Theorem in probability theory
確率論 において 、 イッサーリスの定理 あるいは ウィックの確率定理は、 多変量正規分布 の高次モーメントを 共分散 行列を用いて計算することを可能にする公式である。この定理は レオン・イッサーリス にちなんで名付けられている 。
この定理は素粒子物理学 においても特に重要であり 、 ウィック（1950）の研究にちなんで ウィックの定理として知られています。 [1] その他の応用としては、ポートフォリオのリターンの分析、 [2] 量子場の理論 [3] や有色ノイズの生成などがあります。 [4]
声明 が平均ゼロの 多変数正規 乱数ベクトルである 場合、 和は のすべてのペアリング、つまり をペアに 分割するすべての異なる方法にわたっており 、積は に含まれるペアにわたっている 。 [5] [6] ( X 1 , … , X n ) {\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{n})} E [ X 1 X 2 ⋯ X n ] = ∑ p ∈ P n 2 ∏ { i , j } ∈ p E [ X i X j ] = ∑ p ∈ P n 2 ∏ { i , j } ∈ p Cov ( X i , X j ) , {\displaystyle \operatorname {E} [\,X_{1}X_{2}\cdots X_{n}\,]=\sum _{p\in P_{n}^{2}}\prod _{\{i,j\}\in p}\operatorname {E} [\,X_{i}X_{j}\,]=\sum _{p\in P_{n}^{2}}\prod _{\{i,j\}\in p}\operatorname {Cov} (\,X_{i},X_{j}\,),} { 1 , … , n } {\displaystyle \{1,\ldots ,n\}} { 1 , … , n } {\displaystyle \{1,\ldots ,n\}} { i , j } {\displaystyle \{i,j\}} p {\displaystyle p}
より一般的には、 が ゼロ平均の 複素数 値の多変量正規乱数ベクトルである場合、式は依然として有効です。 ( Z 1 , … , Z n ) {\displaystyle (Z_{1},\dots ,Z_{n})}
右側の式は、 共分散行列の ハフニアン とも呼ばれます。 ( X 1 , … , X n ) {\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{n})}
奇妙なケース が奇数の場合 、 のペアリングは存在しません 。この仮説のもとで、イッサーリスの定理は を意味します。これは、 が と同じ分布を持つ という事実からも導かれ 、 を意味します 。 n = 2 m + 1 {\displaystyle n=2m+1} { 1 , … , 2 m + 1 } {\displaystyle \{1,\ldots ,2m+1\}} E [ X 1 X 2 ⋯ X 2 m + 1 ] = 0. {\displaystyle \operatorname {E} [\,X_{1}X_{2}\cdots X_{2m+1}\,]=0.} − X = ( − X 1 , … , − X n ) {\displaystyle -X=(-X_{1},\dots ,-X_{n})} X {\displaystyle X} E [ X 1 ⋯ X 2 m + 1 ] = E [ ( − X 1 ) ⋯ ( − X 2 m + 1 ) ] = − E [ X 1 ⋯ X 2 m + 1 ] = 0 {\displaystyle \operatorname {E} [\,X_{1}\cdots X_{2m+1}\,]=\operatorname {E} [\,(-X_{1})\cdots (-X_{2m+1})\,]=-\operatorname {E} [\,X_{1}\cdots X_{2m+1}\,]=0}
偶数の場合 レオン・イッサーリスは 原著論文 [7] で、この定理を 数学的帰納法 で証明し、次数モーメント の式 [8] を
一般化している。 4 th {\displaystyle 4^{\text{th}}}
E [ X 1 X 2 X 3 X 4 ] = E [ X 1 X 2 ] E [ X 3 X 4 ] + E [ X 1 X 3 ] E [ X 2 X 4 ] + E [ X 1 X 4 ] E [ X 2 X 3 ] . {\displaystyle \operatorname {E} [\,X_{1}X_{2}X_{3}X_{4}\,]=\operatorname {E} [X_{1}X_{2}]\,\operatorname {E} [X_{3}X_{4}]+\operatorname {E} [X_{1}X_{3}]\,\operatorname {E} [X_{2}X_{4}]+\operatorname {E} [X_{1}X_{4}]\,\operatorname {E} [X_{2}X_{3}].} が偶数の 場合、 のペア分割 （ 二重階乗 を参照）が存在します。これ により、和に項が生成されます。例えば、 次モーメント（つまり 確率変数）の場合、項は3つあります。 -次モーメントの場合 、項は1つ、 - 次モーメントの場合、 項は1つあります。 n = 2 m {\displaystyle n=2m} ( 2 m ) ! / ( 2 m m ! ) = ( 2 m − 1 ) ! ! {\displaystyle (2m)!/(2^{m}m!)=(2m-1)!!} { 1 , … , 2 m } {\displaystyle \{1,\ldots ,2m\}} ( 2 m ) ! / ( 2 m m ! ) = ( 2 m − 1 ) ! ! {\displaystyle (2m)!/(2^{m}m!)=(2m-1)!!} 4 th {\displaystyle 4^{\text{th}}} 4 {\displaystyle 4} 6 th {\displaystyle 6^{\text{th}}} 3 × 5 = 15 {\displaystyle 3\times 5=15} 8 th {\displaystyle 8^{\text{th}}} 3 × 5 × 7 = 105 {\displaystyle 3\times 5\times 7=105}
例 ガウス分布の特性関数は イッサーリスの定理によって 評価できます。 E [ e − i X ] = ∑ k ( − i ) k k ! E [ X k ] = ∑ k ( − i ) 2 k ( 2 k ) ! E [ X 2 k ] = ∑ k ( − i ) 2 k ( 2 k ) ! ( 2 k ) ! k ! 2 k E [ X 2 ] k = e − 1 2 E [ X 2 ] {\displaystyle E[e^{-iX}]=\sum _{k}{\frac {(-i)^{k}}{k!}}E[X^{k}]=\sum _{k}{\frac {(-i)^{2k}}{(2k)!}}E[X^{2k}]=\sum _{k}{\frac {(-i)^{2k}}{(2k)!}}{\frac {(2k)!}{k!2^{k}}}E[X^{2}]^{k}=e^{-{\frac {1}{2}}E[X^{2}]}}
証拠 式の両辺は において多重線型であるため 、実数の場合を証明できれば、複素数の場合も簡単に得られます。 X 1 , . . . , X n {\displaystyle X_{1},...,X_{n}}
を共分散行列とすると、平均ゼロの 多変量正規 乱数ベクトルが得られ ます 。式の両辺は に関して連続なので 、 が逆行列である場合のケースを証明すれば十分です 。特に、 のように の一部が同一である場合 、 のようにすべての変数が線形独立である場合のケースに帰着します 。 Σ i j = Cov ( X i , X j ) {\displaystyle \Sigma _{ij}=\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})} ( X 1 , . . . , X n ) ∼ N ( 0 , Σ ) {\displaystyle (X_{1},...,X_{n})\sim N(0,\Sigma )} Σ {\displaystyle \Sigma } Σ {\displaystyle \Sigma } X 1 , … , X n {\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}} E [ X 1 3 X 2 ] {\displaystyle E[X_{1}^{3}X_{2}]} E [ X 1 X 2 X 3 X 4 ] {\displaystyle E[X_{1}X_{2}X_{3}X_{4}]}
二次因数分解を使うと 、 − x T Σ − 1 x / 2 + v T x − v T Σ v / 2 = − ( x − Σ v ) T Σ − 1 ( x − Σ v ) / 2 {\displaystyle -x^{T}\Sigma ^{-1}x/2+v^{T}x-v^{T}\Sigma v/2=-(x-\Sigma v)^{T}\Sigma ^{-1}(x-\Sigma v)/2}
1 ( 2 π ) n det Σ ∫ e − x T Σ − 1 x / 2 + v T x d x = e v T Σ v / 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {(2\pi )^{n}\det \Sigma }}}\int e^{-x^{T}\Sigma ^{-1}x/2+v^{T}x}dx=e^{v^{T}\Sigma v/2}}
を積分符号の下で微分する と、次式が 得られます。つまり 、 のテイラー展開における 項の係数を求めるだけで済みます。 では量が偶数な ので、 が奇数であれば、この値はゼロになります。そこで とすると、 多項式 における 項の係数を求めるだけで済みます 。 ∂ v 1 , . . . , v n | v 1 , . . . , v n = 0 {\displaystyle \partial _{v_{1},...,v_{n}}|_{v_{1},...,v_{n}=0}} E [ X 1 ⋯ X n ] = ∂ v 1 , . . . , v n | v 1 , . . . , v n = 0 e v T Σ v / 2 {\displaystyle E[X_{1}\cdots X_{n}]=\partial _{v_{1},...,v_{n}}{\Big |}_{v_{1},...,v_{n}=0}e^{v^{T}\Sigma v/2}} v 1 ⋯ v n {\displaystyle v_{1}\cdots v_{n}} e v T Σ v / 2 = ∑ m 1 2 m m ! ( v T Σ v ) m {\displaystyle e^{v^{T}\Sigma v/2}=\sum _{m}{\frac {1}{2^{m}m!}}(v^{T}\Sigma v)^{m}} v {\displaystyle v} n {\displaystyle n} n = 2 m {\displaystyle n=2m} v 1 v 2 ⋯ v 2 m − 1 v 2 m {\displaystyle v_{1}v_{2}\cdots v_{2m-1}v_{2m}} 1 2 m m ! ( ∑ i j v i v j Σ i j ) m {\displaystyle {\frac {1}{2^{m}m!}}\left(\sum _{ij}v_{i}v_{j}\Sigma _{ij}\right)^{m}}
組み合わせ論的に、 の各組み合わせ は、 各括弧から各 を選ぶことで を得る方法に対応します。 このようにして を消去する方法も あります 。 π {\displaystyle \pi } 1 , 2 , … , 2 m − 1 , 2 m {\displaystyle 1,2,\dots ,2m-1,2m} v 1 v 2 ⋯ v 2 m − 1 v 2 m {\displaystyle v_{1}v_{2}\cdots v_{2m-1}v_{2m}} v i v j Σ i j {\displaystyle v_{i}v_{j}\Sigma _{ij}} ( i , j ) ∈ π {\displaystyle (i,j)\in \pi } 2 m m ! {\displaystyle 2^{m}m!} 1 2 m m ! {\displaystyle {\frac {1}{2^{m}m!}}} ◻ {\displaystyle \square }
一般化
部分ガウス積分 ウィックの確率公式と同等の定式化は、 部分ガウス積分 である。 が平均ゼロの 多変数正規 乱数ベクトルである場合、 ( X 1 , … X n ) {\displaystyle (X_{1},\dots X_{n})}
E ( X 1 f ( X 1 , … , X n ) ) = ∑ i = 1 n Cov ( X 1 , X i ) E ( ∂ X i f ( X 1 , … , X n ) ) . {\displaystyle \operatorname {E} (X_{1}f(X_{1},\ldots ,X_{n}))=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Cov} (X_{1},X_{i})\operatorname {E} (\partial _{X_{i}}f(X_{1},\ldots ,X_{n})).} これはスタインの補題 の一般化である 。
ウィックの確率公式は、で定義される 関数を考慮すると、帰納法によって復元できる。この定式化は、 リウヴィル共形場理論において、 共形ウォード恒等式 や BPZ方程式 [9] を得るため 、またフョードロフ・ブショー公式 [10] を証明するために重要である。 f : R n → R {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } f ( x 1 , … , x n ) = x 2 … x n {\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{2}\ldots x_{n}}
非ガウス分布の確率変数 非ガウス分布の確率変数の場合、モーメント・ キュムラント 公式 [11] はウィックの確率公式に代わる。 が 確率変数 のベクトルである場合 、 の 全ての分割について和 が 成り立つとき、のブロックについて積が成り立ち 、 は の 結合キュムラント である 。 ( X 1 , … X n ) {\displaystyle (X_{1},\dots X_{n})} E ( X 1 … X n ) = ∑ p ∈ P n ∏ b ∈ p κ ( ( X i ) i ∈ b ) , {\displaystyle \operatorname {E} (X_{1}\ldots X_{n})=\sum _{p\in P_{n}}\prod _{b\in p}\kappa {\big (}(X_{i})_{i\in b}{\big )},} { 1 , … , n } {\displaystyle \{1,\ldots ,n\}} p {\displaystyle p} κ ( ( X i ) i ∈ b ) {\displaystyle \kappa {\big (}(X_{i})_{i\in b}{\big )}} ( X i ) i ∈ b {\displaystyle (X_{i})_{i\in b}}
が単位球面上に均一に分布している とする と、 ほぼ確実に となる 。この設定では、以下が成り立つ。 X = ( X 1 , … , X d ) {\displaystyle X=(X_{1},\dots ,X_{d})} S d − 1 {\displaystyle S^{d-1}} ‖ X ‖ = 1 {\displaystyle \|X\|=1}
が奇数の 場合、 n {\displaystyle n} E [ X i 1 X i 2 ⋯ X i n ] = 0. {\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}X_{i_{1}}\,X_{i_{2}}\,\cdots \,X_{i_{n}}{\bigr ]}\;=\;0.\!}
が偶数の 場合 、 のすべてのペアリングの集合は クロネッカー のデルタ です 。 n = 2 k {\displaystyle n=2k} E [ X i 1 ⋯ X i 2 k ] = 1 d ( d + 2 ) ( d + 4 ) ⋯ ( d + 2 k − 2 ) ∑ p ∈ P 2 k 2 ∏ { r , s } ∈ p δ i r , i s , {\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}X_{i_{1}}\,\cdots \,X_{i_{2k}}{\bigr ]}\;=\;{\frac {1}{d\,{\bigl (}d+2{\bigr )}{\bigl (}d+4{\bigr )}\cdots {\bigl (}d+2k-2{\bigr )}}}\sum _{p\in P_{2k}^{2}}\prod _{\{r,s\}\in p}\delta _{\,i_{r},i_{s}},} P 2 k 2 {\displaystyle P_{2k}^{2}} { 1 , … , 2 k } {\displaystyle \{1,\ldots ,2k\}} δ i , j {\displaystyle \delta _{i,j}}
デルタ項 があるので、対角線上では次のようになります。 ここで、 は 二重階乗 を表します 。 | P 2 k 2 | = ( 2 k − 1 ) ! ! {\displaystyle |P_{2k}^{2}|=(2k-1)!!} E [ X 1 2 k ] = ( 2 k − 1 ) ! ! d ( d + 2 ) ( d + 4 ) ⋯ ( d + 2 k − 2 ) . {\displaystyle \operatorname {E} [\,X_{1}^{2k}\,]\;=\;{\frac {(2k-1)!!}{d\,{\bigl (}d+2{\bigr )}{\bigl (}d+4{\bigr )}\cdots {\bigl (}d+2k-2{\bigr )}}}.} ( 2 k − 1 ) ! ! {\displaystyle (2k-1)!!}
これらの結果は、Kushkuley（2021）の研究において、ランダムベクトルと既約表現の文脈で議論されている。 [12]
参照
参考文献 ^ Wick, GC (1950). 「衝突行列の評価」. Physical Review . 80 (2): 268– 272. Bibcode :1950PhRv...80..268W. doi :10.1103/PhysRev.80.268. ^ レペトヴィチ、プシェミスワフ;ピーター・リッチモンド (2005)。 「非ガウス分布時系列の多変量分布パラメータの統計的推論」 (PDF) 。 アクタ フィジカ ポロニカ B . 36 (9): 2785–2796 。 書誌コード :2005AcPPB..36.2785R。 ^ Perez-Martin, S.; Robledo, LM (2007). 「ゴーダン定理の極限としての多重準粒子重なりに対する一般化ウィック定理」. Physical Review C. 76 ( 6) 064314. arXiv : 0707.3365 . Bibcode :2007PhRvC..76f4314P. doi :10.1103/PhysRevC.76.064314. S2CID 119627477. ^ Bartosch, L. (2001). 「有色ノイズの生成」. International Journal of Modern Physics C. 12 ( 6): 851– 855. Bibcode :2001IJMPC..12..851B. doi :10.1142/S0129183101002012. S2CID 54500670. ^ Janson, Svante (1997年6月). ガウスヒルベルト空間. Cambridge Core. doi :10.1017/CBO9780511526169. ISBN 978-0-521-56128-0 . 2019年11月30日 閲覧 。 ^ Michalowicz, JV; Nichols, JM; Bucholtz, F.; Olson, CC (2009). 「混合ガウス変数に対するイッサーリスの定理：自己バイスペクトル密度への応用」. Journal of Statistical Physics . 136 (1): 89– 102. Bibcode :2009JSP...136...89M. doi :10.1007/s10955-009-9768-3. S2CID 119702133. ^ Isserlis, L. (1918). 「任意の変数数の正規分布における任意の次数の積率係数の公式について」. Biometrika . 12 ( 1–2 ): 134–139 . doi :10.1093/biomet/12.1-2.134. JSTOR 2331932. ^ Isserlis, L. (1916). 「歪回帰による多重頻度分布の特定の確率誤差と相関係数について」. Biometrika . 11 (3): 185– 190. doi :10.1093/biomet/11.3.185. JSTOR 2331846. ^ Kupiainen, Antti; Rhodes, Rémi; Vargas, Vincent (2019-11-01). 「Liouville量子重力の局所共形構造」. Communications in Mathematical Physics . 371 (3): 1005– 1069. arXiv : 1512.01802 . Bibcode :2019CMaPh.371.1005K. doi :10.1007/s00220-018-3260-3. ISSN 1432-0916. S2CID 55282482. ^ レミー、ギヨーム (2020). 「フョードロフ・ブショーの公式とリウヴィル共形場理論」.デューク 数学 ジャーナル . 169. arXiv : 1710.06897 . doi :10.1215/00127094-2019-0045. S2CID 54777103. ^ Leonov, VP; Shiryaev, AN (1959年1月). 「半不変量の計算方法について」 . 確率論とその応用 . 4 (3): 319– 329. doi :10.1137/1104031. ^ Kushkuley, Alexander (2021). 「ランダムベクトルと既約表現に関する考察」 arXiv : 2110.15504 [math.PR].
さらに読む クープマンス、ランバート・G. (1974). 時系列のスペクトル解析 . サンディエゴ、カリフォルニア州: アカデミック・プレス . 書誌コード :1974sats.book.....K. 
![{\displaystyle \operatorname {E} [\,X_{1}X_{2}\cdots X_{n}\,]=\sum _{p\in P_{n}^{2}}\prod _{\{i,j\}\in p}\operatorname {E} [\,X_{i}X_{j}\,]=\sum _{p\in P_{n}^{2}}\prod _{\{i,j\}\in p}\operatorname {Cov} (\,X_{i},X_{j}\,),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b46af65ba2d8bd69413701af8c994c1f9afd68eb)
![{\displaystyle \operatorname {E} [\,X_{1}X_{2}\cdots X_{2m+1}\,]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53954fde36e49d64a96fc3d080200ba6c04854e0)
![{\displaystyle \operatorname {E} [\,X_{1}\cdots X_{2m+1}\,]=\operatorname {E} [\,(-X_{1})\cdots (-X_{2m+1})\,]=-\operatorname {E} [\,X_{1}\cdots X_{2m+1}\,]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5096c555c7b32fea2c00648c5f9627843aabf2dc)
![{\displaystyle \operatorname {E} [\,X_{1}X_{2}X_{3}X_{4}\,]=\operatorname {E} [X_{1}X_{2}]\,\operatorname {E} [X_{3}X_{4}]+\operatorname {E} [X_{1}X_{3}]\,\operatorname {E} [X_{2}X_{4}]+\operatorname {E} [X_{1}X_{4}]\,\operatorname {E} [X_{2}X_{3}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeff75ca116e072ad6bf5879c2e362f1ab11c99b)
![{\displaystyle E[e^{-iX}]=\sum _{k}{\frac {(-i)^{k}}{k!}}E[X^{k}]=\sum _{k}{\frac {(-i)^{2k}}{(2k)!}}E[X^{2k}]=\sum _{k}{\frac {(-i)^{2k}}{(2k)!}}{\frac {(2k)!}{k!2^{k}}}E[X^{2}]^{k}=e^{-{\frac {1}{2}}E[X^{2}]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db3a2af9a2daf624ec162fff426df946f90e5d03)
![{\displaystyle E[X_{1}^{3}X_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ec2c7f1781c8246153753281047739a6f84f792)
![{\displaystyle E[X_{1}X_{2}X_{3}X_{4}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a36a7aca7722c2707ddadafe3694816f9784d773)
![{\displaystyle E[X_{1}\cdots X_{n}]=\partial _{v_{1},...,v_{n}}{\Big |}_{v_{1},...,v_{n}=0}e^{v^{T}\Sigma v/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fbcd701d95aa650be649f46e89f56344d6f8172)
![{\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}X_{i_{1}}\,X_{i_{2}}\,\cdots \,X_{i_{n}}{\bigr ]}\;=\;0.\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a994a16ae983ea3210a46670ded397aca81df460)
![{\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}X_{i_{1}}\,\cdots \,X_{i_{2k}}{\bigr ]}\;=\;{\frac {1}{d\,{\bigl (}d+2{\bigr )}{\bigl (}d+4{\bigr )}\cdots {\bigl (}d+2k-2{\bigr )}}}\sum _{p\in P_{2k}^{2}}\prod _{\{r,s\}\in p}\delta _{\,i_{r},i_{s}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5afd37e667414c0b5386926674f48b24a749013)
![{\displaystyle \operatorname {E} [\,X_{1}^{2k}\,]\;=\;{\frac {(2k-1)!!}{d\,{\bigl (}d+2{\bigr )}{\bigl (}d+4{\bigr )}\cdots {\bigl (}d+2k-2{\bigr )}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c0bb651ce833047240ac67e4776c4faa746437a)
