ラップされた指数分布

Probability distribution

ラップされた指数関数
確率密度関数 サポートは[0,2π]に選択される。
累積分布関数 サポートは[0,2π]に選択される。
パラメータ	${\displaystyle \lambda >0}$
サポート	${\displaystyle 0\leq \theta <2\pi }$
PDF	${\displaystyle {\frac {\lambda e^{-\lambda \theta }}{1-e^{-2\pi \lambda }}}}$
CDF	${\displaystyle {\frac {1-e^{-\lambda \theta }}{1-e^{-2\pi \lambda }}}}$
平均	${\displaystyle \arctan(1/\lambda )}$（円形）
分散	${\displaystyle 1-{\frac {\lambda }{\sqrt {1+\lambda ^{2}}}}}$（円形）
エントロピ	${\displaystyle 1+\ln \left({\frac {\beta -1}{\lambda }}\right)-{\frac {\beta }{\beta -1}}\ln(\beta )}$ここで（微分） ${\displaystyle \beta =e^{2\pi \lambda }}$
CF	${\displaystyle {\frac {1}{1-in/\lambda }}}$

確率論と方向統計学において、ラップ指数分布は、指数分布を単位円の周りに「ラップ」することによって得られるラップ確率分布です。

意味

ラップ指数分布の確率密度関数は^{[1]である。}

${\displaystyle f_{\text{WE}}(\theta ;\lambda )=\sum _{k=0}^{\infty }\lambda e^{-\lambda (\theta +2\pi k)}={\frac {\lambda e^{-\lambda \theta }}{1-e^{-2\pi \lambda }}},}$

ここで、はアンラップ分布の速度パラメータです。これは、速度パラメータλを持つ指数分布から観測値Xを範囲に制限することによって得られる切断分布と同一です。この分布は周期的ではないことに注意してください。 ${\displaystyle 0\leq \theta <2\pi }$ ${\displaystyle \lambda >0}$ ${\displaystyle 0\leq X<2\pi }$

特性関数

ラップされた指数関数の特性関数は、整数引数で評価された指数関数の特性関数です。

${\displaystyle \varphi _{n}(\lambda )={\frac {1}{1-in/\lambda }}}$

これは、すべての実数θとmに対して有効な循環変数z = e ^{i ( θ - m )}に関して、ラップされた指数PDFの別の表現を生成します。

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{\text{WE}}(z;\lambda )&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {z^{-n}}{1-in/\lambda }}\\[10pt]&={\begin{cases}{\frac {\lambda }{\pi }}\,{\textrm {Im}}(\Phi (z,1,-i\lambda ))-{\frac {1}{2\pi }}&{\text{if }}z\neq 1\\[12pt]{\frac {\lambda }{1-e^{-2\pi \lambda }}}&{\text{if }}z=1\end{cases}}\end{aligned}}}$

ここで、はLerch 超越関数です。 ${\displaystyle \Phi ()}$

円形の瞬間

円変数の観点から見ると、ラップされた指数分布の円モーメントは、整数引数で評価された指数分布の特性関数です。 ${\displaystyle z=e^{i\theta }}$

${\displaystyle \langle z^{n}\rangle =\int _{\Gamma }e^{in\theta }\,f_{\text{WE}}(\theta ;\lambda )\,d\theta ={\frac {1}{1-in/\lambda }},}$

ここで、 は長さ の区間です。第一モーメントはzの平均値であり、平均結果値または平均結果ベクトルとも呼ばれます。 ${\displaystyle \Gamma \,}$ ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle \langle z\rangle ={\frac {1}{1-i/\lambda }}.}$

平均角度は

${\displaystyle \langle \theta \rangle =\mathrm {Arg} \langle z\rangle =\arctan(1/\lambda ),}$

そして平均結果の長さは

${\displaystyle R=|\langle z\rangle |={\frac {\lambda }{\sqrt {1+\lambda ^{2}}}}.}$

そして分散は1 − Rとなります。

キャラクター設定

ラップ指数分布は、期待値の固定値の範囲に制限された分布の最大エントロピー確率分布である。^[1] ${\displaystyle 0\leq \theta <2\pi }$ ${\displaystyle \operatorname {E} (\theta )}$

参照

• ラップされた分布
• 方向統計

参考文献

1. Jammalamadaka, S. Rao; Kozubowski, Tomasz J. (2004). 「歪んだ循環データのモデリングのための新しいラップ分布族」(PDF) . Communications in Statistics - Theory and Methods . 33 (9): 2059– 2074. doi :10.1081/STA-200026570 . 2011年6月13日閲覧.

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