ウィッティング多面体

ウィッティング多面体
シュレーフリ記号	3 {3} 3 {3} 3 {3} 3 3(24)3(24)3(24)3
コクセター図
細胞	240 3 {3} 3 {3} 3
顔	2160 3 {3} 3
エッジ	2160 3 {}
頂点	240
ペトリー多角形	30角形
ファン・オス多角形	90 3 {4} 3
シェパードグループ	L 4 = 3 [3] 3 [3] 3 [3] 3、次数 155,520
二重多面体	自己双対
プロパティ	通常

4次元複素幾何学において、ウィッティング多面体は、 ₃ {3} ₃ {3} ₃ {3} ₃と名付けられる正則複素多面体であり、コクセター図 _{240個の頂点、2160個}の辺、2160個_の面、240_個のセルを持ちます。自己双対です。_各頂点は27個の辺、72個の面、27個のセルに属し、ヘッセ多面体の 頂点図に対応します。

対称

3 [3] _{3 [ 3} ] ₃ [3] ₃または、注文番号155,520。^[1] 240部あります、各セルの順序は648です。^[2]

構造

構成マトリックスは次の通りである: ^[3] ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}240&27&72&27\\3&2160&8&8\\8&8&2160&3\\27&72&27&240\end{smallmatrix}}\right]}$

頂点、辺、面、セルの数は、行列の対角線上に示されています。これらは、群の位数を部分群の位数で割ることによって計算されます。ただし、特定の複素反射（下記Xで示す）は除かれます。k面の要素数は、対角線の下の行に示されています。頂点図形などの要素数は、対角線の上側の行に示されています。

L4​		k面	f k	f 0	f 1	f 2	f 3	k桁	注記
L3​		（）	f 0	240	27	72	27	3 {3} 3 {3} 3	L 4 / L 3 = 216*6!/27/4! = 240
L 2 L 1		3 { }	f 1	3	2160	8	8	3 {3} 3	L 4 /L 2 L 1 = 216*6!/4!/3 = 2160
		3 {3} 3	f 2	8	8	2160	3	3 { }
L3​		3 {3} 3 {3} 3	f 3	27	72	27	240	（）	L 4 / L 3 = 216*6!/27/4! = 240

座標

240 個の頂点には次の座標が与えられます。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$

(0、±ω μ、-±ω ν、±ω λ ) (-±ω μ、0、±ω ν、±ω λ ) (±ω μ、-±ω ν、0、±ω λ ) (-±ω λ、-±ω μ、-±ω ν、0)

(±iω λ √3, 0, 0, 0) (0, ±iω λ √3, 0, 0) (0, 0, ±iω λ √3, 0) (0, 0, 0, ±iω λ √3)

どこ。 ${\displaystyle \omega ={\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},\lambda ,\nu ,\mu =0,1,2}$

最後の6点は、その40個の直径の1つに六角形の穴を形成します。中心の₃ {3} ₃ {4} ₂を含む超平面は40個あります。72 個の頂点を持つ図形です。

ウィッティング構成

コクセターは、複素射影3次元空間におけるウィッティング配置であることから、アレクサンダー・ウィッティングにちなんでこれを名付けた。 ^[4]

${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}40&12&12\\2&240&2\\12&12&40\end{smallmatrix}}\right]}$または ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}40&9&12\\4&90&4\\12&9&40\end{smallmatrix}}\right]}$

ウィッティング配置は、85個の点、357本の直線、85個の平面からなる有限空間PG(3,2 ^{2 )に関連している。 [5]}

関連する実多面体

その240頂点は実8次元多面体4 ₂₁と共有され、2160本の3辺は、6480本の単純辺として描かれることもあり、4 _{21の6720辺よりわずかに少ない。この240本の差は、4 21の中心にある40本の六角形のうち、 3} {3} ₃ {3} ₃ {3} ₃に含まれない辺によるものである。^[6]

ウィッティング多面体のハニカム

通常のウィッティング多面体には、4次元ハニカムというさらに別の段階がある。ウィッティング多面体を面と頂点図形の両方として持つ。自己双対であり、その双対は自身と一致する。^[7]

このハニカムの超平面断面には3次元ハニカムが含まれる。。

ウィッティング多面体のハニカムは、8次元多面体5 ₂₁として実数表現される。。

fベクトルの要素数は1、80、270、80、1と比例している。^[8]ハニカムの構成行列は次のようになる。

L5​		k面	f k	f 0	f 1	f 2	f 3	f 4	k桁	注記
L4​		（）	f 0	北	240	2160	2160	240	3 {3} 3 {3} 3 {3} 3	L 5 / L 4 = N
L 3 L 1		3 { }	f 1	3	80N	27	72	27	3 {3} 3 {3} 3	L 5 /L 3 L 1 = 80 N
L 2 L 2		3 {3} 3	f 2	8	8	270N	8	8	3 {3} 3	L 5 /L 2 L 2 = 270 N
L 3 L 1		3 {3} 3 {3} 3	f 3	27	72	27	80N	3	3 {}	L 5 /L 3 L 1 = 80 N
L4​		3 {3} 3 {3} 3 {3} 3	f 4	240	2160	2160	240	北	（）	L 5 / L 4 = N

注記

1. コクセター正凸多面体、12.5 ウィッティング多面体
2. コクセター『複素正多面体』134ページ
3. コクセター『複素正多面体』p.132
4. Alexander Witting、Ueber Jacobi'sche Functionen k ^ter Ordnung Zweier Variabler、Mathematische Annalen 29 (1887)、157-70、特に p.169 を参照
5. コクセター『複素正多面体』p.133
6. コクセター『複素正多面体』134ページ
7. コクセター『複素正多面体』135ページ
8. コクセター正凸多面体、12.5 ウィッティング多面体

参考文献

• Coxeter, HSMおよび Moser, WOJ、「離散群の生成元と関係」（1965 年）、特に 67 ～ 80 ページ。
• Coxeter, HSM ; Regular Complex Polytopes、ケンブリッジ大学出版局、第2版 (1991年)。pp. 132–5, 143, 146, 152。
• コクセター, HSMとシェパード, GC; 複雑多面体のファミリーの肖像、レオナルド第25巻、第3/4号、（1992年）、pp 239–244 [1]

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