Stochastic process generalizing Brownian motion
1次元ウィーナー過程の単一実現 3次元ウィーナー過程の単一実現 数学 において 、 ウィーナー過程 （または ブラウン運動、 同名の物理的過程 との歴史的な関連から ）は、実数値 連続時間 確率過程であり、 ノーバート・ウィーナー にちなんで名付けられている 。 [1] [2] これは最もよく知られている レヴィ過程 （ 定常 独立増分 を伴う 確率 過程）の一つである。純粋 数学 、応用 数学、経済学 、 定量金融 、 進化生物学 、 物理学 において頻繁に登場する。
ウィーナー過程は純粋数学と応用数学の両方で重要な役割を果たしている。純粋数学では、ウィーナー過程は連続時間 マルチンゲール の研究を生み出した。これは、より複雑な確率過程を記述できる重要な過程である。そのため、 確率微積分 、 拡散過程 、さらには ポテンシャル理論において極めて重要な役割を果たしている。これは 、シュラム・レーヴナー発展 の駆動過程である 。 応用数学では、ウィーナー過程は 白色雑音 ガウス過程 の積分を表すために使用され、 電子工学 における雑音（ ブラウン雑音を参照）、 フィルタリング理論 における機器誤差、 制御理論 における外乱 のモデルとして有用である 。
ウィーナー過程は数理科学全般に応用されている。物理学では、 フォッカー・プランク 方程式や ランジュバン方程式を用いてブラウン運動やその他の拡散現象を研究するために用いられている。また、 量子力学 における 厳密な 経路積分の定式化 （ ファインマン・カッツ方程式により、 シュレーディンガー方程式 の解を ウィーナー過程を用いて表すことができる）や、 物理宇宙論 における 永遠インフレーションの研究の基礎にもなっている。さらに、 金融の数理理論 、特に ブラック・ショールズ ・オプション価格モデル においても重要な役割を担っている。 [3]
ウィーナー過程の特徴 ウィーナー過程 は以下の特性によって特徴付けられる： [4] W t {\displaystyle W_{t}}
W 0 = 0 {\displaystyle W_{0}=0} ほぼ確実に 。 W {\displaystyle W} は独立した増分 を持ちます 。つまり、すべての に対して 、将来の増分は 過去の値とは独立しており 、 t > 0 {\displaystyle t>0} W t + u − W t , u ≥ 0 , {\displaystyle W_{t+u}-W_{t},\,u\geq 0,} W s {\displaystyle W_{s}} s < t . {\displaystyle s<t.} W {\displaystyle W} はガウス増分を持つ：すべての に対して 、 t ≥ 0 , u ≥ 0 {\displaystyle t\geq 0,u\geq 0} W t + u − W t ∼ N ( 0 , u ) . {\displaystyle W_{t+u}-W_{t}\sim {\mathcal {N}}(0,u).} W {\displaystyle W} ほぼ確実に連続した経路を持つ： ほぼ確実に連続している W t {\displaystyle W_{t}} t . {\displaystyle t.} プロセスに独立した増分があるということは、 0 ≤ s 1 < t 1 ≤ s 2 < t 2 の場合、 W t 1 − W s 1 と W t 2 − W s 2 が独立した確率変数であり、同様の条件が n 回の 増分に対しても成り立つことを意味します。
条件 2 は、次のように同様に定式化できます。 および の任意の値に対して 、 増分は シグマ代数 に依存しません 。 t > 0 {\displaystyle t>0} u ≥ 0 {\displaystyle u\geq 0} W t + u − W t {\displaystyle W_{t+u}-W_{t}} F t B = σ ( W s : 0 ≤ s ≤ t ) . {\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}^{B}=\sigma (W_{s}:0\leq s\leq t).}
ウィーナー過程の別の特徴付けは、いわゆる レヴィ特徴付け であり、ウィーナー過程は W 0 = 0 および 二次変化 [ W t 、 W t ] = t (つまり、 W t 2 − t もマルチンゲール) を伴うほぼ確実に連続するマルチンゲール で あるとされています。
3つ目の特徴は、ウィーナー過程が、係数が独立なN (0, 1)確率変数である正弦級数としてスペクトル表現されるという点である。この表現は 、カルーネン・レーヴの定理 を用いて得られる 。
ウィーナー過程のもう一つの特徴は、 ゼロ平均、単位分散、デルタ相関（「ホワイト」） ガウス過程の 定積分 （時刻ゼロから時刻 t まで）である。 [5]
ウィーナー過程は、 ランダムウォーク 、または定常独立増分を伴う他の離散時間確率過程 の スケーリング極限として構築できます。これは ドンスカー定理 として知られています。ランダムウォークと同様に、ウィーナー過程は1次元または2次元では回帰的です（つまり、原点の任意の固定された 近傍 にほぼ確実に無限回戻る）が、3次元以上では回帰しません（ここで、多次元ウィーナー過程とは、その座標が独立したウィーナー過程である過程です）。 [6] ランダムウォークとは異なり、 スケール不変 です。つまり、
任意の非ゼロ定数 α に対してウィーナー過程です 。 ウィーナー測度は、ウィーナー過程によって誘導される、 g (0) = 0 である 連続関数 g の空間上の 確率法則 です 。ウィーナー測度に基づく 積分は、 ウィーナー積分 と呼ばれることがあります 。 α − 1 W α 2 t {\displaystyle \alpha ^{-1}W_{\alpha ^{2}t}}
ランダムウォークの極限としてのウィーナー過程 を平均0、分散1の iid 確率変数とする。 各 n に対して、連続時間確率過程を定義する 。これはランダムステップ関数である。nの増分は 独立である。なぜなら、 n は独立だからである。nが大きい場合 、 中心極限定理により、 nはに 近づく。 ドンスカーの定理は 、nが ウィーナー過程に近づくにつれて、ブラウン運動の普遍性を説明できると 主張している。 [7] ξ 1 , ξ 2 , … {\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},\ldots } W n ( t ) = 1 n ∑ 1 ≤ k ≤ ⌊ n t ⌋ ξ k , t ∈ [ 0 , 1 ] . {\displaystyle W_{n}(t)={\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum \limits _{1\leq k\leq \lfloor nt\rfloor }\xi _{k},\qquad t\in [0,1].} W n {\displaystyle W_{n}} ξ k {\displaystyle \xi _{k}} W n ( t ) − W n ( s ) {\displaystyle W_{n}(t)-W_{n}(s)} N ( 0 , t − s ) {\displaystyle N(0,t-s)} n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } W n {\displaystyle W_{n}}
1次元ウィーナー過程の性質 5つのサンプルプロセス（灰色で期待標準偏差を表示）
基本的なプロパティ 無条件 確率密度関数は、 固定時刻 t において平均 = 0 、分散 = tの 正規分布 に従います 。 f W t ( x ) = 1 2 π t e − x 2 / ( 2 t ) . {\displaystyle f_{W_{t}}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi t}}}e^{-x^{2}/(2t)}.}
期待 値 はゼロです: E [ W t ] = 0. {\displaystyle \operatorname {E} [W_{t}]=0.}
計算式を使用した 分散 は t です。 Var ( W t ) = t . {\displaystyle \operatorname {Var} (W_{t})=t.}
これらの結果は、増分がゼロを中心とする正規分布 に従うという定義から直ちに導かれる 。したがって、 マルチンゲールの性質を証明するための有用な分解は ブラウン増分分解 とも呼ばれる。 W t = W t − W 0 ∼ N ( 0 , t ) . {\displaystyle W_{t}=W_{t}-W_{0}\sim N(0,t).} W t = W s + ( W t − W s ) , s ≤ t {\displaystyle W_{t}=W_{s}+(W_{t}-W_{s}),\;s\leq t}
共分散と相関 共 分散 と 相関 （ただし ）： s ≤ t {\displaystyle s\leq t} cov ( W s , W t ) = s , corr ( W s , W t ) = cov ( W s , W t ) σ W s σ W t = s s t = s t . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cov} (W_{s},W_{t})&=s,\\\operatorname {corr} (W_{s},W_{t})&={\frac {\operatorname {cov} (W_{s},W_{t})}{\sigma _{W_{s}}\sigma _{W_{t}}}}={\frac {s}{\sqrt {st}}}={\sqrt {\frac {s}{t}}}.\end{aligned}}}
これらの結果は、重複しない増分は独立であるという定義から導かれるものであり、その中では増分が相関していないという性質のみが用いられている。 と仮定する 。 t 1 ≤ t 2 {\displaystyle t_{1}\leq t_{2}} cov ( W t 1 , W t 2 ) = E [ ( W t 1 − E [ W t 1 ] ) ⋅ ( W t 2 − E [ W t 2 ] ) ] = E [ W t 1 ⋅ W t 2 ] . {\displaystyle \operatorname {cov} (W_{t_{1}},W_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[(W_{t_{1}}-\operatorname {E} [W_{t_{1}}])\cdot (W_{t_{2}}-\operatorname {E} [W_{t_{2}}])\right]=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot W_{t_{2}}\right].}
代入すると 次のようになります。 W t 2 = ( W t 2 − W t 1 ) + W t 1 {\displaystyle W_{t_{2}}=(W_{t_{2}}-W_{t_{1}})+W_{t_{1}}} E [ W t 1 ⋅ W t 2 ] = E [ W t 1 ⋅ ( ( W t 2 − W t 1 ) + W t 1 ) ] = E [ W t 1 ⋅ ( W t 2 − W t 1 ) ] + E [ W t 1 2 ] . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [W_{t_{1}}\cdot W_{t_{2}}]&=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot ((W_{t_{2}}-W_{t_{1}})+W_{t_{1}})\right]\\&=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot (W_{t_{2}}-W_{t_{1}})\right]+\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}^{2}\right].\end{aligned}}}
とは独立な ので 、 W t 1 = W t 1 − W t 0 {\displaystyle W_{t_{1}}=W_{t_{1}}-W_{t_{0}}} W t 2 − W t 1 {\displaystyle W_{t_{2}}-W_{t_{1}}} E [ W t 1 ⋅ ( W t 2 − W t 1 ) ] = E [ W t 1 ] ⋅ E [ W t 2 − W t 1 ] = 0. {\displaystyle \operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot (W_{t_{2}}-W_{t_{1}})\right]=\operatorname {E} [W_{t_{1}}]\cdot \operatorname {E} [W_{t_{2}}-W_{t_{1}}]=0.}
したがって cov ( W t 1 , W t 2 ) = E [ W t 1 2 ] = t 1 . {\displaystyle \operatorname {cov} (W_{t_{1}},W_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}^{2}\right]=t_{1}.}
シミュレーションに役立つ帰結として、 t 1 < t 2 の場合、次のように書けます。 ここで、 Z は独立した標準正規変数です。 W t 2 = W t 1 + t 2 − t 1 ⋅ Z {\displaystyle W_{t_{2}}=W_{t_{1}}+{\sqrt {t_{2}-t_{1}}}\cdot Z}
ウィーナー表現 Wiener (1923) は、ブラウン運動経路をランダムフーリエ 級数 で表現した 。 が平均0、分散1の独立ガウス変数である場合、 と は 上 のブラウン運動を表す 。スケールされた過程 は 上のブラウン運動である （ カルーネン・レーヴの定理 を 参照）。 ξ n {\displaystyle \xi _{n}} W t = ξ 0 t + 2 ∑ n = 1 ∞ ξ n sin π n t π n {\displaystyle W_{t}=\xi _{0}t+{\sqrt {2}}\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}{\frac {\sin \pi nt}{\pi n}}} W t = 2 ∑ n = 1 ∞ ξ n sin ( ( n − 1 2 ) π t ) ( n − 1 2 ) π {\displaystyle W_{t}={\sqrt {2}}\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}{\frac {\sin \left(\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\pi t\right)}{\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\pi }}} [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} c W ( t c ) {\displaystyle {\sqrt {c}}\,W\left({\frac {t}{c}}\right)} [ 0 , c ] {\displaystyle [0,c]}
ランニング最大値 移動最大値 と W t の結合分布は M t = max 0 ≤ s ≤ t W s {\displaystyle M_{t}=\max _{0\leq s\leq t}W_{s}} f M t , W t ( m , w ) = 2 ( 2 m − w ) t 2 π t e − ( 2 m − w ) 2 2 t , m ≥ 0 , w ≤ m . {\displaystyle f_{M_{t},W_{t}}(m,w)={\frac {2(2m-w)}{t{\sqrt {2\pi t}}}}e^{-{\frac {(2m-w)^{2}}{2t}}},\qquad m\geq 0,w\leq m.}
の無条件分布を得るには、 −∞ < w ≤ m にわたって積分します 。 f M t {\displaystyle f_{M_{t}}} f M t ( m ) = ∫ − ∞ m f M t , W t ( m , w ) d w = ∫ − ∞ m 2 ( 2 m − w ) t 2 π t e − ( 2 m − w ) 2 2 t d w = 2 π t e − m 2 2 t , m ≥ 0 , {\displaystyle {\begin{aligned}f_{M_{t}}(m)&=\int _{-\infty }^{m}f_{M_{t},W_{t}}(m,w)\,dw=\int _{-\infty }^{m}{\frac {2(2m-w)}{t{\sqrt {2\pi t}}}}e^{-{\frac {(2m-w)^{2}}{2t}}}\,dw\\[5pt]&={\sqrt {\frac {2}{\pi t}}}e^{-{\frac {m^{2}}{2t}}},\qquad m\geq 0,\end{aligned}}}
半正規分布 の確率密度関数 。期待値 [8] は E [ M t ] = ∫ 0 ∞ m f M t ( m ) d m = ∫ 0 ∞ m 2 π t e − m 2 2 t d m = 2 t π {\displaystyle \operatorname {E} [M_{t}]=\int _{0}^{\infty }mf_{M_{t}}(m)\,dm=\int _{0}^{\infty }m{\sqrt {\frac {2}{\pi t}}}e^{-{\frac {m^{2}}{2t}}}\,dm={\sqrt {\frac {2t}{\pi }}}}
時刻 において ウィーナー過程が既知の値 を持つ場合 、区間 における最大値の条件付き確率分布を計算することができます （ ウィーナー確率過程の極値点の確率分布を 参照）。 既知の値 によって 条件付けられた 最大値の 累積確率分布関数は 、以下の通りです。 t {\displaystyle t} W t {\displaystyle W_{t}} [ 0 , t ] {\displaystyle [0,t]} W t {\displaystyle W_{t}} F M W t ( m ) = Pr ( M W t = max 0 ≤ s ≤ t W ( s ) ≤ m ∣ W ( t ) = W t ) = 1 − e − 2 m ( m − W t ) t , m > max ( 0 , W t ) {\displaystyle \,F_{M_{W_{t}}}(m)=\Pr \left(M_{W_{t}}=\max _{0\leq s\leq t}W(s)\leq m\mid W(t)=W_{t}\right)=\ 1-\ e^{-2{\frac {m(m-W_{t})}{t}}}\ \,,\,\ \ m>\max(0,W_{t})}
自己相似性 ブラウン運動のスケーリングのデモンストレーション。c の減少を示しています 。 関数 の平均的な特徴はズームインしても変化しないこと、また、水平方向のズームインは垂直方向の2乗倍の速さで行われることに注目してください。 V t = ( 1 / c ) W c t {\displaystyle V_{t}=(1/{\sqrt {c}})W_{ct}}
ブラウン運動のスケーリング すべてのc > 0 に対して、 プロセス は別のウィーナープロセスです。 V t = ( 1 / c ) W c t {\displaystyle V_{t}=(1/{\sqrt {c}})W_{ct}}
時間の逆転 0 ≤ t ≤ 1 の プロセスは、 0 ≤ t ≤ 1 の W t のように分布します 。 V t = W 1 − t − W 1 {\displaystyle V_{t}=W_{1-t}-W_{1}}
時間反転 このプロセス は別のウィーナー過程です。 V t = t W 1 / t {\displaystyle V_{t}=tW_{1/t}}
射影不変性 ウィーナー過程 ,を考える。これ は（ほぼ確実に成り立つ）そして通常通り となるよう に条件付けられる 。すると、以下はすべてウィーナー過程となる（竹中 1988）。 したがって、ウィーナー過程は射影群 PSL(2,R) のもとで不変であり、群の生成元のもとで不変である。元の作用は であり
、これは 群作用 を定義する 。これは、 W ( t ) {\displaystyle W(t)} t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} } lim t → ± ∞ t W ( t ) = 0 {\displaystyle \lim _{t\to \pm \infty }tW(t)=0} W ( 0 ) = 0 {\displaystyle W(0)=0} W 1 , s ( t ) = W ( t + s ) − W ( s ) , s ∈ R W 2 , σ ( t ) = σ − 1 / 2 W ( σ t ) , σ > 0 W 3 ( t ) = t W ( − 1 / t ) . {\displaystyle {\begin{array}{rcl}W_{1,s}(t)&=&W(t+s)-W(s),\quad s\in \mathbb {R} \\W_{2,\sigma }(t)&=&\sigma ^{-1/2}W(\sigma t),\quad \sigma >0\\W_{3}(t)&=&tW(-1/t).\end{array}}} g = [ a b c d ] {\displaystyle g={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}} W g ( t ) = ( c t + d ) W ( a t + b c t + d ) − c t W ( a c ) − d W ( b d ) , {\displaystyle W_{g}(t)=(ct+d)W\left({\frac {at+b}{ct+d}}\right)-ctW\left({\frac {a}{c}}\right)-dW\left({\frac {b}{d}}\right),} ( W g ) h = W g h . {\displaystyle (W_{g})_{h}=W_{gh}.}
を2次元ウィーナー過程とし、 を満たす複素数値過程とみなす 。 を 0を含む開集合とし、 を マルコフ時間に対応付ける： が定数でない 正則 関数 で を満たす
場合 、 は における時間変化ウィーナー過程である （Lawler 2005）。より正確には、 は におけるウィーナー過程であり、 マルコフ時間 で W ( t ) {\displaystyle W(t)} W ( 0 ) = 0 ∈ C {\displaystyle W(0)=0\in \mathbb {C} } D ⊂ C {\displaystyle D\subset \mathbb {C} } τ D {\displaystyle \tau _{D}} τ D = inf { t ≥ 0 | W ( t ) ∉ D } . {\displaystyle \tau _{D}=\inf\{t\geq 0|W(t)\not \in D\}.} f : D → C {\displaystyle f:D\to \mathbb {C} } f ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(0)=0} f ( W t ) {\displaystyle f(W_{t})} f ( D ) {\displaystyle f(D)} Y ( t ) {\displaystyle Y(t)} D {\displaystyle D} S ( t ) {\displaystyle S(t)} Y ( t ) = f ( W ( σ ( t ) ) ) {\displaystyle Y(t)=f(W(\sigma (t)))} S ( t ) = ∫ 0 t | f ′ ( W ( s ) ) | 2 d s {\displaystyle S(t)=\int _{0}^{t}|f'(W(s))|^{2}\,ds} σ ( t ) = S − 1 ( t ) : t = ∫ 0 σ ( t ) | f ′ ( W ( s ) ) | 2 d s . {\displaystyle \sigma (t)=S^{-1}(t):\quad t=\int _{0}^{\sigma (t)}|f'(W(s))|^{2}\,ds.}
ブラウンマーチンゲールの一種 多項式 p ( x , t )が 偏微分方程式 を満たす 場合 、確率過程は マルチンゲール です 。 ( ∂ ∂ t + 1 2 ∂ 2 ∂ x 2 ) p ( x , t ) = 0 {\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)p(x,t)=0} M t = p ( W t , t ) {\displaystyle M_{t}=p(W_{t},t)}
例： はマルチンゲールであり、 W の [0, t ] における 二次関数の変化は t に等しいことを示しています 。したがって、 W が (− c , c )から 最初に退出する期待時間は c 2 に等しいことがわかります 。 W t 2 − t {\displaystyle W_{t}^{2}-t}
より一般的には、任意の多項式 p ( x , t ) に対して、次の確率過程はマルチンゲールである。 ここで a は多項式である。 M t = p ( W t , t ) − ∫ 0 t a ( W s , s ) d s , {\displaystyle M_{t}=p(W_{t},t)-\int _{0}^{t}a(W_{s},s)\,\mathrm {d} s,} a ( x , t ) = ( ∂ ∂ t + 1 2 ∂ 2 ∂ x 2 ) p ( x , t ) . {\displaystyle a(x,t)=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)p(x,t).}
例: このプロセス
はマルチンゲールであり、 [0, t ]
における マルチンゲールの2次変化は p ( x , t ) = ( x 2 − t ) 2 , {\displaystyle p(x,t)=\left(x^{2}-t\right)^{2},} a ( x , t ) = 4 x 2 ; {\displaystyle a(x,t)=4x^{2};} ( W t 2 − t ) 2 − 4 ∫ 0 t W s 2 d s {\displaystyle \left(W_{t}^{2}-t\right)^{2}-4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s} W t 2 − t {\displaystyle W_{t}^{2}-t} 4 ∫ 0 t W s 2 d s . {\displaystyle 4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s.}
多項式よりも一般的な 関数 p ( xa , t )については、 ローカル マルチンゲール を参照してください。
サンプルパスのいくつかの特性 これらの性質を持つすべての関数w の集合は 、完全なウィーナー測度を持つ。つまり、ウィーナー過程のパス（サンプル関数）は、ほぼ確実にこれらの性質をすべて持つ。
質的特性 すべてのε > 0に対して、関数 wは （0,ε）において（厳密に）正の値と（厳密に）負の値の両方を取ります。 関数 w はどこでも連続ですが、どこでも微分可能ではありません ( ワイエルシュトラス関数 と同様)。 任意の に対して 、 はほぼ確実に - ヘルダー連続で はなく、 はほぼ確実に - ヘルダー連続である。 [9] ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} w ( t ) {\displaystyle w(t)} ( 1 2 + ϵ ) {\displaystyle ({\tfrac {1}{2}}+\epsilon )} ( 1 2 − ϵ ) {\displaystyle ({\tfrac {1}{2}}-\epsilon )} 関数 wの 極大値 の点は 、密な可算集合です。最大値は 1 対 1 で異なります。各極大値は、次の意味で鋭くなります。w が t で極大値を持つ場合、極小値について も 同様です。 lim s → t | w ( s ) − w ( t ) | | s − t | → ∞ . {\displaystyle \lim _{s\to t}{\frac {|w(s)-w(t)|}{|s-t|}}\to \infty .} 関数 w に は局所的に増加する点がありません。つまり、 t > 0 は (0, t )内のいくつかの ε に対して以下を満たしません 。第 1 に、 ( t − ε, t ) 内のすべての s に対して w ( s ) ≤ w ( t ) が満たされ、第 2 に、 ( t 、 t + ε )内の すべての sに対して w ( s ) ≥ w ( t ) が満たされます。(局所的増加は、 w が ( t − ε 、 t + ε ) で増加しているという条件よりも弱い条件です 。) 局所的減少についても同様です。 関数 w は あらゆる区間で 無制限に変化します。 w の[0, t ]上 の 2 次変化は t です。 関数 wの 零点 は、ルベーグ測度 0 と ハウスドルフ次元 1/2 (したがって、無数)の どこにも稠密でない 完全集合 です。
定量的特性 lim sup t → + ∞ | w ( t ) | 2 t log log t = 1 , almost surely . {\displaystyle \limsup _{t\to +\infty }{\frac {|w(t)|}{\sqrt {2t\log \log t}}}=1,\quad {\text{almost surely}}.}
局所連続係数: lim sup ε → 0 + | w ( ε ) | 2 ε log log ( 1 / ε ) = 1 , almost surely . {\displaystyle \limsup _{\varepsilon \to 0+}{\frac {|w(\varepsilon )|}{\sqrt {2\varepsilon \log \log(1/\varepsilon )}}}=1,\qquad {\text{almost surely}}.}
全体連続係数 （レヴィ）: lim sup ε → 0 + sup 0 ≤ s < t ≤ 1 , t − s ≤ ε | w ( s ) − w ( t ) | 2 ε log ( 1 / ε ) = 1 , almost surely . {\displaystyle \limsup _{\varepsilon \to 0+}\sup _{0\leq s<t\leq 1,t-s\leq \varepsilon }{\frac {|w(s)-w(t)|}{\sqrt {2\varepsilon \log(1/\varepsilon )}}}=1,\qquad {\text{almost surely}}.}
次元倍増定理によれば、 ブラウン運動による集合の ハウスドルフ次元はほぼ確実に倍増します。
現地時間 マップ w の下の [0, t ] 上の ルベーグ測度 の像 ( プッシュフォワード測度 ) は、密度 L t を持ちます。したがって、
関数 f の広いクラス (つまり、すべての連続関数、すべての局所積分関数、すべての非負測定可能関数) に対して、密度 L t は連続です (より正確には、連続するように選択することができ、選択されるでしょう)。数 L t ( x ) は、 [0, t ] 上の w の x での 局所時間 と呼ばれます 。これは、 区間 ( a 、 b )のすべての xに対して厳密に正です。ここで、 a と b は、それぞれ[0, t ] 上の w の最小値と最大値です (この区間外の x では、局所時間は明らかにゼロになります)。2 つの変数 x と tの関数として扱われる場合、局所時間は連続のままです。 t の関数として扱われる 場合 ( x は固定)、局所時間は、 w の零点の集合上の 非原子 測度に対応する 特異関数 です。 ∫ 0 t f ( w ( s ) ) d s = ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) L t ( x ) d x {\displaystyle \int _{0}^{t}f(w(s))\,\mathrm {d} s=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)L_{t}(x)\,\mathrm {d} x}
これらの連続性の性質は、かなり自明ではありません。滑らかな関数に対して、局所時間（プッシュフォワード測度の密度として）も定義できることを考えてみます。しかし、与えられた関数が単調でない限り、密度は不連続になります。言い換えれば、関数の良好な挙動とその局所時間の良好な挙動の間には矛盾が生じます。この意味で、ウィーナー過程の局所時間の連続性は、軌跡の非滑らかさのもう一つの現れと言えるでしょう。
二乗誤差距離に関するウィーナー過程の情報レート、すなわちその二次 レート 歪み 関数 は 、次のように与えられる。 [10]したがって、 ビット 未満の バイナリコード を使用して エンコードし 、 未満の期待平均二乗誤差でそれを復元することは不可能である 。一方、任意の に対して、 が 十分に大きく、 を超える異なる要素を持たない バイナリコード が存在し、このコードからの 復元で 期待される平均 二乗誤差は 最大でも である 。 R ( D ) = 2 π 2 D ln 2 ≈ 0.29 D − 1 . {\displaystyle R(D)={\frac {2}{\pi ^{2}D\ln 2}}\approx 0.29D^{-1}.} { w t } t ∈ [ 0 , T ] {\displaystyle \{w_{t}\}_{t\in [0,T]}} T R ( D ) {\displaystyle TR(D)} D {\displaystyle D} ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} T {\displaystyle T} 2 T R ( D ) {\displaystyle 2^{TR(D)}} { w t } t ∈ [ 0 , T ] {\displaystyle \{w_{t}\}_{t\in [0,T]}} D − ε {\displaystyle D-\varepsilon }
多くの場合、ウィーナー過程を事前に サンプリングせずに 符号化する ことは不可能です 。ウィーナー過程を一定間隔でサンプリングし、 その後バイナリコードを適用してこれらのサンプルを表現する場合、 符号化率 と期待 平均二乗誤差 （連続時間ウィーナー過程の推定において）の間の最適なトレードオフは、パラメトリック表現 [11] に従います。
ここで 、およびです 。特に、は サンプリング操作（符号化なし）のみに関連する平均二乗誤差です。 T s {\displaystyle T_{s}} R ( T s , D ) {\displaystyle R(T_{s},D)} D {\displaystyle D} R ( T s , D θ ) = T s 2 ∫ 0 1 log 2 + [ S ( φ ) − 1 6 θ ] d φ , {\displaystyle R(T_{s},D_{\theta })={\frac {T_{s}}{2}}\int _{0}^{1}\log _{2}^{+}\left[{\frac {S(\varphi )-{\frac {1}{6}}}{\theta }}\right]d\varphi ,} D θ = T s 6 + T s ∫ 0 1 min { S ( φ ) − 1 6 , θ } d φ , {\displaystyle D_{\theta }={\frac {T_{s}}{6}}+T_{s}\int _{0}^{1}\min \left\{S(\varphi )-{\frac {1}{6}},\theta \right\}d\varphi ,} S ( φ ) = ( 2 sin ( π φ / 2 ) ) − 2 {\displaystyle S(\varphi )=(2\sin(\pi \varphi /2))^{-2}} log + [ x ] = max { 0 , log ( x ) } {\displaystyle \log ^{+}[x]=\max\{0,\log(x)\}} T s / 6 {\displaystyle T_{s}/6}
ドリフトのあるウィーナー過程（ 青 ）とドリフトのないウィーナー過程（ 赤 ） ドリフトあり（青 ）とドリフトなし（ 赤 ） の2Dウィーナー過程 リーマン多様体 上のブラウン運動の 生成 元は、 ラプラス・ベルトラミ作用素の 1 ⁄ 2 倍 です 。上の図は、2次元球面上のブラウン運動を示しています。 によって定義される確率過程は
、 ドリフト μ と微小分散 σ 2 を持つウィーナー過程
と呼ばれる 。これらの過程は連続 レヴィ過程 を網羅しており、これはレヴィ・ヒンチン表現の帰結として、これらが唯一の連続レヴィ過程であることを意味する。 X t = μ t + σ W t {\displaystyle X_{t}=\mu t+\sigma W_{t}}
大まかに言えば、ウィーナー過程が[0, 1]の両端でゼロになるように条件付けすると、時間間隔[0, 1]における2つのランダム過程が出現する。これ以上の条件付けがなければ、この過程は[0, 1]において正と負の両方の値を取り、 ブラウン橋と呼ばれる。また、(0, 1)において正の値を保つように条件付けされると、この過程は ブラウン 逸脱と呼ばれる 。 [12]どちらの場合も、厳密な処理には極限手順が必要となる。なぜなら、 P ( A | B ) = P ( A ∩ B )/ P ( B )という式は、 P ( B ) = 0 の場合には適用されないからである。
幾何 ブラウン運動は 次のように書ける。 e μ t − σ 2 t 2 + σ W t . {\displaystyle e^{\mu t-{\frac {\sigma ^{2}t}{2}}+\sigma W_{t}}.}
これは、株価など、決して負の値を取ることのないプロセスをモデル化するために使用される確率過程です。
確率過程は
、 パラメータ 、 およびを持つ オルンシュタイン・ウーレンベック過程 のように分布します 。 X t = e − t W e 2 t {\displaystyle X_{t}=e^{-t}W_{e^{2t}}} θ = 1 {\displaystyle \theta =1} μ = 0 {\displaystyle \mu =0} σ 2 = 2 {\displaystyle \sigma ^{2}=2}
ウィーナー過程が 単一点 x > 0 に 到達する時間は 、 レヴィ分布 に従う確率変数である。これらの確率変数の族（すべての正数 x で添え字付けされる）は、 レヴィ過程 の 左連続 修正である。この過程の 右連続 修正は 、閉区間 [0, x ] から 最初に脱出する 時間で与えられる 。
ブラウン運動の局所 時間 L = ( L x t ) x ∈ R , t ≥ 0 は、過程が点 x で過ごす時間を記述する。正式には、 δ は ディラックのデルタ関数 である。局所時間の振る舞いは、 レイ＝ナイト定理 によって特徴付けられる 。 L x ( t ) = ∫ 0 t δ ( x − B t ) d s {\displaystyle L^{x}(t)=\int _{0}^{t}\delta (x-B_{t})\,ds}
ブラウン運動マルチンゲール A を ウィーナー過程（より正式には、関数空間におけるウィーナー測度に関して測定可能な集合）に関連する事象とし、 X t を 時間間隔 [0, t ] におけるウィーナー過程が与えられた場合の A の条件付き確率（より正式には、[0, t ] における与えられた部分軌道との連結が A に属する 軌道集合のウィーナー測度 ）とする。すると、過程 X t は連続マルチンゲールとなる。そのマルチンゲール性は定義から直接導かれるが、その連続性は非常に特殊な事実であり、すべてのブラウンマルチンゲールは連続であるという一般定理の特殊なケースである。ブラウンマルチンゲールとは、定義により、ブラウン濾過に適応した マルチンゲール であり、ブラウン濾過とは、定義により、 ウィーナー過程によって生成される 濾過 である。また、とも マルチンゲールである。 [13] B t 2 − t {\displaystyle B_{t}^{2}-t} e θ B t − θ 2 2 t {\displaystyle e^{\theta B_{t}-{\tfrac {\theta ^{2}}{2}}t}}
積分ブラウン運動 ウィーナー過程の時間積分は
、 積分ブラウン運動 または 積分ウィーナー過程 と呼ばれる 。これは多くの応用で現れ、分布 N (0, t 3 /3)に従うことが示されており、 [14] ウィーナー過程の共分散が であるという事実を用いて計算される 。 [15] W ( − 1 ) ( t ) := ∫ 0 t W ( s ) d s {\displaystyle W^{(-1)}(t):=\int _{0}^{t}W(s)\,ds} t ∧ s = min ( t , s ) {\displaystyle t\wedge s=\min(t,s)}
によって定義される過程の一般的なケースでは 、 に対して 、 実際には は常に平均ゼロの正規確率変数です。これにより、 を取ることで 与えられたのシミュレーションが可能になります。 ここで、 Z は標準正規変数であり、 の場合は に対応します。これらすべての結果は 、イトー等長性 の直接的な帰結と見ることができます 。 n 回積分されたウィーナー過程は、分散 を持つ平均ゼロの正規変数です。これは 、繰り返し積分 のコーシーの公式 によって与えられます 。 V f ( t ) = ∫ 0 t f ′ ( s ) W ( s ) d s = ∫ 0 t ( f ( t ) − f ( s ) ) d W s {\displaystyle V_{f}(t)=\int _{0}^{t}f'(s)W(s)\,ds=\int _{0}^{t}(f(t)-f(s))\,dW_{s}} a > 0 {\displaystyle a>0} Var ( V f ( t ) ) = ∫ 0 t ( f ( t ) − f ( s ) ) 2 d s {\displaystyle \operatorname {Var} (V_{f}(t))=\int _{0}^{t}(f(t)-f(s))^{2}\,ds} cov ( V f ( t + a ) , V f ( t ) ) = ∫ 0 t ( f ( t + a ) − f ( s ) ) ( f ( t ) − f ( s ) ) d s {\displaystyle \operatorname {cov} (V_{f}(t+a),V_{f}(t))=\int _{0}^{t}(f(t+a)-f(s))(f(t)-f(s))\,ds} V f ( t ) {\displaystyle V_{f}(t)} V f ( t + a ) {\displaystyle V_{f}(t+a)} V f ( t ) {\displaystyle V_{f}(t)} V f ( t + a ) = A ⋅ V f ( t ) + B ⋅ Z {\displaystyle V_{f}(t+a)=A\cdot V_{f}(t)+B\cdot Z} A = cov ( V f ( t + a ) , V f ( t ) ) Var ( V f ( t ) ) {\displaystyle A={\frac {\operatorname {cov} (V_{f}(t+a),V_{f}(t))}{\operatorname {Var} (V_{f}(t))}}} B 2 = Var ( V f ( t + a ) ) − A 2 Var ( V f ( t ) ) {\displaystyle B^{2}=\operatorname {Var} (V_{f}(t+a))-A^{2}\operatorname {Var} (V_{f}(t))} V f ( t ) = W ( − 1 ) ( t ) {\displaystyle V_{f}(t)=W^{(-1)}(t)} f ( t ) = t {\displaystyle f(t)=t} t 2 n + 1 ( t n n ! ) 2 {\displaystyle {\frac {t}{2n+1}}\left({\frac {t^{n}}{n!}}\right)^{2}}
時間の変更 すべての連続マルチンゲール（原点から始まる）は、時間を変えたウィーナー過程です。
例: 2 W t = V (4 t )。ここで、 V は別のウィーナー過程 ( Wとは異なりますが、 W のように分布します ) です。
例。 ここで 、 V は別のウィーナー過程です。 W t 2 − t = V A ( t ) {\displaystyle W_{t}^{2}-t=V_{A(t)}} A ( t ) = 4 ∫ 0 t W s 2 d s {\displaystyle A(t)=4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s}
一般に、 M が連続マルチンゲールの場合、 A ( t )は [0, t ]における M の 2次変化 であり 、 V はウィーナー過程です。 M t − M 0 = V A ( t ) {\displaystyle M_{t}-M_{0}=V_{A(t)}}
系。 （ ドゥーブのマルチンゲール収束定理 も参照 ） M t を連続マルチンゲールとし、 M ∞ − = lim inf t → ∞ M t , {\displaystyle M_{\infty }^{-}=\liminf _{t\to \infty }M_{t},} M ∞ + = lim sup t → ∞ M t . {\displaystyle M_{\infty }^{+}=\limsup _{t\to \infty }M_{t}.}
その場合、次の 2 つのケースのみが可能です。 その他のケース (など ) は確率 0 です。 − ∞ < M ∞ − = M ∞ + < + ∞ , {\displaystyle -\infty <M_{\infty }^{-}=M_{\infty }^{+}<+\infty ,} − ∞ = M ∞ − < M ∞ + = + ∞ ; {\displaystyle -\infty =M_{\infty }^{-}<M_{\infty }^{+}=+\infty ;} M ∞ − = M ∞ + = + ∞ , {\displaystyle M_{\infty }^{-}=M_{\infty }^{+}=+\infty ,} M ∞ − < M ∞ + < + ∞ {\displaystyle M_{\infty }^{-}<M_{\infty }^{+}<+\infty }
特に、非負連続マルチンゲールはほぼ確実に有限の限界（ t → ∞）を持ちます。
このサブセクションで述べたマルチンゲールに関するすべてのことは、 ローカルマルチンゲール にも当てはまります。
措置の変更 連続セミマルチンゲール の広いクラス （特に 拡散過程の）は、時間の変化と 測度の変化の 組み合わせを介してウィーナー過程と関連しています 。
この事実を利用すると、ウィーナー過程について上で述べた質的性質を、連続セミマルチンゲールの広いクラスに一般化することができる。 [16] [17]
複素ウィーナー過程 複素ウィーナー過程は、 と がそれぞれ 独立した 実数ウィーナー過程である、 という形の複素数値ランダム過程として定義される 。言い換えれば、これは と同一視される2次元ウィーナー過程である 。 [18] Z t = X t + i Y t {\displaystyle Z_{t}=X_{t}+iY_{t}} X t {\displaystyle X_{t}} Y t {\displaystyle Y_{t}} R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} C {\displaystyle \mathbb {C} }
自己相似性 ブラウン運動のスケーリング、時間反転、時間反転: 実数値の場合と同じです。
回転不変性: すべての複素数に対して、 その プロセス は別の複素数値ウィーナープロセスとなります。 c {\displaystyle c} | c | = 1 {\displaystyle |c|=1} c ⋅ Z t {\displaystyle c\cdot Z_{t}}
時間の変更 が完全関数 である 場合 、プロセスは 時間によって変化する複素数値ウィーナー過程です。 f {\displaystyle f} f ( Z t ) − f ( 0 ) {\displaystyle f(Z_{t})-f(0)}
例: ここで 、 は別の複素数値ウィーナー過程です。 Z t 2 = ( X t 2 − Y t 2 ) + 2 X t Y t i = U A ( t ) {\displaystyle Z_{t}^{2}=\left(X_{t}^{2}-Y_{t}^{2}\right)+2X_{t}Y_{t}i=U_{A(t)}} A ( t ) = 4 ∫ 0 t | Z s | 2 d s {\displaystyle A(t)=4\int _{0}^{t}|Z_{s}|^{2}\,\mathrm {d} s} U {\displaystyle U}
実数値の場合とは対照的に、複素数値マルチンゲールは一般に時間変化複素数値ウィーナー過程ではない。例えば、マルチンゲールは そうではない（ここでも 、 と は前述の通り独立したウィーナー過程である）。 2 X t + i Y t {\displaystyle 2X_{t}+iY_{t}} X t {\displaystyle X_{t}} Y t {\displaystyle Y_{t}}
ブラウン運動シート ブラウンシートは多次元的なパラメータを持つ一般化です。定義は著者によって異なり、ブラウンシートを2次元の時間パラメータのみを持つものとして定義する人もいれば、 一般的な次元について定義する人もいます。 t {\displaystyle t}
参照
注記 ^ ドブロウ、ロバート (2016). 確率過程入門 R. ワイリー著. pp. 321– 322. Bibcode :2016ispr.book.....D. doi :10.1002/9781118740712. ISBN 9781118740651 。 ^ N.ウィーナー著作集第1巻 ^ シュリーブとカラツァス ^ ダレット、リック （2019年）「ブラウン運動」 『確率論：理論と例』 （第5版）ケンブリッジ大学出版局 。ISBN 9781108591034 。 ^ Huang, Steel T.; Cambanis, Stamatis (1978). 「ガウス過程の確率的および多重ウィーナー積分」. The Annals of Probability . 6 (4): 585– 614. doi : 10.1214/aop/1176995480 . ISSN 0091-1798. JSTOR 2243125. ^ “Pólya のランダム ウォーク定数”. Wolfram マスワールド 。 ^ スティーブン・ラリー、数理ファイナンス345講義5：ブラウン運動（2001） ^ シュリーブ、スティーブン・E（2008年） 『ファイナンスのための確率微積分II：連続時間モデル 』シュプリンガー、114頁 。ISBN 978-0-387-40101-0 。 ^ モーテルス、ピーター、ペレス、ユヴァル、シュラム、オデッド、ヴェルナー、ウェンデリン (2010). ブラウン運動 . 統計・確率数学のケンブリッジシリーズ. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. p. 18. ISBN 978-0-521-76018-8 。 ^ T. Berger, 「ウィーナー過程の情報速度」, IEEE Transactions on Information Theory, vol. 16, no. 2, pp. 134-139, 1970年3月. doi: 10.1109/TIT.1970.1054423 ^ Kipnis, A., Goldsmith, AJ and Eldar, YC, 2019.「サンプルされたウィーナー過程の歪み率関数」IEEE Transactions on Information Theory, 65(1), pp.482-499. ^ Vervaat, W. (1979). 「ブラウン橋とブラウン逸脱の関係」 Annals of Probability . 7 (1): 143– 149. doi : 10.1214/aop/1176995155 . JSTOR 2242845. ^ Jean-François Le Gall、 ブラウン運動、マーチンゲール、および確率微積分 、Springer、2016、p. 50. ^ 「インタビュー質問 VII：積分ブラウン運動 – Quantopia」 www.quantopia.net . 2017年5月14日 閲覧 。 ^ フォーラム、「統合ウィーナー過程の分散」、 2009年、 Wayback Machine で2013年12月2日にアーカイブ。 ^ Revuz、D.、および Yor、M. (1999)。連続マーチンゲールとブラウン運動 (Vol. 293)。スプリンガー。 ^ Doob, JL (1953). 確率過程（第101巻）. Wiley: ニューヨーク. ^ Navarro-moreno, J.; Estudillo-martinez, MD; Fernandez-alcala, RM; Ruiz-molina, JC (2009)「ヒルベルト空間理論を用いた色ノイズ中の不適正な複素値ランダム信号の推定」 IEEE Transactions on Information Theory , 55 (6): 2859– 2867, doi :10.1109/TIT.2009.2018329, S2CID 5911584
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外部リンク 学校に通う子供のブラウン運動 ブラウン運動、「多様で波打つ」 ブラウンのオリジナルの観察の歴史、植物学、物理学についてビデオで解説します 「インタラクティブウェブアプリケーション：定量金融における確率過程」。2015年9月20日時点のオリジナルよりアーカイブ 。 2015年7月3日 閲覧。
![{\displaystyle W_{n}(t)={\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum \limits _{1\leq k\leq \lfloor nt\rfloor }\xi _{k},\qquad t\in [0,1].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a49926942f2c9324a53f3e3eb4a12af68f115f9)
![{\displaystyle \operatorname {E} [W_{t}]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1539950247898790ac61296983cb68663c12a108)
![{\displaystyle \operatorname {cov} (W_{t_{1}},W_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[(W_{t_{1}}-\operatorname {E} [W_{t_{1}}])\cdot (W_{t_{2}}-\operatorname {E} [W_{t_{2}}])\right]=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot W_{t_{2}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbb2a5668da12af0e735a0c8dce59ec570bbb30d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [W_{t_{1}}\cdot W_{t_{2}}]&=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot ((W_{t_{2}}-W_{t_{1}})+W_{t_{1}})\right]\\&=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot (W_{t_{2}}-W_{t_{1}})\right]+\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}^{2}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fbe8fb9bb18a4ec1a9af1844c268d825436ad22)
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![{\displaystyle {\begin{aligned}f_{M_{t}}(m)&=\int _{-\infty }^{m}f_{M_{t},W_{t}}(m,w)\,dw=\int _{-\infty }^{m}{\frac {2(2m-w)}{t{\sqrt {2\pi t}}}}e^{-{\frac {(2m-w)^{2}}{2t}}}\,dw\\[5pt]&={\sqrt {\frac {2}{\pi t}}}e^{-{\frac {m^{2}}{2t}}},\qquad m\geq 0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d42004f8549cfe9a71ea5accf08301687cb5738)
![{\displaystyle \operatorname {E} [M_{t}]=\int _{0}^{\infty }mf_{M_{t}}(m)\,dm=\int _{0}^{\infty }m{\sqrt {\frac {2}{\pi t}}}e^{-{\frac {m^{2}}{2t}}}\,dm={\sqrt {\frac {2t}{\pi }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6bc0f61007dd872ee5fce91d4189001979a8528)
![{\displaystyle [0,t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37d2d2fa44908c699e2b7b7b9e92befc8283f264)
![{\displaystyle \{w_{t}\}_{t\in [0,T]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85dc529e02777c24b305fa7b86eae7404f577f40)
![{\displaystyle R(T_{s},D_{\theta })={\frac {T_{s}}{2}}\int _{0}^{1}\log _{2}^{+}\left[{\frac {S(\varphi )-{\frac {1}{6}}}{\theta }}\right]d\varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99e9c4323b4843ac44006c3cbbe68b58d44421e5)
![{\displaystyle \log^{+}[x]=\max\{0,\log(x)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaaf05f4f9ad99b4a87982db5165a3863c548263)
