ヴェルナー州

Quantum state

ウェルナー状態^[1]は、形のすべてのユニタリ演算子に対して不変である×次元二部量子状態密度行列である。つまり、次の式を満たす 二部量子状態である。 ${\displaystyle d^{2}}$ ${\displaystyle d^{2}}$ ${\displaystyle U\otimes U}$ ${\displaystyle \rho _{AB}}$

${\displaystyle \rho _{AB}=(U\otimes U)\rho _{AB}(U^{\dagger }\otimes U^{\dagger })}$

d次元ヒルベルト空間に作用するすべてのユニタリ作用素Uに対して。これらの状態は、1989年にラインハルト・F・ヴェルナーによって初めて発見された。

一般的な定義

すべてのウェルナー状態は対称部分空間と反対称部分空間への射影の混合であり、次元に加えて相対的な重みが状態を定義する主なパラメータである。 ${\displaystyle W_{AB}^{(p,d)}}$ ${\displaystyle p\in [0,1]}$ ${\displaystyle d\geq 2}$

${\displaystyle W_{AB}^{(p,d)}=p{\frac {2}{d(d+1)}}P_{AB}^{\text{sym}}+(1-p){\frac {2}{d(d-1)}}P_{AB}^{\text{as}},}$

どこ

${\displaystyle P_{AB}^{\text{sym}}={\frac {1}{2}}(I_{AB}+F_{AB}),}$

${\displaystyle P_{AB}^{\text{as}}={\frac {1}{2}}(I_{AB}-F_{AB}),}$

プロジェクターと

${\displaystyle F_{AB}=\sum _{ij}|i\rangle \langle j|_{A}\otimes |j\rangle \langle i|_{B}}$

は、2 つのサブシステムAとBを交換する順列または反転演算子です。

ウェルナー状態はp ≥ 1 ⁄ 2の場合には分離可能であり、 p < 1 ⁄ 2の場合にはエンタングル状態である。エンタングル状態にあるウェルナー状態はすべてPPT分離可能性基準に違反するが、d ≥ 3 の場合には、どのウェルナー状態もより弱い縮約基準に違反しない。ウェルナー状態は様々な方法でパラメータ化できる。その書き方の一つは以下の通りである。

${\displaystyle \rho _{AB}={\frac {1}{d^{2}-d\alpha }}(I_{AB}-\alpha F_{AB}),}$

ここで、新しいパラメータαは−1から1の間で変化し、pと次のよう に関係する。

${\displaystyle \alpha =((1-2p)d+1)/(1-2p+d).}$

2量子ビットの例

2量子ビットのウェルナー状態は、上記に対応し、行列形式で明示的に次のように表すことができます。同様に、これらは、全混合状態と（への投影）ベル状態との凸結合として表すことができます。ここで、（または正の値に限定すると、 ）はによってと関連付けられます。すると、2量子ビットのウェルナー状態は に対して分離可能であり、 に対してエンタングルメント状態となります。 ${\displaystyle d=2}$ $${\displaystyle W_{AB}^{(p,2)}={\frac {p}{6}}{\begin{pmatrix}2&0&0&0\\0&1&1&0\\0&1&1&0\\0&0&0&2\end{pmatrix}}+{\frac {(1-p)}{2}}{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&1&-1&0\\0&-1&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {p}{3}}&0&0&0\\0&{\frac {3-2p}{6}}&{\frac {-3+4p}{6}}&0\\0&{\frac {-3+4p}{6}}&{\frac {3-2p}{6}}&0\\0&0&0&{\frac {p}{3}}\end{pmatrix}}.}$$ $${\displaystyle W_{AB}^{(\lambda ,2)}=\lambda |\Psi ^{-}\rangle \!\langle \Psi ^{-}|+{\frac {1-\lambda }{4}}I_{AB},\qquad |\Psi ^{-}\rangle \equiv {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|01\rangle -|10\rangle ),}$$ ${\displaystyle \lambda \in [-1/3,1]}$ ${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \lambda =(3-4p)/3}$ ${\displaystyle \lambda \leq 1/3}$ ${\displaystyle \lambda >1/3}$

ヴェルナー・ホレボチャネル

パラメータと整数を持つヴェルナー・ホレボ量子通信路は 次のように定義される^{[2] [3] [4]} ${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\left(p,d\right)}}$ ${\displaystyle p\in \left[0,1\right]}$ ${\displaystyle d\geq 2}$

${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\left(p,d\right)}=p{\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{sym}}+\left(1-p\right){\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{as}},}$

ここで量子チャネルとは次の様に定義される。 ${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{sym}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{as}}}$

${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{sym}}(X_{A})={\frac {1}{d+1}}\left[\operatorname {Tr} [X_{A}]I_{B}+\operatorname {id} _{A\rightarrow B}(T_{A}(X_{A}))\right],}$

${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{as}}(X_{A})={\frac {1}{d-1}}\left[\operatorname {Tr} [X_{A}]I_{B}-\operatorname {id} _{A\rightarrow B}(T_{A}(X_{A}))\right],}$

はシステムA上の部分転置写像を表す。Werner -HolevoチャネルのChoi状態はWerner状態であることに注意されたい。 ${\displaystyle T_{A}}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{p,d}}$

${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\left(p,d\right)}(\Phi _{RA})=p{\frac {2}{d\left(d+1\right)}}P_{RB}^{\text{sym}}+\left(1-p\right){\frac {2}{d\left(d-1\right)}}P_{RB}^{\text{as}},}$

どこ。 ${\displaystyle \Phi _{RA}={\frac {1}{d}}\sum _{i,j}|i\rangle \langle j|_{R}\otimes |i\rangle \langle j|_{A}}$

多部構成のヴェルナー状態

ウェルナー状態は多元系の場合にも一般化できる。^[5] N元ウェルナー状態とは、単一の部分系上の任意のユニタリUに対して不変な状態である。ウェルナー状態はもはや単一のパラメータではなく、N ! − 1 個のパラメータで記述され、N個の系におけるN ! 個の異なる順列の線形結合となる。 ${\displaystyle U\otimes U\otimes \cdots \otimes U}$

参考文献

1. Reinhard F. Werner (1989). 「隠れた変数モデルを許容するアインシュタイン-ポドルスキー-ローゼン相関を持つ量子状態」. Physical Review A. 40 ( 8): 4277– 4281. Bibcode :1989PhRvA..40.4277W. doi :10.1103/PhysRevA.40.4277. PMID  9902666.
2. Reinhard F. WernerとAlexander S. Holevo (2002). 「量子チャネルの出力純度に関する加法性予想に対する反例」. Journal of Mathematical Physics . 43 (9): 4353– 4357. arXiv : quant-ph/0203003 . Bibcode :2002JMP....43.4353W. doi :10.1063/1.1498491. S2CID  42832247.
3. Fannes, Mark; Haegeman, B.; Mosonyi, Milan; Vanpeteghem, D. (2004). 「共変チャネルのクラスにおける最小エントロピー出力の加法性」.未発表. arXiv : quant-ph/0410195 . Bibcode :2004quant.ph.10195F.
4. Debbie Leung、William Matthews (2015). 「PPT保存符号と非シグナリング符号の威力について」IEEE Transactions on Information Theory . 61 (8): 4486– 4499. arXiv : 1406.7142 . doi :10.1109/TIT.2015.2439953. S2CID  14083225.
5. Eggeling, Tilo; Werner, Reinhard (2001). 「UxUxU対称性を持つ三者状態の分離特性」. Physical Review A. 63.042111. arXiv : quant - ph/0010096 . doi :10.1103/PhysRevA.63.042111. S2CID  119350302.

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