ホイール理論

Algebra where division is always defined

車輪の図。零点（⊥ で示される）を持つ実射影直線として表される。

車輪は、除算が常に定義されている代数（普遍代数の意味で）の一種です。特に、ゼロ除算は意味を持ちます。実数は車輪に拡張でき、任意の可換環も同様です。

ホイールという用語は、実射影直線の位相的な描像と、 となる追加点⊥（底要素）の組み合わせに由来する。^{[1] [2]} ${\displaystyle \odot }$ ${\displaystyle \bot =0/0}$

車輪は可換環（および半環）と等価とみなすことができる。ここで、加算と乗算は群ではなく、それぞれ可換モノイドと反転を含む可換モノイドである。^[2]

意味

車輪は代数構造 であり、 ${\displaystyle (W,0,1,+,\cdot ,/)}$

• ${\displaystyle W}$集合である、
• ${\displaystyle {}0}$そしてその集合の要素である、 ${\displaystyle 1}$
• ${\displaystyle +}$およびは二項演算であり、 ${\displaystyle \cdot }$
• ${\displaystyle /}$は単項演算であり、

以下の特性を満たします。

• ${\displaystyle +}$と はそれぞれ交換可能かつ結合的であり、 とをそれぞれの恒等式として持ちます。 ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \,0}$ ${\displaystyle 1}$
• ${\displaystyle /}$例えば、退化である ${\displaystyle //x=x}$
• ${\displaystyle /}$は乗法である。例えば ${\displaystyle /(xy)=/x/y}$
• ${\displaystyle (x+y)z+0z=xz+yz}$
• ${\displaystyle (x+yz)/y=x/y+z+0y}$
• ${\displaystyle 0\cdot 0=0}$
• ${\displaystyle (x+0y)z=xz+0y}$
• ${\displaystyle /(x+0y)=/x+0y}$
• ${\displaystyle 0/0+x=0/0}$

車輪の代数

Wheelsは、通常の二項演算としての除算を乗算に置き換え、乗法逆数に類似した（しかし同一ではない）一項演算を1つの引数に適用することで、 はの省略形となるが、一般には や にはならず、代数の規則を次のように 変更する。 ${\displaystyle /x}$ ${\displaystyle x^{-1}}$ ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle a\cdot /b=/b\cdot a}$ ${\displaystyle a\cdot b^{-1}}$ ${\displaystyle b^{-1}\cdot a}$

• ${\displaystyle 0x\neq 0}$一般的なケースでは
• ${\displaystyle x/x\neq 1}$一般に、 は の逆数と同じではありません。 ${\displaystyle /x}$ ${\displaystyle x}$

他に導き出されるアイデンティティとしては

• ${\displaystyle 0x+0y=0xy}$
• ${\displaystyle x/x=1+0x/x}$
• ${\displaystyle x-x=0x^{2}}$

ここで、否定はによって定義され、となる要素がある場合（したがって、一般的なケースでは）。 ${\displaystyle -x}$ ${\displaystyle -x=ax}$ ${\displaystyle x-y=x+(-y)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 1+a=0}$ ${\displaystyle x-x\neq 0}$

しかし、およびを満たす の値に対しては、通常の ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0x=0}$ ${\displaystyle 0/x=0}$

• ${\displaystyle x/x=1}$
• ${\displaystyle x-x=0}$

否定が上記のように定義できる場合、部分集合は 可換環となり、任意の可換環はホイールのそのような部分集合となる。 が可換環の可逆元である場合、 となる。したがって、が意味を成すときはいつでも は に等しいが、 の場合でも後者は常に定義される。^[1] ${\displaystyle \{x\mid 0x=0\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{-1}=/x}$ ${\displaystyle x^{-1}}$ ${\displaystyle /x}$ ${\displaystyle x=0}$

例

分数の輪

を可換環とし、を の乗法部分モノイドとする。を介して 上の合同関係を定義する。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sim _{S}}$ ${\displaystyle A\times A}$

${\displaystyle (x_{1},x_{2})\sim _{S}(y_{1},y_{2})}$は、となるような が存在することを意味します。 ${\displaystyle s_{x},s_{y}\in S}$ ${\displaystyle (s_{x}x_{1},s_{x}x_{2})=(s_{y}y_{1},s_{y}y_{2})}$

の分数の輪をの商（を含む同値類を表す）について定義し、次の演算で ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A\times A~/{\sim _{S}}}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$ ${\displaystyle [x_{1},x_{2}]}$

${\displaystyle 0=[0_{A},1_{A}]}$           （加法恒等式）

${\displaystyle 1=[1_{A},1_{A}]}$           （乗法恒等式）

${\displaystyle /[x_{1},x_{2}]=[x_{2},x_{1}]}$           （逆演算）

${\displaystyle [x_{1},x_{2}]+[y_{1},y_{2}]=[x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1},x_{2}y_{2}]}$           （加算演算）

${\displaystyle [x_{1},x_{2}]\cdot [y_{1},y_{2}]=[x_{1}y_{1},x_{2}y_{2}]}$           （乗算演算）

一般に、この構造は、通常の意味での自明でない限り、環ではありません。ここでは で が得られますが、これは がホイール 上で不適切な関係であることを意味します。 ${\displaystyle 0x\neq 0}$ ${\displaystyle x=[0,0]}$ ${\displaystyle 0x=[0,0]}$ ${\displaystyle \sim _{S}}$ ${\displaystyle W}$

これは事実から導き出されるが、これも一般には正しくない。^[1] ${\displaystyle [0,0]=[0,1]\implies 0\in S}$

射影直線とリーマン球面

上記の特殊なケースでは、体から始めて、底辺⊥を接することで車輪まで延長された射影直線を生成します。ここで です。射影直線自体は、元の体から元 を延長したものです。ここで、体内の任意の元 に対して です。しかし、は射影直線上では未定義のままですが、車輪への延長では定義されます。 ${\displaystyle 0/0=\bot }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle z/0=\infty }$ ${\displaystyle z\neq 0}$ ${\displaystyle 0/0}$

実数から始めると、対応する射影「直線」は幾何学的には円となり、追加の点によって「車輪」という用語の由来となる形状が得られます。あるいは複素数から始めると、対応する射影「直線」は球面（リーマン球面）となり、追加の点によって3次元版の車輪が得られます。 ${\displaystyle 0/0}$

参照

• 非数

引用

1. カールストローム 2001.
2. Carlström 2004より。

参考文献

• セッツァー、アントン（1997）「Wheels」（PDF）（草稿）
• Carlström, Jesper (2001)、「Wheels – On Division by Zero」(PDF)、ストックホルム大学数学部
• カールストローム、ジェスパー（2004）、「ホイールズ - ゼロ除算について」、コンピュータサイエンスにおける数学的構造、14（1）、ケンブリッジ大学出版局：143-184、doi：10.1017/S0960129503004110、S2CID  11706592（こちらからオンラインでも入手可能です）。
• A, BergstraJ; V, TuckerJ (2007年4月1日). 「抽象データ型としての有理数」 . Journal of the ACM . 54 (2): 7. doi :10.1145/1219092.1219095. S2CID  207162259.
• Bergstra, Jan A.; Ponse, Alban (2015). 「コモン・メドウズにおけるゼロ除算」.ソフトウェア、サービス、そしてシステム：プログラミングおよびソフトウェア工学教授職退任を記念するマーティン・ウィルシング氏へのエッセイ集. コンピュータサイエンス講義ノート. 第8950巻. Springer International Publishing. pp.  46– 61. arXiv : 1406.6878 . doi :10.1007/978-3-319-15545-6_6. ISBN 978-3-319-15544-9. S2CID  34509835。

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Wheel_theory&oldid=1316786538"