ラップされた分布

Probability distribution on a hypersphere

確率論および方向統計において、ラップ確率分布は、単位n球面上に存在するデータ点を記述する連続確率分布です。1次元では、ラップ分布は単位円上の点で構成されます。が確率密度関数(PDF)を持つ区間 内のランダム変量である場合、 はラップ分布 に従って分布する円変数であり、 はラップ分布 に従って分布する区間 内の角度変数です。 ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ ${\displaystyle p(\phi )}$ ${\displaystyle z=e^{i\phi }}$ ${\displaystyle p_{wz}(\theta )}$ ${\displaystyle \theta =\arg(z)}$ ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle p_{w}(\theta )}$

直線上の任意の確率密度関数は、単位半径の円周に「ラップ」することができる。^[1]つまり、ラップされた変数のPDFは ${\displaystyle p(\phi )}$

${\displaystyle \theta =\phi \mod 2\pi }$ある長さの間隔で ${\displaystyle 2\pi }$

は

${\displaystyle p_{w}(\theta )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{p(\theta +2\pi k)}}$

これは周期の周期和です。一般に、の好ましい区間は です。 ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle (-\pi <\theta \leq \pi )}$ ${\displaystyle \ln(e^{i\theta })=\arg(e^{i\theta })=\theta }$

理論

ほとんどの場合、円周統計を含むプロセスは、区間 に含まれる角度 ( ) を生成し、「アンラップ」された確率密度関数 で記述されます。しかし、測定によって得られる角度は、長さ（例えば、0 から）の区間内にあります。言い換えれば、測定では、真の角度が測定されたのか、それともラップされた角度（は未知の整数）が測定されたのかを判断できません。 ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ ${\displaystyle p(\phi )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \theta =\phi +2\pi a}$ ${\displaystyle a}$

測定された角度の関数の期待値を計算する場合、次のようになります。

${\displaystyle \langle f(\theta )\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }p(\phi )f(\phi +2\pi a)d\phi }$。

積分は、 の期間にわたる積分の和として表すことができます。 ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle \langle f(\theta )\rangle =\sum _{k=-\infty }^{\infty }\int _{2\pi k}^{2\pi (k+1)}p(\phi )f(\phi +2\pi a)d\phi }$。

積分の変数を に変え、積分と和の順序を入れ替えると、 ${\displaystyle \theta '=\phi -2\pi k}$

${\displaystyle \langle f(\theta )\rangle =\int _{0}^{2\pi }p_{w}(\theta ')f(\theta '+2\pi a')d\theta '}$

ここで、 はラップ分布のPDFであり、は別の未知の整数です。この未知の整数は、角度平均を計算する場合と同様に、の期待値に曖昧さをもたらします。これは、が真の角度 と明確な関係にあるため、パラメータ を導入することで解決できます。 ${\displaystyle p_{w}(\theta ')}$ ${\displaystyle a'}$ ${\displaystyle (a'=a+k)}$ ${\displaystyle a'}$ ${\displaystyle f(\theta )}$ ${\displaystyle z=e^{i\theta }}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle z=e^{i\theta }=e^{i\phi }}$。

関数の期待値を計算すると、明確な答えが得られます。 ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \langle f(z)\rangle =\int _{0}^{2\pi }p_{w}(\theta ')f(e^{i\theta '})d\theta '}$。

このため、円形統計解析においては、測定角度よりもパラメータが優先されます。これは、ラップ分布関数自体が、次式を満たす関数として表現できることを示唆しています。 ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \langle f(z)\rangle =\oint p_{wz}(z)f(z)\,dz}$

ここで はと定義されます。この概念は、単純な和を特徴空間のすべての次元をカバーする複数の和に拡張することで、多変量​​コンテキストに拡張できます。 ${\displaystyle p_{w}(z)}$ ${\displaystyle p_{w}(\theta )\,|d\theta |=p_{wz}(z)\,|dz|}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle p_{w}({\vec {\theta }})=\sum _{k_{1},...,k_{F}=-\infty }^{\infty }{p({\vec {\theta }}+2\pi k_{1}\mathbf {e} _{1}+\dots +2\pi k_{F}\mathbf {e} _{F})}}$

ここで、 は番目のユークリッド基底ベクトルです。 ${\displaystyle \mathbf {e} _{k}=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0)^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle k}$

特性関数による表現

基本的なラップされた分布はディラックコムであり、これはラップされたディラックデルタ関数です。

${\displaystyle \Delta _{2\pi }(\theta )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\delta (\theta +2\pi k)}}$。

デルタ関数を使用すると、一般的なラップ分布は次のように書ける。

${\displaystyle p_{w}(\theta )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }p(\theta ')\delta (\theta -\theta '+2\pi k)\,d\theta '}$。

合計と積分の順序を入れ替えると、任意のラップされた分布は、ラップされていない分布とディラックコームの畳み込みとして表すことができます。

${\displaystyle p_{w}(\theta )=\int _{-\infty }^{\infty }p(\theta ')\Delta _{2\pi }(\theta -\theta ')\,d\theta '}$。

ディラックコムは指数関数の和として表現することもできるので、次のように書くこともできます。

${\displaystyle p_{w}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}\,\int _{-\infty }^{\infty }p(\theta ')\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{in(\theta -\theta ')}\,d\theta '}$。

再び合計と積分の順序を入れ替えると、

${\displaystyle p_{w}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }p(\theta ')e^{in(\theta -\theta ')}\,d\theta '}$。

の定義を用いると、の特性関数は、ラップされていない分布の特性関数に関して、ラップされた分布のゼロに関するローラン級数を与える。 ${\displaystyle \phi (s)}$ ${\displaystyle p(\theta )}$

${\displaystyle p_{w}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }\phi (n)\,e^{-in\theta }}$

または

${\displaystyle p_{wz}(z)={\frac {1}{2\pi }}\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }\phi (n)\,z^{-n}}$

線型分布と同様に、はラップ分布の特性関数（より正確には特性列）と呼ばれます。^[2]これはポアソン分布の和公式の一例であり、ラップ分布のフーリエ級数の係数は、ラップされていない分布のフーリエ変換の整数値における係数に等しいことがわかります。 ${\displaystyle \phi (m)}$

瞬間

ラップ分布のモーメントは次のように定義されます。 ${\displaystyle p_{w}(z)}$

${\displaystyle \langle z^{m}\rangle =\oint p_{wz}(z)z^{m}\,dz}$。

特性関数で表し、積分と和の順序を入れ替えると次のようになります。 ${\displaystyle p_{w}(z)}$

${\displaystyle \langle z^{m}\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\phi (n)\oint z^{m-n}\,dz}$。

留数定理から、

${\displaystyle \oint z^{m-n}\,dz=2\pi \delta _{m-n}}$

ここでクロネッカーのデルタ関数です。したがって、モーメントは整数引数に対するアンラップ分布の特性関数に等しくなります。 ${\displaystyle \delta _{k}}$

${\displaystyle \langle z^{m}\rangle =\phi (m)}$。

ランダム変数の生成

が線形確率分布 から抽出されたランダム変量である場合、 はラップ分布 に従って分布する円変量であり、 はラップ分布に従って分布する角度変量です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Z=e^{iX}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \theta =\arg(Z)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi }$

エントロピ

確率密度を持つ円形分布の情報エントロピーは次のように定義されます。 ${\displaystyle p_{w}(\theta )}$

${\displaystyle H=-\int _{\Gamma }p_{w}(\theta )\,\ln(p_{w}(\theta ))\,d\theta }$

ここで、長さ の任意の区間である。^{[1]確率密度とその対数の両方が}フーリエ級数（またはより一般的には、円上の任意の積分変換）として表せる場合、級数の直交基底を使用してエントロピーの閉じた形式の表現を得ることができる。 ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle 2\pi }$

分布のモーメントは、確率密度のフーリエ級数展開のフーリエ係数である。 ${\displaystyle \phi (n)}$

${\displaystyle p_{w}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\phi _{n}e^{-in\theta }}$。

確率密度の対数がフーリエ級数として表せる場合は次のようになります。

${\displaystyle \ln(p_{w}(\theta ))=\sum _{m=-\infty }^{\infty }c_{m}e^{im\theta }}$

どこ

${\displaystyle c_{m}={\frac {1}{2\pi }}\int _{\Gamma }\ln(p_{w}(\theta ))e^{-im\theta }\,d\theta }$。

次に、積分と合計の順序を入れ替えると、エントロピーは次のように表すことができます。

${\displaystyle H=-{\frac {1}{2\pi }}\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{m}\phi _{n}\int _{\Gamma }e^{i(m-n)\theta }\,d\theta }$。

フーリエ基底の直交性を利用すると、積分は次のように簡約されます。

${\displaystyle H=-\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\phi _{n}}$。

確率密度が平均に関して対称な特別なケースでは、対数は次のように書けます。 ${\displaystyle c_{-m}=c_{m}}$

${\displaystyle \ln(p_{w}(\theta ))=c_{0}+2\sum _{m=1}^{\infty }c_{m}\cos(m\theta )}$

そして

${\displaystyle c_{m}={\frac {1}{2\pi }}\int _{\Gamma }\ln(p_{w}(\theta ))\cos(m\theta )\,d\theta }$

そして、正規化には が必要となるため、エントロピーは次のように表すことができます。 ${\displaystyle \phi _{0}=1}$

${\displaystyle H=-c_{0}-2\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\phi _{n}}$。

参照

• ラップされた正規分布
• ラップされたコーシー分布
• ラップされた指数分布

参考文献

1. マルディア、カンティラル;ジュップ、ピーター E. (1999)。方向性統計。ワイリー。ISBN 978-0-471-95333-3。
2. Mardia, K. (1972). 方向データの統計. ニューヨーク: アカデミック・プレス. ISBN 978-1-4832-1866-3。

• グレアム・ボラデール (2003)。地球科学データの統計。スプリンガー。ISBN 978-3-540-43603-4。
• フィッシャー, N.I. (1996). 『循環データの統計分析』ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-56890-6。

外部リンク

• C++11 による円形値の数学と統計、円形値 (角度、時刻など) の数学と統計のための C++11 インフラストラクチャ

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