ホワイトヘッド多様体

ホワイトヘッド多様体構成の最初の3つのトーラス

数学において、ホワイトヘッド多様体は、収縮可能だがに同相ではない3 次元開多様体です。これは、 JHC ホワイトヘッド(1935) がポアンカレ予想 を証明しようとして発見したもので、ホワイトヘッドがそのような多様体は存在しないと誤って主張した以前の論文 (1934、定理 3) の誤りを訂正したものです。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

収縮可能な多様体とは、その多様体自身の内部の点まで連続的に収縮できる多様体である。例えば、開いた球体は収縮可能な多様体である。球体に同相な多様体はすべて収縮可能である。すべての収縮可能な多様体が球体に同相であるかどうかという問いがある。次元1と2の場合、答えは古典的で「はい」である。次元2では、例えばリーマン写像定理に従う。次元3では、最初の反例であるホワイトヘッド多様体が存在する。^[1]

工事

3次元球のコピーを取ります。球の内部に、コンパクトな結び目のない立体トーラスを求めます。（立体トーラスは位相空間 です。直感的には、これは通常の3次元ドーナツ、つまり円と円板の位相積である、塗りつぶされたトーラスです。）球内部の結び目のない立体トーラスの閉じた補集合は、別の立体トーラスです。 ${\displaystyle S^{3},}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle S^{1}\times D^{2}}$ ${\displaystyle S^{3}}$

厚くなったホワイトヘッドリンク。ホワイトヘッド多様体構成において、青い（ねじれていない）トーラスはの子午線曲線の管状近傍であり、オレンジ色のトーラスは である。 すべては に含まれる必要がある。 ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}.}$ ${\displaystyle T_{1}.}$

次に、 2 番目の結び目のない立体トーラスを内部に取り、の子午線曲線の管状近傍が厚くなったホワイトヘッド リンクになります。 ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{1}}$

が の子午線の補集合においてヌルホモトピーであることに注意されたい。これは、 を とし、子午線曲線をz軸として、 を とみなすことでわかる。 トーラスはz軸の周りの巻き数は0 である。したがって、必要なヌルホモトピーが導かれる。ホワイトヘッドリンクは対称的であるため、つまり 3次元球面の同相写像は成分を入れ替えるため、 の子午線も の補集合においてヌルホモトピーであることも真である。 ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{1}.}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle \infty .}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}.}$

を の内側に埋め込むのと同じように、無限に埋め込む。ホワイトヘッド連続体W を、より正確には、の全ての の交点と定義する。 ${\displaystyle T_{3}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{1},}$ ${\displaystyle W=T_{\infty },}$ ${\displaystyle T_{k}}$ ${\displaystyle k=1,2,3,\dots .}$

ホワイトヘッド多様体は と定義され、境界を持たない非コンパクト多様体です。これまでの観察、ヒューレヴィッツの定理、およびホモトピー同値性に関するホワイトヘッドの定理から、 Xは縮約可能であることがわかります。実際、モートン・ブラウンの結果を用いたより詳細な分析により、 であることが示されます。しかし、X はと同相ではありません。これは、 が無限遠 で単連結ではないためです。 ${\displaystyle X=S^{3}\setminus W,}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} \cong \mathbb {R} ^{4}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

Xの一点コンパクト化は、（Wを一点に圧縮した）空間である。これは多様体ではない。しかし、 ${\displaystyle S^{3}/W}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{3}/W\right)\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$

デイヴィッド・ガバイは、 Xは2つのコピーの和集合であり、その共通部分は^[1]と同相であることを示した。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

関連スペース

同様の手順で、反復処理において の異なる埋め込みを選択することで、3次元開多様体のさら​​なる例を構築できる。各埋め込みは、3次元球面における結び目のない立体トーラスでなければならない。本質的な性質は、 の子午線がの補集合においてヌルホモトピックであること、そして の経線が においてヌルホモトピックではないことである。 ${\displaystyle T_{i+1}}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle T_{i+1},}$ ${\displaystyle T_{i+1}}$ ${\displaystyle T_{i}\setminus T_{i+1}.}$

もう一つのバリエーションは、各段階で一つではなく複数の部分円錐を選ぶことです。これらの連続体上の円錐は、四球面におけるキャソンハンドルの補集合として現れます。

ドッグボーン空間は多様体ではないが、その積は ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$

参照

• トポロジのリスト
• 飼いならされた多様体

参考文献

1. Gabai, David (2011). 「ホワイトヘッド多様体は2つのユークリッド空間の和集合である」. Journal of Topology . 4 (3): 529– 534. doi :10.1112/jtopol/jtr010.

さらに読む

• カービー、ロビオン(1989). 4次元多様体の位相. 数学講義ノート, no. 1374, Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-51148-1。
• ロルフセン、デール（2003）「セクション3.I.8.」、結び目とリンク、AMSチェルシー出版、p.82、ISBN 978-0821834367
• ホワイトヘッド, JHC (1934)、「三次元多様体に関するいくつかの定理（I）」、Quarterly Journal of Mathematics、5 (1): 308– 320、Bibcode :1934QJMat...5..308W、doi :10.1093/qmath/os-5.1.308
• ホワイトヘッド, JHC (1935)、「群が単位元であるある開多様体」、Quarterly Journal of Mathematics、6 (1): 268– 279、Bibcode :1935QJMat...6..268W、doi :10.1093/qmath/os-6.1.268

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