Measure of the curvature of a pseudo-Riemannian manifold
微分幾何学 において 、 ヘルマン・ワイル にちなんで名付けられた ワイル曲率テンソル [ 1]は、 時空 の 曲率 、またはより一般的には 擬リーマン多様体の 曲率の尺度です 。 リーマン曲率テンソル と同様に、ワイルテンソルは 測地線 に沿って移動する物体が感じる 潮汐力 を表します。ワイルテンソルは、物体の体積がどのように変化するかの情報ではなく、潮汐力によって物体の形状がどのように歪むかの情報のみを伝える点で、リーマン曲率テンソルと異なります。リッチ 曲率 、つまりリーマンテンソルの トレース 成分には、潮汐力の存在下で体積がどのように変化するかに関する情報が正確に含まれているため、ワイルテンソルは リーマンテンソルの トレースのない 成分です。この テンソルは リーマンテンソルと同じ対称性を持つが、トレースフリーであるという追加条件を満たす。つまり、任意の添え字のペアにおける 計量縮約は ゼロとなる。これは、リーマンテンソルからリッチテンソルの線型表現であるテンソルを引くことで得られる。
一般相対性理論 では 、ワイル曲率は自由空間に存在する曲率の唯一の部分であり、 真空アインシュタイン方程式 の解であり、物質が存在しない空間領域を通る 重力波 の伝播を支配します。 [2]より一般的には、ワイル曲率は リッチ平坦多様体 の曲率の唯一の成分であり 、常に アインシュタイン多様体 の場の方程式の 特性 を支配します。 [2]
2次元と3次元では、ワイル曲率テンソルは等しくゼロになる。4次元以上では、ワイル曲率は一般に非ゼロである。ワイルテンソルが4次元以上でゼロになる場合、計量は局所的に 共形平坦となる。つまり、計量テンソルが定数テンソルに比例する 局所座標系が 存在する。この事実は、 一般相対性理論 の前身である ノルドストロームの重力理論 の重要な要素であった 。
意味 ワイルテンソルは、曲率テンソルから様々なトレースを差し引くことで得られる。これは、リーマンテンソルを(0,4)価テンソルとして（計量と縮約して）書き表すことによって最も簡単に行える。すると、(0,4)価ワイルテンソルは（Petersen 2006, p. 92）となる。
C = R − 1 n − 2 ( R i c − s n g ) ∧ ◯ g − s 2 n ( n − 1 ) g ∧ ◯ g {\displaystyle C=R-{\frac {1}{n-2}}\left(\mathrm {Ric} -{\frac {s}{n}}g\right){~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g-{\frac {s}{2n(n-1)}}g{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g} ここで、 n は多様体の次元、 g は計量、 R はリーマンテンソル、 Ric は リッチテンソル 、 s は スカラー曲率 、 2 つの対称 (0,2) テンソルの Kulkarni–Nomizu 積 を表します。 h ∧ ◯ k {\displaystyle h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}k}
( h ∧ ◯ k ) ( v 1 , v 2 , v 3 , v 4 ) = h ( v 1 , v 3 ) k ( v 2 , v 4 ) + h ( v 2 , v 4 ) k ( v 1 , v 3 ) − h ( v 1 , v 4 ) k ( v 2 , v 3 ) − h ( v 2 , v 3 ) k ( v 1 , v 4 ) {\displaystyle {\begin{aligned}(h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}k)\left(v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\right)=\quad &h\left(v_{1},v_{3}\right)k\left(v_{2},v_{4}\right)+h\left(v_{2},v_{4}\right)k\left(v_{1},v_{3}\right)\\{}-{}&h\left(v_{1},v_{4}\right)k\left(v_{2},v_{3}\right)-h\left(v_{2},v_{3}\right)k\left(v_{1},v_{4}\right)\end{aligned}}} テンソル成分表記では、これは次のように書ける。
C i k ℓ m = R i k ℓ m + 1 n − 2 ( R i m g k ℓ − R i ℓ g k m + R k ℓ g i m − R k m g i ℓ ) + 1 ( n − 1 ) ( n − 2 ) R ( g i ℓ g k m − g i m g k ℓ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}C_{ik\ell m}=R_{ik\ell m}+{}&{\frac {1}{n-2}}\left(R_{im}g_{k\ell }-R_{i\ell }g_{km}+R_{k\ell }g_{im}-R_{km}g_{i\ell }\right)\\{}+{}&{\frac {1}{(n-1)(n-2)}}R\left(g_{i\ell }g_{km}-g_{im}g_{k\ell }\right).\ \end{aligned}}} 通常の(1,3)価のワイルテンソルは、上記を計量の逆数で縮約することによって与えられます。
分解（ １ ）は、リーマンテンソルを 直交 直和 として表現し、
| R | 2 = | C | 2 + | 1 n − 2 ( R i c − s n g ) ∧ ◯ g | 2 + | s 2 n ( n − 1 ) g ∧ ◯ g | 2 . {\displaystyle |R|^{2}=|C|^{2}+\left|{\frac {1}{n-2}}\left(\mathrm {Ric} -{\frac {s}{n}}g\right){~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g\right|^{2}+\left|{\frac {s}{2n(n-1)}}g{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g\right|^{2}.} この分解は リッチ分解 と呼ばれ、リーマン曲率テンソルを 直交群 の作用下でのその 既約 成分に表現します。 特殊直交群 の作用に対する不変因子 、自己双対部分 C + と反自己双対部分 C − に分解されます。
ワイルテンソルは 、リッチテンソルのトレース調整された倍数である スハウテンテンソルを使って表現することもできる。
P = 1 n − 2 ( R i c − s 2 ( n − 1 ) g ) . {\displaystyle P={\frac {1}{n-2}}\left(\mathrm {Ric} -{\frac {s}{2(n-1)}}g\right).} それから
C = R − P ∧ ◯ g . {\displaystyle C=R-P{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g.} 指標では、 [4]
C a b c d = R a b c d − 2 n − 2 ( g a [ c R d ] b − g b [ c R d ] a ) + 2 ( n − 1 ) ( n − 2 ) R g a [ c g d ] b {\displaystyle C_{abcd}=R_{abcd}-{\frac {2}{n-2}}\left(g_{a[c}R_{d]b}-g_{b[c}R_{d]a}\right)+{\frac {2}{(n-1)(n-2)}}R~g_{a[c}g_{d]b}} ここで 、 はリーマンテンソル、 はリッチテンソル、 はリッチスカラー（スカラー曲率）であり、添え字を囲む括弧は 反対称部分 を表します。同様に、 R a b c d {\displaystyle R_{abcd}} R a b {\displaystyle R_{ab}} R {\displaystyle R}
C a b c d = R a b c d − 4 S [ a [ c δ b ] d ] {\displaystyle {C_{ab}}^{cd}={R_{ab}}^{cd}-4S_{[a}^{[c}\delta _{b]}^{d]}} ここで、 Sは Schoutenテンソル を表します 。
プロパティ
ワイルテンソルは、 計量の 共形 変化に対して不変であるという特別な性質を持っています 。つまり、 ある正のスカラー関数に対して 、(1,3) 価のワイルテンソルは を満たします 。このため、ワイルテンソルは 共形テンソル とも呼ばれます。したがって、 リーマン多様体が 共形平坦で ある ための 必要条件 は、ワイルテンソルが 0 になることです。次元 ≥ 4 では、この条件も 十分です。次元 3 では、 コットンテンソル が 0 になることは、リーマン多様体が共形平坦であるための必要かつ十分な条件です。任意の 2 次元 (滑らかな) リーマン多様体は共形平坦であり、これは 等温座標 の存在の結果としてです 。 g μ ν ↦ g μ ν ′ = f g μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }\mapsto g'_{\mu \nu }=fg_{\mu \nu }} f {\displaystyle f} C ′ b c d a = C b c d a {\displaystyle {C'}_{\ \ bcd}^{a}=C_{\ \ bcd}^{a}}
実際、共形平坦スケールの存在は、過剰決定偏微分方程式を解くことに相当する。
D d f − d f ⊗ d f + ( | d f | 2 + Δ f n − 2 ) g = Ric . {\displaystyle Ddf-df\otimes df+\left(|df|^{2}+{\frac {\Delta f}{n-2}}\right)g=\operatorname {Ric} .} 次元 ≥ 4 では、ワイル テンソルの消失が この方程式の唯一の 積分可能条件です。次元 3 では、代わりに コットン テンソル が積分可能条件になります。
対称性 ワイルテンソルはリーマンテンソルと同じ対称性を持ちます。これには以下が含まれます。
C ( u , v ) = − C ( v , u ) ⟨ C ( u , v ) w , z ⟩ = − ⟨ C ( u , v ) z , w ⟩ C ( u , v ) w + C ( v , w ) u + C ( w , u ) v = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}C(u,v)&=-C(v,u)\\\langle C(u,v)w,z\rangle &=-\langle C(u,v)z,w\rangle \\C(u,v)w+C(v,w)u+C(w,u)v&=0.\end{aligned}}} さらに、もちろん、ワイルテンソルはトレースフリーです。
tr C ( u , ⋅ ) v = 0 {\displaystyle \operatorname {tr} C(u,\cdot )v=0} すべての u 、 v について。インデックスではこれら4つの条件は
C a b c d = − C b a c d = − C a b d c C a b c d + C a c d b + C a d b c = 0 C a b a c = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}C_{abcd}=-C_{bacd}&=-C_{abdc}\\C_{abcd}+C_{acdb}+C_{adbc}&=0\\{C^{a}}_{bac}&=0.\end{aligned}}}
ビアンキのアイデンティティ リーマンテンソルの通常の第2ビアンキ恒等式の軌跡をとると、
∇ a C a b c d = 2 ( n − 3 ) ∇ [ c S d ] b {\displaystyle \nabla _{a}{C^{a}}_{bcd}=2(n-3)\nabla _{[c}S_{d]b}} ここで Sは Schoutenテンソル です 。右辺の価数(0,3)テンソルは 、初期因子を除けば コットンテンソルです。
参照
注記 ^ ヘルマン・ヴァイル (1918-09-01)。 「レーヌ無限微幾何学」。 Mathematische Zeitschrift (ドイツ語)。 2 (3): 384– 411。 ビブコード :1918MatZ....2..384W。 土井 ：10.1007/BF01199420。 ISSN 1432-1823。 S2CID 186232500。 ^ ab Danehkar, A. (2009). 「相対論的宇宙論モデルにおけるワイル曲率の重要性について」. Mod. Phys. Lett. A. 24 ( 38): 3113– 3127. arXiv : 0707.2987 . Bibcode :2009MPLA...24.3113D. doi :10.1142/S0217732309032046. S2CID 15949217. ^ Grøn & Hervik 2007, p. 490
参考文献 ホーキング、スティーブン・W. 、 エリス、ジョージFR （1973）、 時空の大規模構造 、ケンブリッジ大学出版局、 ISBN 0-521-09906-4 Petersen, Peter (2006), Riemannian geometric , Graduate Texts in Mathematics, vol. 171 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 0387292462 、 MR 2243772 。 Sharpe、RW (1997)、 Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program 、Springer-Verlag、ニューヨーク、 ISBN 0-387-94732-9 。 シンガー, IM ; ソープ, JA (1969)「4次元アインシュタイン空間の曲率」, グローバル解析（小平健二名誉論文集） , 東京大学出版会, pp. 355– 365 「ワイルテンソル」 数学百科事典 、 EMSプレス 、2001 [1994] Grøn, オイヴィンド ; Hervik、Sigbjørn (2007)、 アインシュタインの一般相対性理論 、ニューヨーク: Springer、 ISBN 978-0-387-69199-2
![{\displaystyle C_{abcd}=R_{abcd}-{\frac {2}{n-2}}\left(g_{a[c}R_{d]b}-g_{b[c}R_{d]a}\right)+{\frac {2}{(n-1)(n-2)}}R~g_{a[c}g_{d]b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1fe6a1fc5ad6e2ad77b9fc603fdaae8c3bba1f4)
![{\displaystyle {C_{ab}}^{cd}={R_{ab}}^{cd}-4S_{[a}^{[c}\delta _{b]}^{d]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/179a28f7ac753ff166f6bb694dd0fbde056ebf4e)
![{\displaystyle \nabla _{a}{C^{a}}_{bcd}=2(n-3)\nabla _{[c}S_{d]b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95bc5946c57649b107d431fc644496b3176823cd)
