ラップされた正規分布

Probability distribution on the circle

ラップされた通常
確率密度関数 サポートは[-π,π]でμ=0となるように選択される。
累積分布関数 サポートは[-π,π]でμ=0となるように選択される。
パラメータ	${\displaystyle \mu }$本物 ${\displaystyle \sigma >0}$
サポート	${\displaystyle \theta \in }$長さ2πの任意の区間
PDF	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\vartheta \left({\frac {\theta -\mu }{2\pi }},{\frac {i\sigma ^{2}}{2\pi }}\right)}$
平均	${\displaystyle \mu }$サポートが間隔内にある場合 ${\displaystyle \mu \pm \pi }$
中央値	${\displaystyle \mu }$サポートが間隔内にある場合 ${\displaystyle \mu \pm \pi }$
モード	${\displaystyle \mu }$
分散	${\displaystyle 1-e^{-\sigma ^{2}/2}}$（円形）
エントロピ	（本文参照）
CF	${\displaystyle e^{-\sigma ^{2}n^{2}/2+in\mu }}$

確率論および方向統計において、包み込み正規分布（かぶせきまんぞう）とは、正規分布を単位円に「包み込む」ことで得られる包み込み確率分布である。ブラウン運動の理論に応用され、周期境界条件における熱方程式の解となる。フォン・ミーゼス分布は、その数学的単純さと扱いやすさから、方向統計において最も一般的に用いられる分布である。^[1]

意味

ラップ正規分布の確率密度関数は^{[2]である。}

${\displaystyle f_{\text{WN}}(\theta ;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp \left[{\frac {-(\theta -\mu +2\pi k)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right],}$

ここで、μとσはそれぞれアンラップ分布の平均と標準偏差である。上記の密度関数を正規分布の特性関数で表すと、次のようになる。 ^[2]

${\displaystyle f_{\text{WN}}(\theta ;\mu ,\sigma )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-\sigma ^{2}n^{2}/2+in(\theta -\mu )}={\frac {1}{2\pi }}\vartheta \left({\frac {\theta -\mu }{2\pi }},{\frac {i\sigma ^{2}}{2\pi }}\right),}$

ここでヤコビのシータ関数は、 ${\displaystyle \vartheta (\theta ,\tau )}$

${\displaystyle \vartheta (\theta ,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(w^{2})^{n}q^{n^{2}}{\text{ where }}w\equiv e^{i\pi \theta }}$そして ${\displaystyle q\equiv e^{i\pi \tau }.}$

ラップ正規分布はヤコビ三重積で表されることもある。^[3]

${\displaystyle f_{\text{WN}}(\theta ;\mu ,\sigma )={\frac {1}{2\pi }}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})(1+q^{n-1/2}z)(1+q^{n-1/2}/z).}$

どこでそして ${\displaystyle z=e^{i(\theta -\mu )}\,}$ ${\displaystyle q=e^{-\sigma ^{2}}.}$

瞬間

円変数の観点から見ると、ラップされた正規分布の円モーメントは整数引数で評価された正規分布の特性関数です。 ${\displaystyle z=e^{i\theta }}$

${\displaystyle \langle z^{n}\rangle =\int _{\Gamma }e^{in\theta }\,f_{\text{WN}}(\theta ;\mu ,\sigma )\,d\theta =e^{in\mu -n^{2}\sigma ^{2}/2}.}$

ここで、 は長さ の区間です。第一モーメントはzの平均値であり、平均結果値または平均結果ベクトルとも呼ばれます。 ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle \langle z\rangle =e^{i\mu -\sigma ^{2}/2}}$

平均角度は

${\displaystyle \theta _{\mu }=\mathrm {Arg} \langle z\rangle =\mu }$

そして平均結果の長さは

${\displaystyle R=|\langle z\rangle |=e^{-\sigma ^{2}/2}}$

円標準偏差は、ラップ正規分布とその近似分布であるフォン ミーゼス分布の分散の便利な尺度であり、次のように与えられます。

${\displaystyle s=\ln(R^{-2})^{1/2}=\sigma }$

パラメータの推定

ラップされた正規分布から得られるN個の測定値z _n  =  e ^{iθ _n}は、分布の特定のパラメータを推定するために用いられる。この測定値の平均値zは次のように定義される。 

${\displaystyle {\overline {z}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}z_{n}}$

そしてその期待値は最初の瞬間のみになります。

${\displaystyle \langle {\overline {z}}\rangle =e^{i\mu -\sigma ^{2}/2}.\,}$

言い換えれば、zは第一モーメントの不偏推定値です。平均μ が区間 [− π ,  π ) 内にあると仮定すると、Arg  z は平均 μの（偏りのある）推定値となります。

z _{n を}複素平面上のベクトルの集合として見ると、 R ²統計量は平均ベクトルの長さの2乗になります。

${\displaystyle {\overline {R}}^{2}={\overline {z}}\,{\overline {z^{*}}}=\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos \theta _{n}\right)^{2}+\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\sin \theta _{n}\right)^{2}\,}$

その期待値は次のようになります。

${\displaystyle \left\langle {\overline {R}}^{2}\right\rangle ={\frac {1}{N}}+{\frac {N-1}{N}}\,e^{-\sigma ^{2}}\,}$

つまり、統計は

${\displaystyle R_{e}^{2}={\frac {N}{N-1}}\left({\overline {R}}^{2}-{\frac {1}{N}}\right)}$

はe ^{− σ 2}の不偏推定値となり、ln(1/ R _e ^{2 )は}σ ²の（偏りのある）推定値となる。 

エントロピ

ラップ正規分布の情報エントロピーは次のように定義される: [ 2 ^]

${\displaystyle H=-\int _{\Gamma }f_{\text{WN}}(\theta ;\mu ,\sigma )\,\ln(f_{\text{WN}}(\theta ;\mu ,\sigma ))\,d\theta }$

ここで、 は長さ の任意の区間です。 と を定義すると、ラップされた正規分布のヤコビ三重積表現は次のようになります。 ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle z=e^{i(\theta -\mu )}}$ ${\displaystyle q=e^{-\sigma ^{2}}}$

${\displaystyle f_{\text{WN}}(\theta ;\mu ,\sigma )={\frac {\phi (q)}{2\pi }}\prod _{m=1}^{\infty }(1+q^{m-1/2}z)(1+q^{m-1/2}z^{-1})}$

ここではオイラー関数です。ラップ正規分布の密度の対数は次のように表されます。 ${\displaystyle \phi (q)\,}$

${\displaystyle \ln(f_{\text{WN}}(\theta ;\mu ,\sigma ))=\ln \left({\frac {\phi (q)}{2\pi }}\right)+\sum _{m=1}^{\infty }\ln(1+q^{m-1/2}z)+\sum _{m=1}^{\infty }\ln(1+q^{m-1/2}z^{-1})}$

対数の級数展開を使用する:

${\displaystyle \ln(1+x)=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\,x^{k}}$

対数和は次のように表すことができます。

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\ln(1+q^{m-1/2}z^{\pm 1})=-\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\,q^{mk-k/2}z^{\pm k}=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\,{\frac {q^{k/2}}{1-q^{k}}}\,z^{\pm k}}$

したがって、ラップされた正規分布の密度の対数は次のように表すことができます。

${\displaystyle \ln(f_{\text{WN}}(\theta ;\mu ,\sigma ))=\ln \left({\frac {\phi (q)}{2\pi }}\right)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{\frac {q^{k/2}}{1-q^{k}}}\,(z^{k}+z^{-k})}$

これは本質的にはにおけるフーリエ級数である。積分の左側にラップされた正規分布の特性関数表現を用いると、次のようになる。 ${\displaystyle \theta \,}$

${\displaystyle f_{\text{WN}}(\theta ;\mu ,\sigma )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}/2}\,z^{n}}$

エントロピーは次のように書けます。

${\displaystyle H=-\ln \left({\frac {\phi (q)}{2\pi }}\right)+{\frac {1}{2\pi }}\int _{\Gamma }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{\frac {q^{(n^{2}+k)/2}}{1-q^{k}}}\left(z^{n+k}+z^{n-k}\right)\right)\,d\theta }$

これを統合すると次の式が得られます。

${\displaystyle H=-\ln \left({\frac {\phi (q)}{2\pi }}\right)+2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\,{\frac {q^{(k^{2}+k)/2}}{1-q^{k}}}}$

参照

• ラップされた分布
• ディラックコム
• ラップされたコーシー分布
• フォン・ミーゼス分布

参考文献

1. Collett, D.; Lewis, T. (1981). 「フォン・ミーゼス分布とラップド正規分布の区別」.オーストラリア統計ジャーナル. 23 (1): 73– 79. doi :10.1111/j.1467-842X.1981.tb00763.x.
2. マルディア、カンティラル;ジュップ、ピーター E. (1999)。方向性統計。ワイリー。ISBN 978-0-471-95333-3。
3. Whittaker, ET ; Watson, GN (2009). 『現代分析の講座』ブックジャングル. ISBN 978-1-4385-2815-1。

• グレアム・ボラデール (2003)。地球科学データの統計。スプリンガー。ISBN 978-3-540-43603-4. 2009年12月31日閲覧。
• フィッシャー, N.I. (1996). 『循環データの統計分析』ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-56890-6. 2010年2月9日閲覧。
• ブライテンベルガー、エルンスト (1963). 「円と球面上の正規分布の類似物」 .バイオメトリカ. 50 (1/2): 81– 88. doi :10.2307/2333749. JSTOR  2333749.

外部リンク

• C++11 による円形値の数学と統計、円形値 (角度、時刻など) の数学と統計のための C++11 インフラストラクチャ

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