4},\end{matrix}}}$

ここで、およびはmを法とする整数であり、はmを法とするnの合同類を表します。 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,m\in \{4,8\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\overline {n}}_{m}}$

注意:は要素 への参照であり、は の引数です。 ${\displaystyle {\overline {n}}_{4}}$ ${\displaystyle n\in {\overline {n}}_{8}}$ ${\displaystyle {\overline {n}}_{8}}$ ${\displaystyle f}$

この関数は、次の理由により適切に定義されています。 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle n\equiv n'{\bmod {8}}\;\Leftrightarrow \;8{\text{ divides }}(n-n')\Rightarrow \;4{\text{ divides }}(n-n')\;\Leftrightarrow \;n\equiv n'{\bmod {4}}.}$

反例として、逆の定義は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{matrix}g:&\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} &\to &\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} \\&{\overline {n}}_{4}&\mapsto &{\overline {n}}_{8},\end{matrix}}}$

は、明確に定義された関数にはなりません。例えば、 はにおいて等しくなりますが、最初の は によって にマッピングされ、2 番目の は にマッピングされ、と はにおいて等しくありません。 ${\displaystyle {\overline {1}}_{4}}$ ${\displaystyle {\overline {5}}_{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\overline {1}}_{8}}$ ${\displaystyle {\overline {5}}_{8}}$ ${\displaystyle {\overline {1}}_{8}}$ ${\displaystyle {\overline {5}}_{8}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /8\mathbb {Z} }$

オペレーション

特に、「well-defined」という用語は、剰余類上の（二項）演算に関して用いられます。この場合、演算は2変数の関数として捉えることができ、well-definedであることは関数の場合と同じです。例えば、あるnを法とする整数の加算は、整数の加算を用いて自然に定義できます。

${\displaystyle [a]\oplus [b]=[a+b]}$

これが明確に定義されているという事実は、 の任意の代表を（ただしは整数）と 書けるという事実から導かれる。したがって、 ${\displaystyle [a]}$ ${\displaystyle a+kn}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle [a]\oplus [b]=[a+kn]\oplus [b]=[(a+kn)+b]=[(a+b)+kn]=[a+b];}$

のどの代表者にも同様のことが当てはまり、代表者が誰であるかに関係なく、同じ結果になります。 ${\displaystyle [b]}$ ${\displaystyle [a+b]}$

明確に定義された表記

実数の場合、積はであるため一義的である。したがって、表記は が明確に定義されていると言われる。^[1]乗算の結合性とも呼ばれるこの性質は、結果が乗算の順序に依存しないことを保証する。したがって、順序の指定は省略可能である。減算は非結合的であるが、を省略した表記法が存在するため、「明確に定義されている」と見なされる。一方、除算は非結合的であり、 の場合、括弧の表記法が十分に確立されていないため、この式はしばしば不明確に定義されていると見なされる。 ${\displaystyle a\times b\times c}$ ${\displaystyle (a\times b)\times c=a\times (b\times c)}$ ${\displaystyle a-b-c}$ ${\displaystyle (a-b)-c}$ ${\displaystyle a/b/c}$

関数とは異なり、表記上の曖昧さは追加の定義（例えば、優先順位の規則、演算子の結合性）によって克服できます。例えば、プログラミング言語C-では、減算演算子は左から右への結合であり、これはa-b-cと定義されます(a-b)-c。また、=代入演算子は右から左への結合であり、これはa=b=cと定義されますa=(b=c)。^[3]プログラミング言語APLでは、右から左への結合という規則が1つだけあります。ただし、括弧が先になります。

この用語の他の用法

偏微分方程式の解は、境界条件が変化しても境界条件によって連続的に決定される場合、明確に定義されていると言われる。 ^[1]

参照

• 同値関係 § 同値関係における明確性
• 定義主義
• 存在
• 病理学的（数学）
• ユニークさ
• ユニークさの定量化
• 未定義
• 整形式の式

参考文献

注記

1. Weisstein, Eric W. 「Well-Defined」. MathWorld – Wolfram Web Resourceより。 2013年1月2日閲覧。
2. Joseph J. Rotman, The Theory of Groups: an Introduction、p. 287 「...関数は「単一値」である、または、私たちが好んで言うように...関数は明確に定義されている。」、Allyn and Bacon、1965年。
3. 「C言語における演算子の優先順位と結合性」GeeksforGeeks . 2014年2月7日. 2019年10月18日閲覧。

出典

• 現代抽象代数学、ジョセフ・A・ギャリアン、第6版、Houghlin Mifflin、2006年、ISBN 0-618-51471-6。
• 代数学：第0章、パオロ・アルッフィ、ISBN 978-082184781716ページ。
• 抽象代数、ダミットとフット、第3版、ISBN 978-0471433347. 1ページ目。

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