ワイル計量

Class of solutions to Einstein's field equation

一般相対性理論において、ワイル計量（ドイツ系アメリカ人の数学者ヘルマン・ワイルにちなんで名付けられた）^[1]は、アインシュタインの場の方程式の静的かつ軸対称な解の一種である。有名なカー・ニューマン族の解の3つの要素、すなわちシュワルツシルト計量、非極限ライスナー・ノルドストローム計量、極限ライスナー・ノルドストローム計量は、ワイル型計量として識別することができる。

標準ワイル計量

ワイル解の類は一般形^{[2] [3]を持つ。}

$${\displaystyle ds^{2}=-e^{2\psi (\rho ,z)}dt^{2}+e^{2\gamma (\rho ,z)-2\psi (\rho ,z)}(d\rho ^{2}+dz^{2})+e^{-2\psi (\rho ,z)}\rho ^{2}d\phi ^{2}\,,}$$

1

ここで、と はワイルの標準座標に依存する2つの計量ポテンシャルである。この座標系は、ワイル時空の対称性（2つのキリングベクトル場がと）に最も適しており、しばしば円筒座標のように振る舞うが^[2]、ブラックホールを地平線とその外部のみを覆うように記述する際には不完全である。 ${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$ ${\displaystyle \gamma (\rho ,z)}$ ${\displaystyle \{\rho \,,z\}}$ ${\displaystyle \{t,\rho ,z,\phi \}}$ ${\displaystyle \xi ^{t}=\partial _{t}}$ ${\displaystyle \xi ^{\phi }=\partial _{\phi }}$ ${\displaystyle \{\rho \,,z\}}$

したがって、特定の応力エネルギーテンソル に対応する静的軸対称解を決定するには、ワイル計量Eq(1)をアインシュタインの方程式に代入するだけでよい（c = G =1）。 ${\displaystyle T_{ab}}$

$${\displaystyle R_{ab}-{\frac {1}{2}}Rg_{ab}=8\pi T_{ab}\,,}$$

2

そして 2 つの関数と を計算します。 ${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$ ${\displaystyle \gamma (\rho ,z)}$

電気真空ワイル解のための簡約場方程式

最もよく研​​究され、最も有用なワイル解の一つは、電磁真空の場合である。これは、（ワイル型）電磁場（物質と電流の流れがない）の存在に由来する。周知のように、電磁四元ポテンシャルが与えられれば、反対称電磁場とトレースフリー応力エネルギーテンソルはそれぞれ次のように決定される。 ${\displaystyle T_{ab}}$ ${\displaystyle A_{a}}$ ${\displaystyle F_{ab}}$ ${\displaystyle T_{ab}}$ ${\displaystyle (T=g^{ab}T_{ab}=0)}$

$${\displaystyle F_{ab}=A_{b\,;\,a}-A_{a\,;\,b}=A_{b\,,\,a}-A_{a\,,\,b}}$$

3

$${\displaystyle T_{ab}={\frac {1}{4\pi }}\,\left(\,F_{ac}F_{b}^{\;c}-{\frac {1}{4}}g_{ab}F_{cd}F^{cd}\right)\,,}$$

4

これはソースフリー共変マクスウェル方程式を尊重する：

$${\displaystyle {\big (}F^{ab}{\big )}_{;\,b}=0\,,\quad F_{[ab\,;\,c]}=0\,.}$$

5.a

式(5.a)は次のように簡略化できる。

$${\displaystyle \left({\sqrt {-g}}\,F^{ab}\right)_{,\,b}=0\,,\quad F_{[ab\,,\,c]}=0}$$

5.b

計算では となる。また、電気真空の場合、式(2)は次のように簡約される。 ${\displaystyle \Gamma _{bc}^{a}=\Gamma _{cb}^{a}}$ ${\displaystyle R=-8\pi T=0}$

$${\displaystyle R_{ab}=8\pi T_{ab}\,.}$$

6

ここで、ワイル型軸対称静電ポテンシャルが（成分は実際には電磁スカラーポテンシャルである）、ワイル計量式(1)と合わせて式(3)(4)(5)(6)は次式を意味すると仮定する。 ${\displaystyle A_{a}=\Phi (\rho ,z)[dt]_{a}}$ ${\displaystyle \Phi }$

$${\displaystyle \nabla ^{2}\psi =\,(\nabla \psi )^{2}+\gamma _{,\,\rho \rho }+\gamma _{,\,zz}}$$

7.a

$${\displaystyle \nabla ^{2}\psi =\,e^{-2\psi }(\nabla \Phi )^{2}}$$

7.b

$${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}\,\gamma _{,\,\rho }=\,\psi _{,\,\rho }^{2}-\psi _{,\,z}^{2}-e^{-2\psi }{\big (}\Phi _{,\,\rho }^{2}-\Phi _{,\,z}^{2}{\big )}}$$

7.c

$${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}\,\gamma _{,\,z}=\,2\psi _{,\,\rho }\psi _{,\,z}-2e^{-2\psi }\Phi _{,\,\rho }\Phi _{,\,z}}$$

7.d

$${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi =\,2\nabla \psi \nabla \Phi \,,}$$

7.e

ここで、式(7.a)を得るか、式(7.b)を得るか、式(7.c)を得るか、式(7.d)を得るか、式(5.b)を得ると式(7.e)が得られる。ここで、とはそれぞれラプラス演算子と勾配演算子である。さらに、物質と幾何学の相互作用の意味で漸近平坦性を仮定すると、式(7.ae)は次の関係式を持つことが分かる。 ${\displaystyle R=0}$ ${\displaystyle R_{tt}=8\pi T_{tt}}$ ${\displaystyle R_{\varphi \varphi }=8\pi T_{\varphi \varphi }}$ ${\displaystyle R_{\rho \rho }=8\pi T_{\rho \rho }}$ ${\displaystyle R_{zz}=8\pi T_{zz}}$ ${\displaystyle R_{\rho z}=8\pi T_{\rho z}}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}=\partial _{\rho \rho }+{\frac {1}{\rho }}\,\partial _{\rho }+\partial _{zz}}$ ${\displaystyle \nabla =\partial _{\rho }\,{\hat {e}}_{\rho }+\partial _{z}\,{\hat {e}}_{z}}$ ${\displaystyle \psi =\psi (\Phi )}$

$${\displaystyle e^{\psi }=\,\Phi ^{2}-2C\Phi +1\,.}$$

7.f

特に、最も単純な真空の場合、およびの場合、式(7.a-7.e)は^{[4]のように簡約される。} ${\displaystyle \Phi =0}$ ${\displaystyle T_{ab}=0}$

$${\displaystyle \gamma _{,\,\rho \rho }+\gamma _{,\,zz}=-(\nabla \psi )^{2}}$$

8.a

$${\displaystyle \nabla ^{2}\psi =0}$$

8.b

$${\displaystyle \gamma _{,\,\rho }=\rho \,{\Big (}\psi _{,\,\rho }^{2}-\psi _{,\,z}^{2}{\Big )}}$$

8.c

$${\displaystyle \gamma _{,\,z}=2\,\rho \,\psi _{,\,\rho }\psi _{,\,z}\,.}$$

8.d

まず式(8.b)を解くことで を得ることができ、次に式(8.c)と式(8.d)を について積分することができます。実際には、 から生じる式(8.a)は、無矛盾性関係 または積分可能性条件として機能します。 ${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$ ${\displaystyle \gamma (\rho ,z)}$ ${\displaystyle R=0}$

非線形ポアソン方程式(7.b)とは異なり、(8.b)は線形ラプラス方程式である。つまり、(8.b)の真空解を重ね合わせても解となる。この事実は、シュワルツシルトブラックホールを解析的に歪めるなど、幅広い応用がある。

軸対称ラプラス演算子と勾配演算子を用いることで、式(7.a-7.e)と式(8.a-8.d)を簡潔に記述することができました。これは特性関係式(7.f)の導出に非常に有用です。文献では、式(7.a-7.e)と式(8.a-8.d)はしばしば以下の形式でも表記されます。

$${\displaystyle \psi _{,\,\rho \rho }+{\frac {1}{\rho }}\psi _{,\,\rho }+\psi _{,\,zz}=\,(\psi _{,\,\rho })^{2}+(\psi _{,\,z})^{2}+\gamma _{,\,\rho \rho }+\gamma _{,\,zz}}$$

A.1.a

$${\displaystyle \psi _{,\,\rho \rho }+{\frac {1}{\rho }}\psi _{,\,\rho }+\psi _{,\,zz}=e^{-2\psi }{\big (}\Phi _{,\,\rho }^{2}+\Phi _{,\,z}^{2}{\big )}}$$

A.1.b

$${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}\,\gamma _{,\,\rho }=\,\psi _{,\,\rho }^{2}-\psi _{,\,z}^{2}-e^{-2\psi }{\big (}\Phi _{,\,\rho }^{2}-\Phi _{,\,z}^{2}{\big )}}$$

A.1.c

$${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}\,\gamma _{,\,z}=\,2\psi _{,\,\rho }\psi _{,\,z}-2e^{-2\psi }\Phi _{,\,\rho }\Phi _{,\,z}}$$

A.1.d

$${\displaystyle \Phi _{,\,\rho \rho }+{\frac {1}{\rho }}\Phi _{,\,\rho }+\Phi _{,\,zz}=\,2\psi _{,\,\rho }\Phi _{,\,\rho }+2\psi _{,\,z}\Phi _{,\,z}}$$

A.1.e

そして

$${\displaystyle (\psi _{,\,\rho })^{2}+(\psi _{,\,z})^{2}=-\gamma _{,\,\rho \rho }-\gamma _{,\,zz}}$$

A.2.a

$${\displaystyle \psi _{,\,\rho \rho }+{\frac {1}{\rho }}\psi _{,\,\rho }+\psi _{,\,zz}=0}$$

A.2.b

$${\displaystyle \gamma _{,\,\rho }=\rho \,{\Big (}\psi _{,\,\rho }^{2}-\psi _{,\,z}^{2}{\Big )}}$$

A.2.c

$${\displaystyle \gamma _{,\,z}=2\,\rho \,\psi _{,\,\rho }\psi _{,\,z}\,.}$$

A.2.d

時空の幾何学とエネルギー物質分布の相互作用を考慮すると、式(7.a-7.e)において計量関数は関数を介して静電スカラーポテンシャルと関係している（つまり幾何学はエネルギーに依存する）と仮定するのが自然であり、次の式が成り立つ。 ${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$ ${\displaystyle \Phi (\rho ,z)}$ ${\displaystyle \psi =\psi (\Phi )}$

$${\displaystyle \psi _{,\,i}=\psi _{,\,\Phi }\cdot \Phi _{,\,i}\quad ,\quad \nabla \psi =\psi _{,\,\Phi }\cdot \nabla \Phi \quad ,\quad \nabla ^{2}\psi =\psi _{,\,\Phi }\cdot \nabla ^{2}\Phi +\psi _{,\,\Phi \Phi }\cdot (\nabla \Phi )^{2},}$$

B.1

式(B.1)は、式(7.b)と式(7.e)をそれぞれ次のように変換します。

$${\displaystyle \Psi _{,\,\Phi }\cdot \nabla ^{2}\Phi \,=\,{\big (}e^{-2\psi }-\psi _{,\,\Phi \Phi }{\big )}\cdot (\nabla \Phi )^{2},}$$

B.2

$${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi \,=\,2\psi _{,\,\Phi }\cdot (\nabla \Phi )^{2},}$$

B.3

それによって

$${\displaystyle \psi _{,\,\Phi \Phi }+2\,{\big (}\psi _{,\,\Phi }{\big )}^{2}-e^{-2\psi }=0.}$$

B.4

ここで変数を に置き換えると、式(B.4)は次のように簡略化される。 ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \zeta :=e^{2\psi }}$

$${\displaystyle \zeta _{,\,\Phi \Phi }-2=0.}$$

B.5

式(B.5)の直積分は となり、 は整数定数である。空間無限大における漸近平坦性を回復するには と が必要となるため、 となる。また、以降の計算における数学的な便宜上、定数 を と書き直すと、最終的に式(7.a-7.e)によって示される特性関係が得られる。 ${\displaystyle \zeta =e^{2\psi }=\Phi ^{2}+{\tilde {C}}\Phi +B}$ ${\displaystyle \{B,{\tilde {C}}\}}$ ${\displaystyle \lim _{\rho ,z\to \infty }\Phi =0}$ ${\displaystyle \lim _{\rho ,z\to \infty }e^{2\psi }=1}$ ${\displaystyle B=1}$ ${\displaystyle {\tilde {C}}}$ ${\displaystyle -2C}$

$${\displaystyle e^{2\psi }=\Phi ^{2}-2C\Phi +1\,.}$$

7.f

この関係は、式(7.a-7.f)を線形化し、電磁気ワイル解を重ね合わせる際に重要です。

計量ポテンシャルΨ(ρ,z)のニュートン類似体

ワイル計量式(1)では、したがって弱場極限の近似では、 ${\textstyle e^{\pm 2\psi }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\pm 2\psi )^{n}}{n!}}}$ ${\displaystyle \psi \to 0}$

$${\displaystyle g_{tt}=-(1+2\psi )-{\mathcal {O}}(\psi ^{2})\,,\quad g_{\phi \phi }=1-2\psi +{\mathcal {O}}(\psi ^{2})\,,}$$

9

そしてそれゆえ

$${\displaystyle ds^{2}\approx -{\Big (}1+2\psi (\rho ,z){\Big )}\,dt^{2}+{\Big (}1-2\psi (\rho ,z){\Big )}\left[e^{2\gamma }(d\rho ^{2}+dz^{2})+\rho ^{2}d\phi ^{2}\right]\,.}$$

10

これは、太陽や地球のような低質量天体によって生成される静的および弱い重力場のよく知られた近似測定法と非常に類似している。^[5]

$${\displaystyle ds^{2}=-{\Big (}1+2\Phi _{N}(\rho ,z){\Big )}\,dt^{2}+{\Big (}1-2\Phi _{N}(\rho ,z){\Big )}\,\left[d\rho ^{2}+dz^{2}+\rho ^{2}d\phi ^{2}\right]\,.}$$

11

ここで、 はポアソン方程式 を満たす通常のニュートンポテンシャルであり、ワイル計量ポテンシャル の式(3.a)または式(4.a)と同様です。 と の類似性は、ワイルクラスの解を研究する際にのニュートン類似体を見つけようとする人々を刺激します。つまり、特定の種類のニュートン源によって非相対論的に再現することです。 のニュートン類似体は、特定のワイル型解を特定したり、既存のワイル型解を拡張したりするのに非常に役立ちます。^[2] ${\displaystyle \Phi _{N}(\rho ,z)}$ ${\displaystyle \nabla _{L}^{2}\Phi _{N}=4\pi \varrho _{N}}$ ${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$ ${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$ ${\displaystyle \Phi _{N}(\rho ,z)}$ ${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$ ${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$ ${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$

シュワルツシルト解

真空方程式Eq( 8 )の解としてシュワルツシルト計量を生成するワイルポテンシャルは^{[2] [3] [4]}で与えられる。

$${\displaystyle \psi _{SS}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {L-M}{L+M}}\,,\quad \gamma _{SS}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {L^{2}-M^{2}}{l_{+}l_{-}}}\,,}$$

12

どこ

$${\displaystyle L={\frac {1}{2}}{\big (}l_{+}+l_{-}{\big )}\,,\quad l_{+}={\sqrt {\rho ^{2}+(z+M)^{2}}}\,,\quad l_{-}={\sqrt {\rho ^{2}+(z-M)^{2}}}\,.}$$

13

ニュートン力学の視点から見ると、 は、軸上に対称的に配置された質量と長さの棒によって生成される重力ポテンシャル、つまり、区間 に埋め込まれた均一な密度の線質量によって生成される重力ポテンシャルに等しい。（注：この類似性に基づいて、シュワルツシルト計量の重要な拡張が開発されており、文献^[2]で議論されている。） ${\displaystyle \psi _{SS}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 2M}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \sigma =1/2}$ ${\displaystyle z\in [-M,M]}$

と が与えられると、ワイル計量式( 1 )は次のようになる。 ${\displaystyle \psi _{SS}}$ ${\displaystyle \gamma _{SS}}$

$${\displaystyle ds^{2}=-{\frac {L-M}{L+M}}dt^{2}+{\frac {(L+M)^{2}}{l_{+}l_{-}}}(d\rho ^{2}+dz^{2})+{\frac {L+M}{L-M}}\,\rho ^{2}d\phi ^{2}\,,}$$

14

そして、次の相互に矛盾のない関係を代入した後

$${\displaystyle {\begin{aligned}&L+M=r\,,\quad l_{+}-l_{-}=2M\cos \theta \,,\quad z=(r-M)\cos \theta \,,\\&\rho ={\sqrt {r^{2}-2Mr}}\,\sin \theta \,,\quad l_{+}l_{-}=(r-M)^{2}-M^{2}\cos ^{2}\theta \,,\end{aligned}}}$$

15

通常の座標系ではシュワルツシルト計量の一般的な形が得られる。 ${\displaystyle \{t,r,\theta ,\phi \}}$

$${\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)\,dt^{2}+\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\,.}$$

16

計量式( 14 )は、標準的な円筒-球面変換によって式( 16 )に直接変換することはできません。これは、式(1)が完全であるのに対し、式( 1 )が不完全であるためです。そのため、式(1 )を円筒座標ではなくワイルの標準座標と呼ぶのですが、両者には多くの共通点があります。例えば、式( 7 )のラプラシアンは、円筒座標における2次元幾何学的ラプラシアンと全く同じです。 ${\displaystyle (t,\rho ,z,\phi )=(t,r\sin \theta ,r\cos \theta ,\phi )}$ ${\displaystyle \{t,r,\theta ,\phi \}}$ ${\displaystyle (t,\rho ,z,\phi )}$ ${\displaystyle \{t,\rho ,z,\phi \}}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}:=\partial _{\rho \rho }+{\frac {1}{\rho }}\partial _{\rho }+\partial _{zz}}$

非極限的なライスナー・ノルドストローム ソリューション

式( 7 )の解として非極限ライスナー・ノルドストローム解( )を生成するワイルポテンシャルは^{[2] [3] [4]}で与えられる。 ${\displaystyle M>|Q|}$

$${\displaystyle \psi _{RN}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {L^{2}-\left(M^{2}-Q^{2}\right)}{\left(L+M\right)^{2}}}\,,\quad \gamma _{RN}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {L^{2}-\left(M^{2}-Q^{2}\right)}{l_{+}l_{-}}}\,,}$$

17

どこ

$${\displaystyle L={\frac {1}{2}}{\big (}l_{+}+l_{-}{\big )}\,,\quad l_{+}={\sqrt {\rho ^{2}+\left(z+{\sqrt {M^{2}-Q^{2}}}\right)^{2}}}\,,\quad l_{-}={\sqrt {\rho ^{2}+\left(z-{\sqrt {M^{2}-Q^{2}}}\right)^{2}}}\,.}$$

18

したがって、およびが与えられると、ワイル計量は ${\displaystyle \psi _{RN}}$ ${\displaystyle \gamma _{RN}}$

$${\displaystyle ds^{2}=-{\frac {L^{2}-\left(M^{2}-Q^{2}\right)}{\left(L+M\right)^{2}}}dt^{2}+{\frac {\left(L+M\right)^{2}}{l_{+}l_{-}}}(d\rho ^{2}+dz^{2})+{\frac {(L+M)^{2}}{L^{2}-(M^{2}-Q^{2})}}\rho ^{2}d\phi ^{2}\,,}$$

19

そして、以下の変換を採用する

$${\displaystyle {\begin{aligned}&L+M=r\,,\quad l_{+}-l_{-}=2{\sqrt {M^{2}-Q^{2}}}\,\cos \theta \,,\quad z=(r-M)\cos \theta \,,\\&\rho ={\sqrt {r^{2}-2Mr+Q^{2}}}\,\sin \theta \,,\quad l_{+}l_{-}=(r-M)^{2}-(M^{2}-Q^{2})\cos ^{2}\theta \,,\end{aligned}}}$$

20

通常の座標系では、非極値ライスナー・ノルドストローム計量の一般的な形が得られる。 ${\displaystyle \{t,r,\theta ,\phi \}}$

$${\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)dt^{2}+\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\,.}$$

21

極限ライスナー・ノルドストローム解

式( 7 )の解として極限ライスナー-ノルドストローム解( )を生成するポテンシャルは^[4]で与えられる(注:極限解は非極限解の退化した状態よりもはるかに大きいため、別途扱う)。 ${\displaystyle M=|Q|}$

$${\displaystyle \psi _{ERN}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {L^{2}}{(L+M)^{2}}}\,,\quad \gamma _{ERN}=0\,,\quad {\text{with}}\quad L={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}\,.}$$

22

したがって、極限ライスナー・ノルドストローム計量は次のように表される。

$${\displaystyle ds^{2}=-{\frac {L^{2}}{(L+M)^{2}}}dt^{2}+{\frac {(L+M)^{2}}{L^{2}}}(d\rho ^{2}+dz^{2}+\rho ^{2}d\phi ^{2})\,,}$$

23

そして代入することで

$${\displaystyle L+M=r\,,\quad z=L\cos \theta \,,\quad \rho =L\sin \theta \,,}$$

24

通常の座標系における極限ライスナー・ノルドストローム計量を得る。 ${\displaystyle \{t,r,\theta ,\phi \}}$

$${\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {M}{r}}\right)^{2}dt^{2}+\left(1-{\frac {M}{r}}\right)^{-2}dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\,.}$$

25

数学的には、極限的なライスナー・ノルドストロームは、対応する非極限方程式の極限を取ることによって得ることができますが、その間、ロピタル則を使用する必要がある場合もあります。 ${\displaystyle Q\to M}$

備考：ワイル計量Eq( 1 )は、（極限ライスナー・ノルドストローム計量のように）消失ポテンシャルを持つ特別なサブクラスを構成し、識別すべき計量ポテンシャルは1つだけである。このサブクラスを拡張して軸対称性の制約を取り消すと、ワイル座標系を用いた別の有用な解のクラス、すなわち共形計量が得られる。^{[6] [7]} ${\displaystyle \gamma (\rho ,z)}$ ${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$

$${\displaystyle ds^{2}\,=-e^{2\lambda (\rho ,z,\phi )}dt^{2}+e^{-2\lambda (\rho ,z,\phi )}{\Big (}d\rho ^{2}+dz^{2}+\rho ^{2}d\phi ^{2}{\Big )}\,,}$$

26

ここで、Eq.( 1 )のの代わりにEq.( 22 )の を単一の計量関数として使用し、それらが軸対称性（-依存性）によって異なることを強調します。 ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \phi }$

球座標におけるワイル真空解

ワイル計量は球座標でも表現でき、

$${\displaystyle ds^{2}\,=-e^{2\psi (r,\theta )}dt^{2}+e^{2\gamma (r,\theta )-2\psi (r,\theta )}(dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2})+e^{-2\psi (r,\theta )}\rho ^{2}d\phi ^{2}\,,}$$

27

これは座標変換により式( 1 )に等しい（注：式( 15 )( 21 )( 24 )で示されるように、この変換は常に適用できるわけではない）。真空の場合、式( 8.b )は ${\displaystyle (t,\rho ,z,\phi )\mapsto (t,r\sin \theta ,r\cos \theta ,\phi )}$ ${\displaystyle \psi (r,\theta )}$

$${\displaystyle r^{2}\psi _{,\,rr}+2r\,\psi _{,\,r}+\psi _{,\,\theta \theta }+\cot \theta \cdot \psi _{,\,\theta }\,=\,0\,.}$$

28

式（28）の漸近的に平坦な解は^{[2]である。}

$${\displaystyle \psi (r,\theta )\,=-\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {P_{n}(\cos \theta )}{r^{n+1}}}\,,}$$

29

ここで、ルジャンドル多項式、およびは多重極係数である。もう一つの計量ポテンシャルは^[2]で与えられる。 ${\displaystyle P_{n}(\cos \theta )}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle \gamma (r,\theta )}$

$${\displaystyle \gamma (r,\theta )\,=-\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{\infty }a_{l}a_{m}{\frac {(l+1)(m+1)}{l+m+2}}{\frac {P_{l}P_{m}-P_{l+1}P_{m+1}}{r^{l+m+2}}}\,.}$$

30

参照

• シュワルツシルト計量
• ライスナー・ノルドストローム計量
• 歪んだシュワルツシルト計量

参考文献

1. Weyl、H.、「Zur Gravitationstheorie」、Ann. der Physik 54 (1917)、117–145。
2. ジェレミー・ブランサム・グリフィス、イジー・ポドルスキー著『アインシュタインの一般相対性理論における正確な時空間』ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、2009年。第10章。
3. ハンス・ステファニ、ディートリッヒ・クレイマー、マルコム・マッカラム、コーネリウス・ホエンセラーズ、エドゥアルド・ヘルト.アインシュタインの場の方程式の厳密解. ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局, 2003. 第20章.
4. R・ゴートロ、RB・ホフマン、A・アルメンティ。一般相対性理論における静的多粒子系。イル・ヌオーヴォ・シメント B、1972、7 ( 1): 71-98。
5. ジェームズ・B・ハートル著『重力：アインシュタインの一般相対性理論入門』サンフランシスコ：アディソン・ウェスレー、2003年。式（6.20）をローレンツ円筒座標系に変換すると、
6. Guillermo A Gonzalez, Antonio C Gutierrez-Pineres, Paolo A Ospina.共形時空における有限軸対称荷電ダストディスク. Physical Review D, 2008, 78 (6): 064058. arXiv:0806.4285v1
7. アントニオ・C・グティエレス＝ピネレス、ギジェルモ・A・ゴンザレス、ヘルナンド・ケベド。アインシュタイン・マクスウェル重力におけるコンフォーマスタティック・ディスクハロー。Physical Review D、2013年、87 (4):044010。[1]

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