Quantum consistency equation
物理学 において 、 ヤン・バクスター方程式 （または 星型三角形関係）は、 統計力学 の分野で初めて導入された無矛盾方程式である 。これは、散乱状況によっては粒子が運動量を維持しながら量子内部状態を変化させる可能性があるという考えに基づいている。これは、3つの物体のうち2つに作用する行列が 、 R {\displaystyle R}
( R ˇ ⊗ 1 ) ( 1 ⊗ R ˇ ) ( R ˇ ⊗ 1 ) = ( 1 ⊗ R ˇ ) ( R ˇ ⊗ 1 ) ( 1 ⊗ R ˇ ) , {\displaystyle ({\check {R}}\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}})({\check {R}}\otimes \mathbf {1} )=(\mathbf {1} \otimes {\check {R}})({\check {R}}\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}),}
ここで、2つのオブジェクトの交換が続き ます 。1次元量子システムでは、は 散乱行列 であり 、ヤン・バクスター方程式を満たす場合、システムは 積分可能 です。量子可積分モデルでは、ヤン・バクスター方程式により、多粒子散乱プロセスが一連の2体相互作用に因数分解され、正確な可解性が保持されることが保証されます。 [1]ヤン・バクスター方程式は、 結び目理論 と 組紐群を 議論する際にも登場します。 ここで、 は2つのストランドの交換に対応します。3つのストランドを2つの異なる方法で交換できるため、ヤン・バクスター方程式は両方のパスが同じであることを強制します。 R ˇ {\displaystyle {\check {R}}} R {\displaystyle R} R {\displaystyle R} R {\displaystyle R}
ヤン・バクスター方程式の図解
歴史 神保道夫 によると 、 [2] ヤン・バクスター方程式（YBE）は、 1964年のJBマクガイア [3]と1967年の CNヤン [4] の研究で初めて明らかにされた。彼らは、ポテンシャルを持つ直線上の量子力学的多体問題を考察した 。 ベーテ仮説の 手法を用いて、彼らは散乱行列が二体問題の散乱行列に因数分解されることを発見し、それを厳密に決定した。この結果により、ヤン・バクスター方程式は量子可積分性の定義基準として確立され、1次元における因数分解された散乱と厳密に解けるモデルを結び付けた。 [5] ここで、YBEは因数分解の整合性条件として現れる。 c ∑ i < j δ ( x i − x j ) {\displaystyle c\sum _{i<j}\delta (x_{i}-x_{j})}
統計力学 において 、YBEの起源はおそらくオンサガーの星型三角形関係に遡るでしょう。これは1944年に彼がイジング模型 [6] を解く際の序論で簡単に触れたものです。それ以来、解ける格子模型の探求が活発に行われ、 1972年に ロドニー・バクスター が8頂点模型 [7] を解くことで最高潮に達しました。
もう一つの発展方向は、 2次元量子場理論における因数分解 S 行列の理論であった。 [8] Alexander B. Zamolodchikovは [9] 、ここで作用する代数力学はBaxterらの研究におけるものと同じであると指摘した。
YBEは、1966年のAA Jucys [10] の研究における 対称群 の 群代数 における ヤング演算子 の研究にも現れています 。 C [ S n ] {\displaystyle \mathbb {C} [S_{n}]}
を単位 結合代数 とします 。 最も一般的な形式では、パラメータ依存ヤン・バクスター方程式は、 テンソル積 のパラメータ依存要素に対する方程式です （ここで、 と はパラメータであり、その範囲は通常 、加法パラメータの場合は 実数 R上、 乗法パラメータの場合は 正の実数 R +上です）。 A {\displaystyle A} R ( u , u ′ ) {\displaystyle R(u,u')} A ⊗ A {\displaystyle A\otimes A} u {\displaystyle u} u ′ {\displaystyle u'}
と すると 、代数準 同型は 次のように決定される。 R i j ( u , u ′ ) = ϕ i j ( R ( u , u ′ ) ) {\displaystyle R_{ij}(u,u')=\phi _{ij}(R(u,u'))} 1 ≤ i < j ≤ 3 {\displaystyle 1\leq i<j\leq 3} ϕ i j : A ⊗ A → A ⊗ A ⊗ A {\displaystyle \phi _{ij}:A\otimes A\to A\otimes A\otimes A}
ϕ 12 ( a ⊗ b ) = a ⊗ b ⊗ 1 , {\displaystyle \phi _{12}(a\otimes b)=a\otimes b\otimes 1,}
ϕ 13 ( a ⊗ b ) = a ⊗ 1 ⊗ b , {\displaystyle \phi _{13}(a\otimes b)=a\otimes 1\otimes b,}
ϕ 23 ( a ⊗ b ) = 1 ⊗ a ⊗ b . {\displaystyle \phi _{23}(a\otimes b)=1\otimes a\otimes b.}
ヤン・バクスター方程式の一般的な形は
R 12 ( u 1 , u 2 ) R 13 ( u 1 , u 3 ) R 23 ( u 2 , u 3 ) = R 23 ( u 2 , u 3 ) R 13 ( u 1 , u 3 ) R 12 ( u 1 , u 2 ) , {\displaystyle R_{12}(u_{1},u_{2})\ R_{13}(u_{1},u_{3})\ R_{23}(u_{2},u_{3})=R_{23}(u_{2},u_{3})\ R_{13}(u_{1},u_{3})\ R_{12}(u_{1},u_{2}),}
、 および のすべての値に対して 。 u 1 {\displaystyle u_{1}} u 2 {\displaystyle u_{2}} u 3 {\displaystyle u_{3}}
を単位結合代数とする 。パラメータ独立なヤン・バクスター方程式は 、テンソル積 の可逆元に対する方程式である 。ヤン・バクスター方程式は、 A {\displaystyle A} R {\displaystyle R} A ⊗ A {\displaystyle A\otimes A}
R 12 R 13 R 23 = R 23 R 13 R 12 , {\displaystyle R_{12}\ R_{13}\ R_{23}=R_{23}\ R_{13}\ R_{12},}
ここで 、、、 およびです 。 R 12 = ϕ 12 ( R ) {\displaystyle R_{12}=\phi _{12}(R)} R 13 = ϕ 13 ( R ) {\displaystyle R_{13}=\phi _{13}(R)} R 23 = ϕ 23 ( R ) {\displaystyle R_{23}=\phi _{23}(R)}
基礎に関して 単位結合代数は、しばしば 体 上の ベクトル空間 の 自己準同型代数 、すなわち である。 の 基底 に関して 、行列の成分は と書き 、これは写像 に関連付けられた成分である。パラメータ依存性を省略すると、 写像 に関連付けられたヤン・バクスター方程式の成分は次のように表される。 V {\displaystyle V} k {\displaystyle k} A = End ( V ) {\displaystyle A={\text{End}}(V)} { e i } {\displaystyle \{e_{i}\}} V {\displaystyle V} R ∈ End ( V ) ⊗ End ( V ) ≅ End ( V ⊗ V ) {\displaystyle R\in {\text{End}}(V)\otimes {\text{End}}(V)\cong {\text{End}}(V\otimes V)} R i j k l {\displaystyle R_{ij}^{kl}} e i ⊗ e j ↦ e k ⊗ e l {\displaystyle e_{i}\otimes e_{j}\mapsto e_{k}\otimes e_{l}} e a ⊗ e b ⊗ e c ↦ e d ⊗ e e ⊗ e f {\displaystyle e_{a}\otimes e_{b}\otimes e_{c}\mapsto e_{d}\otimes e_{e}\otimes e_{f}}
( R 12 ) i j d e ( R 13 ) a k i f ( R 23 ) b c j k = ( R 23 ) j k e f ( R 13 ) i c d k ( R 12 ) a b i j . {\displaystyle (R_{12})_{ij}^{de}(R_{13})_{ak}^{if}(R_{23})_{bc}^{jk}=(R_{23})_{jk}^{ef}(R_{13})_{ic}^{dk}(R_{12})_{ab}^{ij}.}
を の 加群 とし 、 を とする 。 を に対して 満たす線型写像とする 。すると、ヤン・バクスター方程式は に関して次の別の形をとる 。 V {\displaystyle V} A {\displaystyle A} P i j = ϕ i j ( P ) {\displaystyle P_{ij}=\phi _{ij}(P)} P : V ⊗ V → V ⊗ V {\displaystyle P:V\otimes V\to V\otimes V} P ( x ⊗ y ) = y ⊗ x {\displaystyle P(x\otimes y)=y\otimes x} x , y ∈ V {\displaystyle x,y\in V} R ˇ ( u , u ′ ) = P ∘ R ( u , u ′ ) {\displaystyle {\check {R}}(u,u')=P\circ R(u,u')} V ⊗ V {\displaystyle V\otimes V}
( 1 ⊗ R ˇ ( u 1 , u 2 ) ) ( R ˇ ( u 1 , u 3 ) ⊗ 1 ) ( 1 ⊗ R ˇ ( u 2 , u 3 ) ) = ( R ˇ ( u 2 , u 3 ) ⊗ 1 ) ( 1 ⊗ R ˇ ( u 1 , u 3 ) ) ( R ˇ ( u 1 , u 2 ) ⊗ 1 ) . {\displaystyle (\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(u_{1},u_{2}))({\check {R}}(u_{1},u_{3})\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(u_{2},u_{3}))=({\check {R}}(u_{2},u_{3})\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(u_{1},u_{3}))({\check {R}}(u_{1},u_{2})\otimes \mathbf {1} ).}
あるいは、上と同じ表記法で と定義して表すこともできる。 この場合、別の形式は次のようになる。 R ˇ i j ( u , u ′ ) = ϕ i j ( R ˇ ( u , u ′ ) ) {\displaystyle {\check {R}}_{ij}(u,u')=\phi _{ij}({\check {R}}(u,u'))}
R ˇ 23 ( u 1 , u 2 ) R ˇ 12 ( u 1 , u 3 ) R ˇ 23 ( u 2 , u 3 ) = R ˇ 12 ( u 2 , u 3 ) R ˇ 23 ( u 1 , u 3 ) R ˇ 12 ( u 1 , u 2 ) . {\displaystyle {\check {R}}_{23}(u_{1},u_{2})\ {\check {R}}_{12}(u_{1},u_{3})\ {\check {R}}_{23}(u_{2},u_{3})={\check {R}}_{12}(u_{2},u_{3})\ {\check {R}}_{23}(u_{1},u_{3})\ {\check {R}}_{12}(u_{1},u_{2}).}
パラメータに依存しない特殊なケース（パラメータに依存しない）では 、方程式は次のように簡約される。 R ˇ {\displaystyle {\check {R}}}
( 1 ⊗ R ˇ ) ( R ˇ ⊗ 1 ) ( 1 ⊗ R ˇ ) = ( R ˇ ⊗ 1 ) ( 1 ⊗ R ˇ ) ( R ˇ ⊗ 1 ) , {\displaystyle (\mathbf {1} \otimes {\check {R}})({\check {R}}\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}})=({\check {R}}\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}})({\check {R}}\otimes \mathbf {1} ),}
また（が 可逆であれば） 、 組紐群 の 表現は 、 に対して によって 上 に構築できます。この表現は、 組紐 、 結び目 、 リンク の準不変量を決定するために使用できます 。 R {\displaystyle R} B n {\displaystyle B_{n}} V ⊗ n {\displaystyle V^{\otimes n}} σ i = 1 ⊗ i − 1 ⊗ R ˇ ⊗ 1 ⊗ n − i − 1 {\displaystyle \sigma _{i}=1^{\otimes i-1}\otimes {\check {R}}\otimes 1^{\otimes n-i-1}} i = 1 , … , n − 1 {\displaystyle i=1,\dots ,n-1}
対称 ヤン・バクスター方程式の解は、しばしば リー群 の作用に対して行列が不変であるという制約を受ける 。例えば、 と の場合 、 における -不変写像は 恒等写像 と置換写像のみである。 したがって、 スカラー関数 に対する-行列 の一般形はとなる 。 R {\displaystyle R} G {\displaystyle G} G = G L ( V ) {\displaystyle G=GL(V)} R ( u , u ′ ) ∈ End ( V ⊗ V ) {\displaystyle R(u,u')\in {\text{End}}(V\otimes V)} G {\displaystyle G} End ( V ⊗ V ) {\displaystyle {\text{End}}(V\otimes V)} I {\displaystyle I} P {\displaystyle P} R {\displaystyle R} R ( u , u ′ ) = A ( u , u ′ ) I + B ( u , u ′ ) P {\displaystyle R(u,u')=A(u,u')I+B(u,u')P} A , B {\displaystyle A,B}
ヤン・バクスター方程式は、 （ここで はスカラー関数）を定義すると、 ヤン・バクスター方程式も満たす という意味で、パラメータ依存性において同次です。 R ′ ( u i , u j ) = f ( u i , u j ) R ( u i , u j ) {\displaystyle R'(u_{i},u_{j})=f(u_{i},u_{j})R(u_{i},u_{j})} f {\displaystyle f} R ′ {\displaystyle R'}
引数空間自体が対称性を持つ場合があります。例えば、並進不変性は、引数への依存性が 並進不変差 のみに依存することを強制します が、スケール不変性は、 が スケール不変比 の関数であることを強制します 。 ( u , u ′ ) {\displaystyle (u,u')} u − u ′ {\displaystyle u-u'} R {\displaystyle R} u / u ′ {\displaystyle u/u'}
パラメータ化と例題 解を計算するための一般的な仮定は、差分特性 であり 、R は単一の（加法的な）パラメータのみに依存します。同様に、対数をとる場合、パラメータ化 を選択することができます 。この場合、R は乗法的なパラメータに依存していると言えます。このような場合、YBE を計算を容易にする形で2つの自由パラメータに簡約することができます。 R ( u , u ′ ) = R ( u − u ′ ) {\displaystyle R(u,u')=R(u-u')} R ( u , u ′ ) = R ( u / u ′ ) {\displaystyle R(u,u')=R(u/u')}
R 12 ( u ) R 13 ( u + v ) R 23 ( v ) = R 23 ( v ) R 13 ( u + v ) R 12 ( u ) , {\displaystyle R_{12}(u)\ R_{13}(u+v)\ R_{23}(v)=R_{23}(v)\ R_{13}(u+v)\ R_{12}(u),}
および のすべての値に対して成り立つ 。乗法パラメータの場合、ヤン・バクスター方程式は u {\displaystyle u} v {\displaystyle v}
R 12 ( u ) R 13 ( u v ) R 23 ( v ) = R 23 ( v ) R 13 ( u v ) R 12 ( u ) , {\displaystyle R_{12}(u)\ R_{13}(uv)\ R_{23}(v)=R_{23}(v)\ R_{13}(uv)\ R_{12}(u),}
および のすべての値に対して 。 u {\displaystyle u} v {\displaystyle v}
編み込まれたフォームは次のようになります。
( 1 ⊗ R ˇ ( u ) ) ( R ˇ ( u + v ) ⊗ 1 ) ( 1 ⊗ R ˇ ( v ) ) = ( R ˇ ( v ) ⊗ 1 ) ( 1 ⊗ R ˇ ( u + v ) ) ( R ˇ ( u ) ⊗ 1 ) {\displaystyle (\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(u))({\check {R}}(u+v)\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(v))=({\check {R}}(v)\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(u+v))({\check {R}}(u)\otimes \mathbf {1} )} ( 1 ⊗ R ˇ ( u ) ) ( R ˇ ( u v ) ⊗ 1 ) ( 1 ⊗ R ˇ ( v ) ) = ( R ˇ ( v ) ⊗ 1 ) ( 1 ⊗ R ˇ ( u v ) ) ( R ˇ ( u ) ⊗ 1 ) {\displaystyle (\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(u))({\check {R}}(uv)\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(v))=({\check {R}}(v)\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(uv))({\check {R}}(u)\otimes \mathbf {1} )}
場合によっては、 の行列式は スペクトルパラメータの特定の値で消滅することがあります 。また、一部の 行列は で1次元射影行列になります 。この場合、量子行列式を定義できます （ 説明が必要 ） 。 R ( u ) {\displaystyle R(u)} u = u 0 {\displaystyle u=u_{0}} R {\displaystyle R} u = u 0 {\displaystyle u=u_{0}}
パラメータ依存YBEの例題解 を満たすパラメータ非依存YBEの解から 、特に単純なパラメータ依存解のクラスが得られる。ここで、対応する組紐群表現は置換群表現である。この場合、 （同値として）は（加法的な）パラメータ依存YBEの解である。 および の場合、これは ハイゼンベルクXXXスピン鎖 の散乱行列を与える 。 R ˇ 2 = 1 {\displaystyle {\check {R}}^{2}=\mathbf {1} } R ˇ ( u ) = 1 + u R ˇ {\displaystyle {\check {R}}(u)=\mathbf {1} +u{\check {R}}} R ( u ) = P + u P ∘ R ˇ {\displaystyle R(u)=P+uP\circ {\check {R}}} R ˇ = P {\displaystyle {\check {R}}=P} R ( u ) = P + u 1 {\displaystyle R(u)=P+u\mathbf {1} } 量子群の評価モジュールの -行列 は 、行列 R {\displaystyle R} U q ( s l ^ ( 2 ) ) {\displaystyle U_{q}({\widehat {sl}}(2))} R ˇ ( z ) = ( q z − q − 1 z − 1 q − q − 1 z − z − 1 z − z − 1 q − q − 1 q z − q − 1 z − 1 ) . {\displaystyle {\check {R}}(z)={\begin{pmatrix}qz-q^{-1}z^{-1}&&&\\&q-q^{-1}&z-z^{-1}&\\&z-z^{-1}&q-q^{-1}&\\&&&qz-q^{-1}z^{-1}\end{pmatrix}}.} すると、乗法パラメータを持つパラメータ化されたヤン・バクスター方程式（編組形式）が満たされる。 ( 1 ⊗ R ˇ ( z ) ) ( R ˇ ( z z ′ ) ⊗ 1 ) ( 1 ⊗ R ˇ ( z ′ ) ) = ( R ˇ ( z ′ ) ⊗ 1 ) ( 1 ⊗ R ˇ ( z z ′ ) ) ( R ˇ ( z ) ⊗ 1 ) {\displaystyle (\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(z))({\check {R}}(zz')\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(z'))=({\check {R}}(z')\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(zz'))({\check {R}}(z)\otimes \mathbf {1} )}
ソリューションの分類 解には大まかに3つの種類があります。有理解、三角解、楕円解です。これらはそれぞれ、 ヤン群 、 アフィン量子群 、 楕円代数 として知られる 量子群 と関連しています。
集合論的ヤン・バクスター方程式 集合論的解は ドリンフェルド [11] によって研究された。 この場合、 ベクトル空間には、 -行列が の誘導基底を自身に写像する という意味において、 -行列不変基底が存在する。これにより、-行列 を基底に制限することによって与えられる 写像が誘導される 。集合論的ヤン・バクスター方程式は、上記の「ねじれた」代替形式を用いて定義され、 が に写像することを主張する。したがって、方程式は純粋に 集合 のカテゴリ における方程式として考えることができる 。 R {\displaystyle R} X {\displaystyle X} V {\displaystyle V} R {\displaystyle R} V ⊗ V {\displaystyle V\otimes V} r : X × X → X × X {\displaystyle r:X\times X\rightarrow X\times X} R {\displaystyle R} ( i d × r ) ( r × i d ) ( i d × r ) = ( r × i d ) ( i d × r ) ( r × i d ) {\displaystyle (id\times r)(r\times id)(id\times r)=(r\times id)(id\times r)(r\times id)} X × X × X {\displaystyle X\times X\times X}
例 R = i d {\displaystyle R=id} 。 R = τ {\displaystyle R=\tau } ここで 、転置マップ。 τ ( u ⊗ v ) = v ⊗ u {\displaystyle \tau (u\otimes v)=v\otimes u} が（右）棚である 場合、 は YBE の集合論的解です。 ( X , ◃ ) {\displaystyle (X,\triangleleft )} r ( x , y ) = ( y , x ◃ y ) {\displaystyle r(x,y)=(y,x\triangleleft y)}
古典的なヤン・バクスター方程式 古典的なYBEの解はBelavin とDrinfeldによって研究され、ある程度分類されました 。 [12] 一対の引数に依存する可能性のある 「古典的な -行列」が与えられた場合 、古典的なYBEは（パラメータを抑制） で表されます。これは 、で3次である通常の量子YBEとは異なり、-行列の2次式です 。 r {\displaystyle r} r : V ⊗ V → V ⊗ V {\displaystyle r:V\otimes V\rightarrow V\otimes V} ( u , v ) {\displaystyle (u,v)} [ r 12 , r 13 ] + [ r 12 , r 23 ] + [ r 13 , r 23 ] = 0 {\displaystyle [r_{12},r_{13}]+[r_{12},r_{23}]+[r_{13},r_{23}]=0} r {\displaystyle r} R {\displaystyle R}
この方程式は、量子 YBE のいわゆる準古典的解から生じ、 - 行列は展開パラメータに関して漸近展開を許容します。 古典的 YBE は、量子 YBE の係数を読み取ることによって得られます (そして、方程式は次数 で自明に成り立ちます )。 R {\displaystyle R} ℏ , {\displaystyle \hbar ,} R ℏ = I + ℏ r + O ( ℏ 2 ) . {\displaystyle R_{\hbar }=I+\hbar r+{\mathcal {O}}(\hbar ^{2}).} ℏ 2 {\displaystyle \hbar ^{2}} ℏ 0 , ℏ {\displaystyle \hbar ^{0},\hbar }
量子ヤン・バクスター方程式 これはヤン・バクスター方程式と量子力学[13]を組み合わせたもので、 主 に 理論 物理学者に用いられています。バクスター [14] [15] と ウラジミール・ ドリンフェルドによって提唱されました。R行列演算子とも呼ばれます。
意味 テンソル積 を 持つモノイド的モノイド 的カテゴリ と 内のオブジェクト が与えられたとき、 量子ヤン・バクスター作用素 は次の形式の 写像 となる。 R : V ⊗ V → V ⊗ V {\displaystyle R:V\otimes V\rightarrow V\otimes V}
これは次の 量子ヤン・バクスター方程式 を満たす。 V ⊗ V ⊗ V {\displaystyle V\otimes V\otimes V}
R 12 ˇ R 13 ˇ R 23 = ˇ R 13 ˇ R 13 ˇ {\displaystyle }{\check {R_{12}}}{\check {R_{13}}}{\check {R_{23}=}}{\check {R_{13}}}{\check {R_{13}}}
ここで、下付き文字は、使用されているテンソル係数を示します（例： ）。
この式は、特に 上の任意の編組の における成分によって満たされます。
R 12 R ⊗ i d V ϵ V ⊗ V {\displaystyle R_{12}R\otimes id_{V}\epsilon V\otimes V}
解が -行列 （または 量子ヤン・バクスター行列 ）と呼ばれるときの ベクトル空間 のカテゴリ、 量子群 の表現のカテゴリ 。多くの場合、量子群（の完備化）自体には、 普遍元 と呼ばれる特定の元があり、公理（準三角性）を満たし、あらゆる表現におけるその像がqYBEを満たすことを保証する。 ヤン・バクスター方程式の集合論的解について語る集合のカテゴリ。
参照
参考文献 ^ Baxter, RJ (1982). 統計力学における厳密解モデル . アカデミック・プレス. ISBN 978-0-12-083180-7 。 ^ Jimbo, M. (1989). 「ヤン・バクスター方程式入門」. International Journal of Modern Physics A. 4 ( 15). World Scientific: 3759– 3777. Bibcode :1989IJMPA...4.3759J. doi :10.1142/S0217751X89001503. ^ McGuire, JB (1964-05-01). 「厳密に解ける1次元N体問題の研究」. Journal of Mathematical Physics . 5 (5). The American Institute of Physics (AIP): 622– 636. Bibcode :1964JMP.....5..622M. doi :10.1063/1.1704156. ISSN 0022-2488. ^ Yang, CN (1967-12-04). 「斥力デルタ関数相互作用を伴う1次元多体問題に対するいくつかの厳密な結果」. Physical Review Letters . 19 (23). American Physical Society (APS): 1312– 1315. Bibcode :1967PhRvL..19.1312Y. doi :10.1103/PhysRevLett.19.1312. ISSN 0031-9007. ^ Faddeev, LD (1996). 「代数的ベーテ仮説が積分可能モデルにどのように作用するか」. Les Houches Lectures on Quantum Symmetries : 149–219 . ^ Onsager, L. (1944-02-01). 「結晶統計 I. 秩序-無秩序遷移を伴う2次元モデル」. Physical Review . 65 ( 3–4 ). アメリカ物理学会 (APS): 117–149 . Bibcode :1944PhRv...65..117O. doi :10.1103/PhysRev.65.117. ^ Baxter, RJ (1972). 「8頂点格子モデルの分割関数」 Annals of Physics . 70 (1). Elsevier: 193– 228. Bibcode :1972AnPhy..70..193B. doi :10.1016/0003-4916(72)90335-1. ISSN 0003-4916. ^ ザモロドチコフ, Alexander B.; ザモロドチコフ, Alexey B. (1979). 「2次元における因数分解S行列と特定の相対論的量子場理論モデルの厳密解」 Annals of Physics . 120 (2). Elsevier: 253– 291. Bibcode :1979AnPhy.120..253Z. doi :10.1016/0003-4916(79)90391-9. ISSN 0003-4916. ^ Zamolodchikov, Alexander B. (1979). 「 2次元時空におけるZ 4対称因子分解S行列」. Comm. Math. Phys . 69 (2). Elsevier: 165– 178. Bibcode :1979CMaPh..69..165Z. doi :10.1007/BF01221446. ISSN 0003-4916. ^ ジューシーズ、AA (1966)。 「対称群の若手演算子について」 (PDF) 。 リエトゥヴォス・フィジコス・リンキニス 。 ６ ．そうだね。イズドヴォポリット。私はナウフ。文学。: 163–180 。 ^ Drinfeld, Vladimir (1992). 量子群：オイラー国際数学研究所（レニングラード）で開催されたワークショップの議事録（1990年秋）. ベルリン: Springer-Verlag. doi :10.1007/BFb0101175. ISBN 978-3-540-55305-2 . 2023年 2月4日 閲覧 。 ^ Belavin, AA; Drinfel'd, VG (1983). 「単純リー代数に対する古典ヤン-バクスター方程式の解」 . 関数解析とその応用 . 16 (3): 159– 180. doi :10.1007/BF01081585. S2CID 123126711. 2023年 2月4日 閲覧 。 ^ 「nLabにおける量子ヤン・バクスター方程式」 ncatlab.org . 2025年10月31日 閲覧 。 ^ Baxter, Rodney J (1972-03-01). 「8頂点格子模型の分割関数」 Annals of Physics . 70 (1): 193– 228. doi :10.1016/0003-4916(72)90335-1. ISSN 0003-4916. ^ バクスター、ロドニー・ジェームズ (1997年1月). 「任意の平面格子上の可解な8頂点モデル」 . ロンドン王立協会哲学論文集. シリーズA, 数学・物理科学 . 289 (1359): 315– 346. doi :10.1098/rsta.1978.0062.
外部リンク 「ヤン・バクスター方程式」 数学百科事典 、 EMSプレス 、2001 [1994] H.-D.デーブナー、J.-D. Hennig 編、 量子群、第 8 回数理物理学国際ワークショップ議事録、アーノルド・ゾンマーフェルト研究所、クラウスタール、FRG、1989 年 、シュプリンガー・フェルラーク・ベルリン、 ISBN 3-540-53503-9 。 Vyjayanthi Chari とAndrew Pressley 著『量子群ガイド』 （1994年）、ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ ISBN 0-521-55884-0 。 Jacques HH Perk および Helen Au-Yang、「Yang–Baxter Equations」、(2006)、 arXiv : math-ph/0606053 。
![{\displaystyle \mathbb {C} [S_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03192415c4c777069325cf912b2d2e8ef259d00b)
![{\displaystyle [r_{12},r_{13}]+[r_{12},r_{23}]+[r_{13},r_{23}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e2a37d5412a832a4f865f64de2b3191d5d4651f)
