ワイル変換

理論物理学において、ドイツの数学者ヘルマン・ワイルにちなんで名付けられたワイル変換は、計量テンソルの局所的な再スケーリングです。

$g_{ab}\rightarrow e^{-2\omega (x)}g_{ab}$

同じ共形類に別の計量を生成します。この変換に対して不変な理論または表現は共形不変と呼ばれます。あるいは、ワイル不変性あるいはワイル対称性を持つと言われます。ワイル対称性は共形場理論における重要な対称性です。例えば、ポリヤコフ作用の対称性です。量子力学的な効果によって理論の共形不変性が破れる場合、共形異常あるいはワイル異常を示すと言われます。

通常のレヴィ・チヴィタ接続とそれに伴うスピン接続は、ワイル変換に対して不変ではありません。ワイル接続は不変なアフィン接続の一種ですが、ワイル変換に対して個々のワイル接続が不変というわけではありません。

コンフォーマルウェイト

ある量が共形重みを持つとは、ワイル変換によって、次のように変換されるときである。 $\varphi$ $k$

\varphi \to \varphi e^{k\omega }.

このように、共形的に重み付けされた量は、特定の密度バンドルに属します。共形次元も参照してください。をのレヴィ・チヴィタ接続に関連付けられた接続一形式とします。を介して、初期一形式にも依存する接続を導入します。 $A_{\mu }$ $g$ $\partial _{\mu }\omega$

B_{\mu }=A_{\mu }+\partial _{\mu }\omega .

するとは共変となり、共形重みを持ちます。 $D_{\mu }\varphi \equiv \partial _{\mu }\varphi +kB_{\mu }\varphi$ $k-1$

変革のために

g_{ab}=f(\phi (x)){\bar {g}}_{ab}

以下の式を導くことができる。

{\begin{aligned}g^{ab}&={\frac {1}{f(\phi (x))}}{\bar {g}}^{ab}\\{\sqrt {-g}}&={\sqrt {-{\bar {g}}}}f^{D/2}\\\Gamma _{ab}^{c}&={\bar {\Gamma }}_{ab}^{c}+{\frac {f'}{2f}}\left(\delta _{b}^{c}\partial _{a}\phi +\delta _{a}^{c}\partial _{b}\phi -{\bar {g}}_{ab}\partial ^{c}\phi \right)\equiv {\bar {\Gamma }}_{ab}^{c}+\gamma _{ab}^{c}\\R_{ab}&={\bar {R}}_{ab}+{\frac {f''f-f^{\prime 2}}{2f^{2}}}\left((2-D)\partial _{a}\phi \partial _{b}\phi -{\bar {g}}_{ab}\partial ^{c}\phi \partial _{c}\phi \right)+{\frac {f'}{2f}}\left((2-D){\bar {\nabla }}_{a}\partial _{b}\phi -{\bar {g}}_{ab}{\bar {\Box }}\phi \right)+{\frac {1}{4}}{\frac {f^{\prime 2}}{f^{2}}}(D-2)\left(\partial _{a}\phi \partial _{b}\phi -{\bar {g}}_{ab}\partial _{c}\phi \partial ^{c}\phi \right)\\R&={\frac {1}{f}}{\bar {R}}+{\frac {1-D}{f}}\left({\frac {f''f-f^{\prime 2}}{f^{2}}}\partial ^{c}\phi \partial _{c}\phi +{\frac {f'}{f}}{\bar {\Box }}\phi \right)+{\frac {1}{4f}}{\frac {f^{\prime 2}}{f^{2}}}(D-2)(1-D)\partial _{c}\phi \partial ^{c}\phi \end{aligned}}

ワイルテンソルはワイル再スケーリングに対して不変であることに注意してください。

ワイル、ヘルマン (1993) [1921]。ラウム、ツァイト、マテリエ[空間、時間、物質]。一般相対性理論に関する講義（ドイツ語）。ベルリン：シュプリンガー。ISBN 3-540-56978-2。

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