ウィドムスケーリング

ウィダムスケーリング（ベンジャミン・ウィダムに由来）は、統計力学における、磁気系の臨界点近傍における自由エネルギーに関する仮説であり、臨界指数がもはや独立ではなくなり、2つの値でパラメータ化できるようになるというものである。この仮説は、ブロックサイズが相関長と同じサイズに選択される場合、ブロックスピン再正規化手順の自然な結果として生じると考えられる。^{[ 1 ]}

Widom スケーリングは普遍性の一例です。

定義

臨界指数と臨界点近傍における秩序パラメータと応答関数の挙動に基づいて、以下のように定義される。 ${\displaystyle \alpha ,\alpha ',\beta ,\gamma ,\gamma '}$ ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle M(t,0)\simeq (-t)^{\beta }}$、 のために ${\displaystyle t\uparrow 0}$

${\displaystyle M(0,H)\simeq |H|^{1/\delta }\mathrm {sign} (H)}$、 のために ${\displaystyle H\rightarrow 0}$

${\displaystyle \chi _{T}(t,0)\simeq {\begin{cases}(t)^{-\gamma },&{\textrm {for}}\ t\downarrow 0\\(-t)^{-\gamma '},&{\textrm {for}}\ t\uparrow 0\end{cases}}}$

${\displaystyle c_{H}(t,0)\simeq {\begin{cases}(t)^{-\alpha }&{\textrm {for}}\ t\downarrow 0\\(-t)^{-\alpha '}&{\textrm {for}}\ t\uparrow 0\end{cases}}}$

どこ

${\displaystyle t\equiv {\frac {T-T_{c}}{T_{c}}}}$臨界点を基準とした温度を測定します。

臨界点付近では、ウィドムのスケーリング関係は次のようになる。

${\displaystyle H(t)\simeq M|M|^{\delta -1}f(t/|M|^{1/\beta })}$。

拡大がある 場所 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(t/|M|^{1/\beta })\approx 1+{\rm {const}}\times (t/|M|^{1/\beta })^{\omega }+\dots }$、

スケーリングへのアプローチ を支配するウェグナー指数です。 ${\displaystyle \omega }$

導出

スケーリング仮説は、臨界点の近くでは、次元における自由エネルギーは、ゆっくりと変化する規則的な部分と特異な部分の合計として表すことができ、特異な部分はスケーリング関数、すなわち同次関数であるため、 ${\displaystyle f(t,H)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle f_{r}}$ ${\displaystyle f_{s}}$

${\displaystyle f_{s}(\lambda ^{p}t,\lambda ^{q}H)=\lambda ^{d}f_{s}(t,H)\,}$

次にHに関する 偏微分とM(t,H)の形をとると、

${\displaystyle \lambda ^{q}M(\lambda ^{p}t,\lambda ^{q}H)=\lambda ^{d}M(t,H)\,}$

とを前式に 設定すると、 ${\displaystyle H=0}$ ${\displaystyle \lambda =(-t)^{-1/p}}$

${\displaystyle M(t,0)=(-t)^{\frac {d-q}{p}}M(-1,0),}$のために ${\displaystyle t\uparrow 0}$

これを の定義と比較すると、その値は次のようになる。 ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \beta ={\frac {d-q}{p}}\equiv {\frac {\nu }{2}}(d-2+\eta ).}$

同様に、Mのスケーリング関係にとを代入すると、 ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle \lambda =H^{-1/q}}$

${\displaystyle \delta ={\frac {q}{d-q}}\equiv {\frac {d+2-\eta }{d-2+\eta }}.}$

したがって

${\displaystyle {\frac {q}{p}}={\frac {\nu }{2}}(d+2-\eta ),~{\frac {1}{p}}=\nu .}$

Mに関する等温磁化率 の式をスケーリング関係に適用すると、次の式が得られる。 ${\displaystyle \chi _{T}}$

${\displaystyle \lambda ^{2q}\chi _{T}(\lambda ^{p}t,\lambda ^{q}H)=\lambda ^{d}\chi _{T}(t,H)\,}$

H=0および（それぞれ）に 設定すると、 ${\displaystyle \lambda =(t)^{-1/p}}$ ${\displaystyle t\downarrow 0}$ ${\displaystyle \lambda =(-t)^{-1/p}}$ ${\displaystyle t\uparrow 0}$

${\displaystyle \gamma =\gamma '={\frac {2q-d}{p}}\,}$

同様に、 Mに関する比熱 の式をスケーリング関係に適用すると、次の式が得られる。 ${\displaystyle c_{H}}$

${\displaystyle \lambda ^{2p}c_{H}(\lambda ^{p}t,\lambda ^{q}H)=\lambda ^{d}c_{H}(t,H)\,}$

H=0かつ（または ）とする と、 ${\displaystyle \lambda =(t)^{-1/p}}$ ${\displaystyle t\downarrow 0}$ ${\displaystyle \lambda =(-t)^{-1/p}}$ ${\displaystyle t\uparrow 0)}$

${\displaystyle \alpha =\alpha '=2-{\frac {d}{p}}=2-\nu d}$

ウィドムスケーリングの結果として、すべての臨界指数が独立しているわけではないが、それらは2つの数値でパラメータ化することができ、その関係は次のように表される。 ${\displaystyle p,q\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \alpha =\alpha '=2-\nu d,}$

${\displaystyle \gamma =\gamma '=\beta (\delta -1)=\nu (2-\eta ).}$

これらの関係は、磁気システムと流体に関して実験的に十分に検証されています。

参考文献

• HE スタンレー、相転移と臨界現象入門
• H. KleinertとV. Schulte-Frohlinde, Critical Properties of φ ⁴ -Theories , World Scientific (Singapore, 2001) ; ペーパーバックISBN 981-02-4658-7（Wayback Machineで2011年7月16日にアーカイブされたオンライン版 も閲覧可能）

1. カーソン・ホアン『統計力学』ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、1987年

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