ホイットニー埋め込み定理

数学、特に微分位相幾何学には、ハスラー・ホイットニーにちなんで名付けられた 2 つのホイットニー埋め込み定理があります。

強いホイットニーの埋め込み定理は、任意の滑らかな実 $m$ 次元多様体（ハウスドルフかつ第二可算であることも要求される）は、 $m$ $> 0$ であれば、実2 m $空間$ $に$ 滑らかに埋め込むことができることを述べています。これは、すべての $m$ 次元多様体が埋め込まれる最小次元ユークリッド空間上の最良の線形境界です。なぜなら、 $m が$ 2 のべき乗である場合、次元 $mの$ 実射影空間は実 $(2$ $m$ $- 1)$ 空間に埋め込むことができないからです（これもホイットニーによる特性類の議論からわかるように）。 $\mathbb {R} ^{2m},$
弱ホイットニー埋め込み定理は、 $n次元多様体から$ $m$ 次元多様体への任意の連続関数は、 $m > 2 n$ の条件で滑らかな埋め込みによって近似できることを述べています。ホイットニーも同様に、 $m$ $> 2$ $n$ $- 1$ の条件で、そのような写像は埋め込みによって近似できることを実証しました。この最後の結果は、ホイットニー埋め込み定理と呼ばれることもあります。

証明について

弱埋め込み定理

弱いホイットニー埋め込みは射影の議論を通じて証明されます。

多様体がコンパクトな場合、まず有限個の局所チャートによる被覆を用いて次元を縮小し、適切な射影によって次元を縮小することができる。^[1]^{: Ch. 1 §3}^[2]^{: Ch. 6}^[3]^{: Ch. 5 §3}

強い埋め込み定理

証明の概要は、横断的な自己交差を持つはめ込みから始めることです。これらは、ホイットニーの弱いはめ込み定理に関する以前の研究から存在が知られています。二 $f:M\to \mathbb {R} ^{2m}$ 重点の横断性は、一般位置の議論から生じます。アイデアは、何らかの方法ですべての自己交差を削除することです。 $Mに境界がある場合、二重点を含まない$ $M$ の部分多様体に、 $M を$ それ自体に同位体化(同位体は $fのドメイン内) するだけで、自己交差を削除できます。したがって、$ $M$ に境界がない場合にすぐに至ります。同位体によって二重点を削除できない場合があります。たとえば、平面内の円の 8 の字はめ込みを考えてみましょう。この場合は、局所的な二重点を導入する必要があります。

ダブルポイントを導入します。

2 つの反対の二重点が得られたら、その 2 つを接続する閉じたループを構築し、⁠ ⁠内の閉じたパスを作成します。 $\mathbb {R} ^{2m}.$ ⁠ ⁠は $\mathbb {R} ^{2m}$ 単連結であるため、このパスは円板を境界とするものと想定でき、 $2 m > 4$ であれば、さらに (弱いホイットニーの埋め込み定理により) 円板は⁠ ⁠ $\mathbb {R} ^{2m}$ に埋め込まれており、境界でのみ $M$ の像と交差すると想定できます。次にホイットニーは、円板を使用して1 パラメータの浸漬の族を作成し、実質的に $M を$ 円板を越えて押し、その過程で 2 つの二重点を削除します。導入された二重点を含む 8 の字浸漬の場合、押し広げる動きは非常に単純です (図を参照)。

反対のダブルポイントをキャンセルします。

多様体を円板に沿って押すことによって反対符号の二重点を消去するこのプロセスは、ホイットニートリックと呼ばれます。

局所的二重点を導入するために、ホイットニーは単位球の外側では近似的に線形であるが、単一の二重点を含むはめ込みを作成した。m = 1 の場合、この $\alpha _{m}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{2m}$ $よう$ なはめ込みは次のように与えられる $。$

{\begin{cases}\alpha :\mathbb {R} ^{1}\to \mathbb {R} ^{2}\\\alpha (t)=\left({\frac {1}{1+t^{2}}},\ t-{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)\end{cases}}

$α を$ ⁠ ⁠ $\mathbb {R} ^{3}$ への写像として考えると次のようになることに注意してください。

\alpha (t)=\left({\frac {1}{1+t^{2}}},\ t-{\frac {2t}{1+t^{2}}},0\right)

すると、二重点は埋め込みに解決できます。

\beta (t,a)=\left({\frac {1}{(1+t^{2})(1+a^{2})}},\ t-{\frac {2t}{(1+t^{2})(1+a^{2})}},\ {\frac {ta}{(1+t^{2})(1+a^{2})}}\right).

$β(t, 0) = α(t)$ であり、 $a \neq 0の場合、$ $t$ の関数として、 $β(t, a)$ は埋め込みであることに注意してください。

高次元 $mの場合、同様に$ ⁠ ⁠で解決できる $α m$ があります。例えば、 ⁠ ⁠への埋め込みでは、次のように定義します。 $\mathbb {R} ^{2m+1}.$ $\mathbb {R} ^{5},$

\alpha _{2}(t_{1},t_{2})=\left(\beta (t_{1},t_{2}),\ t_{2}\right)=\left({\frac {1}{(1+t_{1}^{2})(1+t_{2}^{2})}},\ t_{1}-{\frac {2t_{1}}{(1+t_{1}^{2})(1+t_{2}^{2})}},\ {\frac {t_{1}t_{2}}{(1+t_{1}^{2})(1+t_{2}^{2})}},\ t_{2}\right).

このプロセスは最終的に次の定義につながります。

\alpha _{m}(t_{1},t_{2},\cdots ,t_{m})=\left({\frac {1}{u}},t_{1}-{\frac {2t_{1}}{u}},{\frac {t_{1}t_{2}}{u}},t_{2},{\frac {t_{1}t_{3}}{u}},t_{3},\cdots ,{\frac {t_{1}t_{m}}{u}},t_{m}\right),

どこ

u=(1+t_{1}^{2})(1+t_{2}^{2})\cdots (1+t_{m}^{2}).

$α m$ の重要な性質は、2点埋め込み $α m (1, 0, ... , 0) = α m (-1, 0, ... , 0)$ を除くすべての点において埋め込みとなることです。さらに、 $|(t 1, ... , t m)|$ が大きい場合、α m は近似的に線形埋め込み $(0, t 1, 0, t 2, ... , 0, t m)$ となります。

ホイットニートリックの最終的な結果

ホイットニートリックは、スティーブン・スメールによって h-コボルディズム定理の証明に用いられた。この定理から、 $m$ $\geq 5$ 次元におけるポアンカレ予想と、円板上の滑らかな構造（同じく5次元以上）の分類が導かれる。これは、5次元以上の多様体を分類する手術理論の基礎となる。

次元が 5 以上の単連結多様体内に相補次元の 2 つの有向部分多様体がある場合、交点のすべてが同じ符号を持つように、部分多様体の 1 つに同位体を適用することができます。

歴史

ハスラー・ホイットニーによる滑らかな多様体に対する埋め込み定理の証明は、（意外にも）多様体概念の最初の完全な解説であったと言われています。それは、当時の多様体に関する様々な概念を統合し、統一したからです。図表によって内在的に定義された抽象多様体が、ユークリッド空間の部分多様体として外在的に定義された多様体よりも一般性が高いか低いかという混乱はもはやなくなりました。文脈については、多様体と多様体の歴史も参照してください。

より鮮明な結果

$すべてのn$ 多様体は⁠ ⁠ $\mathbb {R} ^{2n},$ に埋め込まれますが、 $より$ よい結果が頻繁に得られます。e $(n)$ を最小の整数として、すべてのコンパクト連結 $n多様体が$ ⁠ ⁠ $\mathbb {R} ^{e(n)}.$ に埋め込まれるようにします $。$ ホイットニーの強い埋め込み定理では、 $e$ $(n) \leq 2 nとなります。n =$ $1, 2$ の場合、円とクラインの壺が示すように、 e ( n ) $= 2$ $n$ となります。より一般的には、 $n$ $= 2$ $k$ $の場合、$ $e$ $($ $n$ $) = 2$ $n$ となり、 $2$ $k$ 次元の実射影空間が示すように。ホイットニーの結果は、 $n$ が 2 のべき乗でない限り、 $e$ $($ $n$ $) \leq 2$ $n$ $- 1に改善できます。これは、$ André HaefligerとMorris Hirsch ( $n$ $> 4$ の場合) およびCTC Wall ( $n$ $= 3$ の場合)の結果です。これらの著者は、ヒルシュ、ウィリアム・S・マッシー、セルゲイ・ノビコフ、ウラジミール・ロクリンによって証明された重要な予備的結果と特定のケースを使用しました。^[4]現在、関数 $eは$ すべての整数に対して閉じた形では知られていません（類似の数が知られているホイットニーの浸漬定理と比較してください）。

多様体に対する制約

多様体に追加の制約を加えることで、結果を強化できます。例えば、 $n$ 球面は常に⁠ ⁠ $\mathbb {R} ^{n+1}$ に埋め込まれます。これは最良の方法です（閉じた $n多様体は$ ⁠ ⁠ $\mathbb {R} ^{n}$ に埋め込むことができません）。任意のコンパクトな有向面と、空でない境界を持つ任意のコンパクトな面は⁠ ⁠ $\mathbb {R} ^{3},$ に埋め込まれますが、閉じた無向面は⁠ ⁠ を必要とします。 $\mathbb {R} ^{4}.$

$N$ がコンパクトな有向 $n$ 次元多様体である場合、 $N は$ ⁠ ⁠ $\mathbb {R} ^{2n-1}$ に埋め込まれます( $n$ が2 の累乗でない場合、有向性条件は不要です)。 $nが 2 の累乗の場合、これは$ André HaefligerとMorris Hirsch ( $n > 4 の$ 場合)、および Fuquan Fang ( $n = 4$ の場合)の結果です。これらの著者は、Jacques Boéchat と Haefliger、Simon Donaldson、Hirsch およびWilliam S. Masseyによって証明された重要な予備結果を使用しました。^[4] Haefliger は、 $N$ がコンパクトな $n$ 次元 $k$ 連結多様体である場合、 $2$ $k$ $+ 3 \leq$ $n$ であれば $Nは$ ⁠ ⁠ $\mathbb {R} ^{2n-k}$ に埋め込まれることを証明しました。^[4]

同位体バージョン

比較的「簡単な」結果は、1次元多様体の⁠ ⁠ $\mathbb {R} ^{4}$ への任意の2つの埋め込みが同位体であることを証明することです（結び目理論#高次元を参照）。これは一般位置を用いて証明され、これにより $n次元多様体の$ ⁠ ⁠ $\mathbb {R} ^{2n+2}$ への任意の2つの埋め込みが同位体であることを示すことも可能になります。この結果は、弱ホイットニー埋め込み定理の同位体版です。

Wuは、 $n \geq 2の場合、$ $n -多様体の$ ⁠ ⁠ $\mathbb {R} ^{2n+1}$ への任意の2つの埋め込みは同位体であることを証明しました。この結果は、強ホイットニー埋め込み定理の同位体版です。

埋め込み結果の同位体版として、ヘフリガーは、 $N が$ コンパクトな $n$ 次元 $k$ 連結多様体である場合、 $2$ $k$ $+ 2 \leq$ $n$ $を満たすNの$ ⁠ ⁠ $\mathbb {R} ^{2n-k+1}$ への任意の 2 つの埋め込みが同位体であることを証明しました。次元制限 $2$ $k$ $+ 2 \leq$ $n$ は鋭いです。ヘフリガーはさらに、 ⁠ ⁠における非自明に埋め込まれた 3 次元球面(およびより一般的には、⁠ ⁠における $(2$ $d$ $- 1)次元球面) の例を示しました。さらなる一般化については、$ Wayback Machineに 2016-09-30 にアーカイブされています。 $\mathbb {R} ^{6}$ $\mathbb {R} ^{3d}$

参照

表現定理 – 特定の性質を持つすべての構造が他の構造と同型であることの証明
ホイットニーの浸漬定理 – 2m空間と(2m-1)空間における滑らかなm次元多様体の浸漬について
ナッシュ埋め込み定理 – あらゆるリーマン多様体はユークリッド空間に等長的に埋め込むことができる
テイケンスの定理 – 観測によってカオス系を再構成できる条件
非線形次元削減 – データの低次元多様体への投影
宇宙空間

注記

^ ハーシュ、モリス・W. (1976).微分位相幾何学. 大学院数学テキスト. ニューヨーク・ハイデルベルク・ベルリン:シュプリンガー. ISBN 978-1-4684-9449-5。
^ Lee, John M. (2013). 滑らかな多様体入門. 大学院数学テキスト（第2版）. ニューヨーク; ロンドン: Springer. ISBN 978-1-4419-9981-8. OCLC 800646950。
^ Prasolov, Victor V. (2006). 『組合せ論的位相幾何学と微分位相幾何学の要素』プロビデンス:アメリカ数学会. ISBN 978-1-4704-1153-4。
^ abc Skopenkov (2008)の第2節を参照

参考文献

Whitney, Hassler (1992), Eells, James ; Toledo, Domingo (eds.), Collected Papers , Boston: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3560-2
ミルナー、ジョン（1965）、「 h-コボルディズム定理に関する講義」、プリンストン大学出版局
足立正久（1993）『埋め込みと浸漬』ハドソン・キキ訳、アメリカ数学会、ISBN 0-8218-4612-4
Skopenkov, Arkadiy (2008)、「ユークリッド空間における多様体の埋め込みと結び目」、Nicholas Young、Yemon Choi (編)、『現代数学概論』、London Math. Soc. Lect. Notes.、第347巻、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、pp. 248– 342、arXiv : math/0604045、Bibcode :2006math......4045S、MR 2388495

外部リンク

埋め込みの分類 2017年12月22日アーカイブ - Wayback Machine

[Hirsch-1] ハーシュ、モリス・W. (1976).微分位相幾何学. 大学院数学テキスト. ニューヨーク・ハイデルベルク・ベルリン:シュプリンガー. ISBN 978-1-4684-9449-5。

[2] Lee, John M. (2013). 滑らかな多様体入門. 大学院数学テキスト（第2版）. ニューヨーク; ロンドン: Springer. ISBN 978-1-4419-9981-8. OCLC 800646950。

[3] Prasolov, Victor V. (2006). 『組合せ論的位相幾何学と微分位相幾何学の要素』プロビデンス:アメリカ数学会. ISBN 978-1-4704-1153-4。

[skopenkov2-4] Skopenkov (2008)の第2節を参照