降伏面

Geometric representation of material yield

不変量、、が一定である面。主応力空間にプロットされています。 ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle J_{2}}$ ${\displaystyle J_{3}}$

降伏面は、6次元の応力空間における5次元の面である。降伏面は通常凸状であり、降伏面内の応力状態は弾性である。応力状態が降伏面上にあるとき、材料は降伏点に達し、塑性化したと言われる。材料がさらに変形すると、塑性変形の進行に伴って面の形状や大きさが変化する可能性があるにもかかわらず、応力状態は降伏面上に留まる。これは、降伏面の外側にある応力状態は速度非依存塑性では許容されないためであるが、一部の粘塑性モデルでは許容される。^[1]

降伏曲面は通常、3次元主応力空間（ ）、応力不変量（ ）によって張られる2次元または3次元空間、あるいは3次元Haigh-Westergaard応力空間のバージョンで表現され（また、可視化される） 、降伏曲面（つまり降伏関数）の式は次の形式で表すことができます。 ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ ${\displaystyle I_{1},J_{2},J_{3}}$

• ${\displaystyle f(\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})=0\,}$主応力はどこにありますか。 ${\displaystyle \sigma _{i}}$
• ${\displaystyle f(I_{1},J_{2},J_{3})=0\,}$ここで、 はコーシー応力の第 1 主不変量であり、はコーシー応力の偏差部分の第 2 および第 3 主不変量です。 ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle J_{2},J_{3}}$
• ${\displaystyle f(p,q,r)=0\,}$ここで、 はとのスケールバージョンであり、は の関数です。 ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle J_{2}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle J_{2},J_{3}}$
• ${\displaystyle f(\xi ,\rho ,\theta )=0\,}$ここで、はとをスケール化したものであり、は応力角^[2]またはロード角^{[3]である。} ${\displaystyle \xi ,\rho }$ ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle J_{2}}$ ${\displaystyle \theta }$

降伏面を記述するために使用される不変量

不変量、、が一定である面。主応力空間にプロットされています。 ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \theta }$

コーシー応力( )の第1主不変量( )と、コーシー応力の偏差部( )の第2および第3主不変量( )は次のように定義されます。 ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle J_{2},J_{3}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {s}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&={\text{Tr}}({\boldsymbol {\sigma }})=\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}\\J_{2}&={\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {s}}:{\boldsymbol {s}}={\tfrac {1}{6}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]\\J_{3}&=\det({\boldsymbol {s}})={\tfrac {1}{3}}({\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {s}}):{\boldsymbol {s}}=s_{1}s_{2}s_{3}\end{aligned}}}$

ここで、（）は の主値、（）は の主値、そして ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {s}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {s}}={\boldsymbol {\sigma }}-{\tfrac {I_{1}}{3}}\,{\boldsymbol {I}}}$

ここで、は単位行列です。 ${\displaystyle {\boldsymbol {I}}}$

関連する一連の量（）は、岩石、土壌、セラミックスなどの摩擦凝集性材料の降伏面を記述するために通常用いられる。これらは以下のように定義される。 ${\displaystyle p,q,r\,}$

${\displaystyle p={\tfrac {1}{3}}~I_{1}~:~~q={\sqrt {3~J_{2}}}=\sigma _{\mathrm {eq} }~;~~r=3\left({\tfrac {1}{2}}\,J_{3}\right)^{1/3}}$

ここで、 は等価応力です。しかし、とその結果としての虚数部が負の値になる可能性があるため、これらの量を実際に使用するのは困難です。 ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }}$ ${\displaystyle J_{3}}$ ${\displaystyle r}$

広く用いられる不変量のもう一つの関連した集合は、円筒座標系（ハイ・ウェスターガード座標系）を記述する不変量（ ）である。これらは以下のように定義される。 ${\displaystyle \xi ,\rho ,\theta \,}$

${\displaystyle \xi ={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}~I_{1}={\sqrt {3}}~p~;~~\rho ={\sqrt {2J_{2}}}={\sqrt {\tfrac {2}{3}}}~q~;~~\cos(3\theta )=\left({\tfrac {r}{q}}\right)^{3}={\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}~{\cfrac {J_{3}}{J_{2}^{3/2}}}}$

平面はレンデュリック平面とも呼ばれる。角度は応力角と呼ばれ、値はロードパラメータと呼ばれることもある^{[4] [5] [6]。}また、との関係は1951年にノヴォジロフVVによって初めて示された^{[7] 。 [8]}も参照。 ${\displaystyle \xi -\rho \,}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \cos(3\theta )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle J_{2},J_{3}}$

主応力とハイ・ウェスターガード座標は次のように関係している。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\end{bmatrix}}={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}\xi \\\xi \\\xi \end{bmatrix}}+{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}~\rho ~{\begin{bmatrix}\cos \theta \\\cos \left(\theta -{\tfrac {2\pi }{3}}\right)\\\cos \left(\theta +{\tfrac {2\pi }{3}}\right)\end{bmatrix}}={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}\xi \\\xi \\\xi \end{bmatrix}}+{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}~\rho ~{\begin{bmatrix}\cos \theta \\-\sin \left({\tfrac {\pi }{6}}-\theta \right)\\-\sin \left({\tfrac {\pi }{6}}+\theta \right)\end{bmatrix}}\,.}$

文献にはロード角の異なる定義も記載されている: ^[9]

${\displaystyle \sin(3\theta )=~{\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}~{\cfrac {J_{3}}{J_{2}^{3/2}}}}$

この場合、順序付けられた主応力（ここで）は^[10]で関連付けられる。 ${\displaystyle \sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \sigma _{3}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\end{bmatrix}}={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}\xi \\\xi \\\xi \end{bmatrix}}+{\tfrac {\rho }{\sqrt {2}}}~{\begin{bmatrix}\cos \theta -{\tfrac {\sin \theta }{\sqrt {3}}}\\{\tfrac {2\sin \theta }{\sqrt {3}}}\\-{\tfrac {\sin \theta }{\sqrt {3}}}-\cos \theta \end{bmatrix}}\,.}$

降伏面の例

工学ではいくつかの異なる降伏曲面が知られていますが、最も人気のあるものを以下に示します。

トレスカ降伏面

トレスカ降伏条件は、アンリ・トレスカ^[11]によって提唱された。最大せん断応力理論（MSST）やトレスカ・ゲスト^[12] （TG）条件としても知られる。主応力に関して、トレスカ条件は次のように表される。

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\max(|\sigma _{1}-\sigma _{2}|,|\sigma _{2}-\sigma _{3}|,|\sigma _{3}-\sigma _{1}|)=S_{sy}={\tfrac {1}{2}}S_{y}}\!}$

ここで、 はせん断降伏強度、 は引張降伏強度です。 ${\displaystyle S_{sy}}$ ${\displaystyle S_{y}}$

図1は、三次元主応力空間におけるトレスカ・ゲスト降伏面を示しています。これは6辺を持ち、無限長の柱状体です。これは、三次元主応力がすべてほぼ等しい場合（静水圧）、材料はどれだけ圧縮または伸張されても弾性状態を維持することを意味します。しかし、主応力の1つが他の主応力よりも小さくなる（または大きくなる）と、材料はせん断を受けます。このような状況でせん断応力が降伏限界に達すると、材料は塑性領域に入ります。図2は、二次元応力空間におけるトレスカ・ゲスト降伏面を示しています。これは、柱状体の平面に沿った断面です。 ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

図1: 主応力の3次元空間におけるトレスカ-ゲスト降伏面の図

図2: 2次元空間におけるトレスカ-ゲスト降伏面( ) ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

フォン・ミーゼス降伏面

フォン・ミーゼスの降伏条件は主応力で次のように表される。

${\displaystyle {(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}=2{S_{y}}^{2}}\!}$

ここで、一軸引張における降伏強度です。 ${\displaystyle S_{y}}$

図3は、主応力の3次元空間におけるフォン・ミーゼス降伏面を示しています。これは、軸が3つの主応力に対して等角度で傾斜した無限長の円筒です。図4は、トレスカ・ゲストの条件と比較した2次元空間におけるフォン・ミーゼス降伏面を示しています。フォン・ミーゼス円筒の平面での断面は、降伏面の楕円形を形成します。 ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

図3: 主応力の3次元空間におけるフーバー・ミーゼス・ヘンキー降伏面の図

図4: 2次元空間におけるTresca-Guest基準とHuber-Mises-Hencky基準の比較( ) ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

ブルジンスキー・ヤグン基準

この基準^{[13] [14]は}、座標と静水力学的ノードの関数として再定式化され、 ${\displaystyle 1/\gamma _{1}}$ ${\displaystyle 1/\gamma _{2}}$

${\displaystyle 3I_{2}'={\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}I_{1}}{1-\gamma _{1}}}{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}I_{1}}{1-\gamma _{2}}}}$

は静水力軸を中心とした2階回転面の一般的な方程式を表す。いくつかの特殊なケースは以下の通りである：^[15]

• シリンダー（マクスウェル（1865）、フーバー（1904）、フォン・ミーゼス（1913）、ヘンキー（1924））、 ${\displaystyle \gamma _{1}=\gamma _{2}=0}$
• コーン(ボトキン (1940)、ドラッカー・プラガー (1952)、ミロリュボフ (1953))、 ${\displaystyle \gamma _{1}=\gamma _{2}\in ]0,1[}$
• 放物面(Burzyński (1928)、Balandin (1937)、Torre (1947))、 ${\displaystyle \gamma _{1}\in ]0,1[,\gamma _{2}=0}$
• 対称面を中心とした楕円体（ ベルトラミ（1885））、 ${\displaystyle I_{1}=0}$ ${\displaystyle \gamma _{1}=-\gamma _{2}\in ]0,1[}$
• 対称面を中心とする楕円体（ シュライヒャー（1926））、 ${\displaystyle I_{1}={\frac {1}{2}}\,{\bigg (}{\frac {1}{\gamma _{1}}}+{\frac {1}{\gamma _{2}}}{\bigg )}}$ ${\displaystyle \gamma _{1}\in ]0,1[,\gamma _{2}<0}$
• 二枚双曲面（Burzynski (1928)、Yagn (1931)）、 ${\displaystyle \gamma _{1}\in ]0,1[,\gamma _{2}\in ]0,\gamma _{1}[}$
• 対称面を中心とする一枚の双曲面、、 （ Kuhn (1980)） ${\displaystyle I_{1}=0}$ ${\displaystyle \gamma _{1}=-\gamma _{2}=a\,i}$ ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$
• 一枚双曲面（ Filonenko-Boroditsch (1960)、Gol'denblat-Kopnov (1968)、Filin (1975)）。 ${\displaystyle \gamma _{1,2}=b\pm a\,i}$ ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$

圧縮-張力とねじり-張力の関係は次のように計算できる。

${\displaystyle {\frac {\sigma _{-}}{\sigma _{+}}}={\frac {1}{1-\gamma _{1}-\gamma _{2}}},\qquad {\bigg (}{\sqrt {3}}\,{\frac {\tau _{*}}{\sigma _{+}}}{\bigg )}^{2}={\frac {1}{(1-\gamma _{1})(1-\gamma _{2})}}}$

引張および圧縮におけるポアソン比は次のように求められる。

${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }={\frac {-1+2(\gamma _{1}+\gamma _{2})-3\gamma _{1}\gamma _{2}}{-2+\gamma _{1}+\gamma _{2}}}}$

${\displaystyle \nu _{-}^{\mathrm {in} }=-{\frac {-1+\gamma _{1}^{2}+\gamma _{2}^{2}-\gamma _{1}\,\gamma _{2}}{(-2+\gamma _{1}+\gamma _{2})\,(-1+\gamma _{1}+\gamma _{2})}}}$

延性材料の場合、制限

${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }\in {\bigg [}\,0.48,\,{\frac {1}{2}}\,{\bigg ]}}$

脆性破壊に対する回転対称基準の適用は重要である。

${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }\in ]-1,~\nu _{+}^{\mathrm {el} }\,]}$

十分に研究されていない。^[16]

Burzyński-Yagn基準は学術的な目的には適している。実用化のためには、奇数乗と偶数乗の偏差値の3番目の不変量を式に導入する必要がある。例えば、次のようになる。^[17]

${\displaystyle 3I_{2}'{\frac {1+c_{3}\cos 3\theta +c_{6}\cos ^{2}3\theta }{1+c_{3}+c_{6}}}={\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}I_{1}}{1-\gamma _{1}}}{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}I_{1}}{1-\gamma _{2}}}}$

フーバー基準

フーバー基準は、ベルトラミ楕円体と主応力空間におけるスケールドフォンミーゼス円筒から構成され、^{[18] [19] [20] [21] [ 22] [23]}も参照。

${\displaystyle 3\,I_{2}'=\left\{{\begin{array}{ll}\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\,{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }+\gamma _{1}\,I_{1}}{1+\gamma _{1}}},&I_{1}>0\\[1em]\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }}{1-\gamma _{1}}}\,{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }}{1+\gamma _{1}}},&I_{1}\leq 0\end{array}}\right.}$

とします。断面における面間の遷移は連続的に微分可能です。この基準は、非弾性材料の挙動に関する「古典的な見方」を表しています。 ${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,1[}$ ${\displaystyle I_{1}=0}$

• 圧力に敏感な材料の挙動と ${\displaystyle I_{1}>0}$ ${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }\in \left]-1,\,1/2\right]}$
• 圧力に 敏感でない材料の挙動 ${\displaystyle I_{1}<0}$ ${\displaystyle \nu _{-}^{\mathrm {in} }=1/2}$

フーバー基準は、張力 におけるポアソン比 についての経験的制約を伴う降伏面として使用することができ、 が導かれます。 ${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }\in [0.48,1/2]}$ ${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,0.1155]}$

ブルジンスキー平面におけるおよびを用いた修正フーバー基準：法線応力仮説（）に従った設定。比較のためにフォン・ミーゼス基準（）が示されている。C - 単軸圧縮、Cc - 応力関係1:2における二軸圧縮、CC - 等二軸圧縮、CCC - 静水圧圧縮、S または TC - せん断、T - 単軸引張、Tt - 応力関係1:2における二軸引張、TT - 等二軸引張、TTT - 静水圧引張。 ${\displaystyle \gamma _{1}=1/{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle \gamma _{1}=(1+{\sqrt {5}})/6}$ ${\displaystyle \gamma _{2}=(1-{\sqrt {5}})/6}$ ${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }=0}$ ${\displaystyle \nu _{-}^{\mathrm {in} }=\nu _{+}^{\mathrm {in} }=1/2}$

修正フーバー基準^{[24] [23] [ 25]}も参照^[26]

${\displaystyle 3\,I_{2}'=\left\{{\begin{array}{ll}\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\,{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}\,I_{1}}{1-\gamma _{2}}},&I_{1}>-d\,\sigma _{\mathrm {+} }\\[1em]\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }^{2}}{(1-\gamma _{1}-\gamma _{2})^{2}}},&I_{1}\leq -d\,\sigma _{\mathrm {+} }\end{array}}\right.}$

圧縮時のポアソン比の制約を伴うシュライヒャー楕円体で構成される

${\displaystyle \nu _{-}^{\mathrm {in} }=-{\frac {-1+\gamma _{1}^{2}+\gamma _{2}^{2}-\gamma _{1}\,\gamma _{2}}{(-2+\gamma _{1}+\gamma _{2})\,(-1+\gamma _{1}+\gamma _{2})}}={\frac {1}{2}}}$

断面に -遷移を持つ円筒。パラメータと2番目の設定は、圧縮/張力関係に従う。 ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle I_{1}=-d\,\sigma _{\mathrm {+} }}$ ${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,1[}$ ${\displaystyle \gamma _{2}<0}$

${\displaystyle d={\frac {\sigma _{-}}{\sigma _{+}}}={\frac {1}{1-\gamma _{1}-\gamma _{2}}}\geq 1}$

修正Huber基準は、Huber基準と同様に、測定データにより適合しやすい。設定については、およびに従う。 ${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }=0.48}$ ${\displaystyle \gamma _{1}=0.0880}$ ${\displaystyle \gamma _{2}=-0.0747}$

フーバー基準および修正フーバー基準は、フォン・ミーゼス基準よりも優先されるべきである。なぜなら、領域においてより安全な結果が得られるからである。実用上は、これらの基準において偏差の3番目の不変量を考慮する必要がある。^[23] ${\displaystyle I_{1}>\sigma _{\mathrm {+} }}$ ${\displaystyle I_{3}'}$

モール・クーロン降伏面

モール・クーロン降伏（破壊）基準はトレスカ基準に類似していますが、引張降伏強度と圧縮降伏強度の異なる材料に対する追加の規定があります。このモデルは、コンクリート、土壌、または粒状材料のモデル化によく使用されます。モール・クーロン降伏基準は次のように表されます。

${\displaystyle {\frac {m+1}{2}}\max {\Big (}|\sigma _{1}-\sigma _{2}|+K(\sigma _{1}+\sigma _{2})~,~~|\sigma _{1}-\sigma _{3}|+K(\sigma _{1}+\sigma _{3})~,~~|\sigma _{2}-\sigma _{3}|+K(\sigma _{2}+\sigma _{3}){\Big )}=S_{yc}}$

どこ

${\displaystyle m={\frac {S_{yc}}{S_{yt}}};K={\frac {m-1}{m+1}}}$

パラメータとは、それぞれ一軸圧縮および引張における材料の降伏（破壊）応力です。 のとき、この式はトレスカの条件に帰着します。 ${\displaystyle S_{yc}}$ ${\displaystyle S_{yt}}$ ${\displaystyle S_{yc}=S_{yt}}$

図5は、主応力の3次元空間におけるモール・クーロン降伏面を示しています。これは円錐柱であり、円錐面の傾斜角を決定します。図6は、2次元応力空間におけるモール・クーロン降伏面を示しています。図6では、式中のと にそれぞれ使用されています。これは、この円錐柱の 平面における断面です。図6では、式中の Syc と Syt にそれぞれ Rr と Rc が使用されています。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle R_{r}}$ ${\displaystyle R_{c}}$ ${\displaystyle S_{yt}}$ ${\displaystyle S_{yc}}$ ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

図5: 主応力の3次元空間におけるモール・クーロン降伏面の図

図6: 2次元空間におけるモール・クーロン降伏面( ) ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

ドラッカー・プラガー降伏面

ドラッカー・プラーガー降伏条件はフォン・ミーゼス降伏条件に類似しており、引張降伏強度と圧縮降伏強度が異なる材料を扱うための規定を備えています。この条件は、垂直応力とせん断応力の両方が破壊を決定するコンクリートに最もよく用いられます。ドラッカー・プラーガー降伏条件は次のように表されます。

${\displaystyle {\bigg (}{\frac {m-1}{2}}{\bigg )}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})+{\bigg (}{\frac {m+1}{2}}{\bigg )}{\sqrt {\frac {(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}}{2}}}=S_{yc}}$

どこ

${\displaystyle m={\frac {S_{yc}}{S_{yt}}}}$

および は、それぞれ圧縮および引張における一軸降伏応力である。 の場合には、この式はフォン・ミーゼス方程式に帰着する。 ${\displaystyle S_{yc}}$ ${\displaystyle S_{yt}}$ ${\displaystyle S_{yc}=S_{yt}}$

図 7 は、主応力の 3 次元空間における Drucker–Prager 降伏面を示しています。これは、正円錐です。図 8 は、2 次元空間における Drucker–Prager 降伏面を示しています。楕円形の弾性領域は、 の平面上にある円錐の断面です。モール–クーロン降伏面と交差する頂点の数は、自由に選択できます。1 つの選択肢は、直線の両側にある 3 つの頂点でモール–クーロン降伏面と交差することですが、通常は圧縮領域にある頂点が慣例的に選択されます。^[27]もう 1 つの選択肢は、両軸上の 4 つの頂点 (一軸フィット) または対角線上の 2 つの頂点(二軸フィット) でモール–クーロン降伏面と交差することです。^{[28] Drucker–Prager 降伏基準は、}材料の凝集力と摩擦角によって表現されることもよくあります。 ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}=-\sigma _{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{2}}$

図7: 主応力の3次元空間におけるドラッカー・プラガー降伏面の図

図8: 主応力の2次元空間におけるドラッカー・プラガー降伏面の図

ブレスラー・ピスター降伏曲面

ブレスラー・ピスター降伏条件は、3つのパラメータを用いるドラッカー・プラーガー降伏条件の拡張であり、静水圧圧縮下で降伏する材料に関する項が追加されている。主応力の観点から見ると、この降伏条件は次のように表される。

${\displaystyle S_{yc}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]^{1/2}-c_{0}-c_{1}~(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})-c_{2}~(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})^{2}}$

ここで、は材料定数である。追加のパラメータ は、降伏面をその軸に垂直な方向から見たときに楕円形の断面にする。が一軸圧縮における降伏応力、 が一軸引張における降伏応力、 が二軸圧縮における降伏応力であるとすると、これらのパラメータは次のように表される。 ${\displaystyle c_{0},c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{c}}$ ${\displaystyle \sigma _{t}}$ ${\displaystyle \sigma _{b}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}=&\left({\cfrac {\sigma _{t}-\sigma _{c}}{(\sigma _{t}+\sigma _{c})}}\right)\left({\cfrac {4\sigma _{b}^{2}-\sigma _{b}(\sigma _{c}+\sigma _{t})+\sigma _{c}\sigma _{t}}{4\sigma _{b}^{2}+2\sigma _{b}(\sigma _{t}-\sigma _{c})-\sigma _{c}\sigma _{t}}}\right)\\c_{2}=&\left({\cfrac {1}{(\sigma _{t}+\sigma _{c})}}\right)\left({\cfrac {\sigma _{b}(3\sigma _{t}-\sigma _{c})-2\sigma _{c}\sigma _{t}}{4\sigma _{b}^{2}+2\sigma _{b}(\sigma _{t}-\sigma _{c})-\sigma _{c}\sigma _{t}}}\right)\\c_{0}=&c_{1}\sigma _{c}-c_{2}\sigma _{c}^{2}\end{aligned}}}$

図9: 主応力の3次元空間におけるブレスラー・ピスター降伏面の図

図10: 2次元空間におけるブレスラー・ピスター降伏面（） ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

ウィリアム・ワーンケ降伏面

ウィリアム・ワーンケ降伏基準は、モール・クーロン降伏基準の 3 パラメータ平滑化バージョンであり、形式的にはドラッカー・プラガー降伏基準やブレスラー・ピスター降伏基準と類似しています。

降伏基準は関数形を持つ

${\displaystyle f(I_{1},J_{2},J_{3})=0~.}$

しかし、ヘイグ・ウェスターガード座標では次のように表現されることが多い。

${\displaystyle f(\xi ,\rho ,\theta )=0~.}$

表面の断面は、軸に沿って見ると滑らかな三角形になります（モール・クーロン面とは異なります）。ウィリアム・ワーンケ降伏面は凸面であり、その面上のすべての点において一意かつ明確に定義された一次微分と二次微分を持ちます。そのため、ウィリアム・ワーンケモデルは計算的に堅牢であり、様々な摩擦・接着材料に利用されてきました。

図11: 主応力の3次元空間におけるウィリアム・ワーンケ降伏面の図

図12: ウィリアム・ワーンケ降伏面（-面） ${\displaystyle \pi }$

ポドゴルスキーとローゼンダールの三角降伏面

一軸引張応力に関して正規化されたポドゴルスキー基準^[29]は、 応力角の関数として次のように表される。 ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }=\sigma _{+}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }={\sqrt {3\,I_{2}'}}\,{\frac {\Omega _{3}(\theta ,\beta _{3},\chi _{3})}{\Omega _{3}(0,\beta _{3},\chi _{3})}},}$

平面における三角対称の形状関数 ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \Omega _{3}(\theta ,\beta _{3},\chi _{3})=\cos \left[\displaystyle {\frac {1}{3}}\left(\pi \beta _{3}-\arccos[\,\sin(\chi _{3}\,{\frac {\pi }{2}})\,\!\cos 3\,\theta \,]\right)\right],\qquad \beta _{3}\in [0,\,1],\quad \chi _{3}\in [-1,\,1].}$

これには、 のフォン ミーゼス (-平面上の円、、)、トレスカ (正六角形、、)、マリオット (正三角形、、)、イヴレフ^[30] (正三角形、、) の基準、および の Sayir ^[31] (オットーセン基準^[32] )の 3 次基準、および の Capurso 基準^{[30] [31] [33]}の等角 (正六角形) が 含まれます。 フォン ミーゼス - トレスカ遷移^[34]は、で示されます。 シュミット - イシュリンスキー基準 (正六角形) を含むヘイソーンスウェイト基準^{[23] [35] [36]}の等角 (正角) 六角形 は、ポドグルスキ基準では説明できません。 ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \beta _{3}=[0,\,1]}$ ${\displaystyle \chi _{3}=0}$ ${\displaystyle \beta _{3}=1/2}$ ${\displaystyle \chi _{3}=\{1,-1\}}$ ${\displaystyle \beta _{3}=\{0,1\}}$ ${\displaystyle \chi _{3}=\{1,-1\}}$ ${\displaystyle \beta _{3}=\{1,0\}}$ ${\displaystyle \chi _{3}=\{1,-1\}}$ ${\displaystyle \beta _{3}=\{0,1\}}$ ${\displaystyle \chi _{3}=\{1,-1\}}$ ${\displaystyle \beta _{3}=1/2}$ ${\displaystyle \chi _{3}=[0,1]}$

ローゼンダール基準^{[37] [38] [39]}は

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }={\sqrt {3\,I_{2}'}}\,{\frac {\Omega _{6}(\theta ,\beta _{6},\chi _{6})}{\Omega _{6}(0,\beta _{6},\chi _{6})}},}$

平面における六角形対称の形状関数を持つ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \Omega _{6}(\theta ,\beta _{6},\chi _{6})=\cos \left[\displaystyle {\frac {1}{6}}\left(\pi \beta _{6}-\arccos[\,\sin(\chi _{6}\,{\frac {\pi }{2}})\,\!\cos 6\,\theta \,]\right)\right],\qquad \beta _{6}\in [0,\,1],\quad \chi _{6}\in [-1,\,1].}$

これには、フォン・ミーゼス (円、、)、トレスカ (正六角形、、)、シュミット—イシュリンスキー (正六角形、、)、ソコロフスキー (正十二角形、、) の判定基準、および または を伴う双三次判定基準[ ^{23] [37] [40] [41]} と、を伴うYu ^[42]の統一降伏判定基準の等角十二角形が含まれます。イシュリンスキー—イヴレフ判定基準 (正十二角形) を含む六方対称性の乗法的仮説判定基準^[23]の等角十二角形は、ローゼンダール判定基準では説明できません。 ${\displaystyle \beta _{6}=[0,\,1]}$ ${\displaystyle \chi _{6}=0}$ ${\displaystyle \beta _{6}=\{1,0\}}$ ${\displaystyle \chi _{6}=\{1,-1\}}$ ${\displaystyle \beta _{6}=\{0,1\}}$ ${\displaystyle \chi _{6}=\{1,-1\}}$ ${\displaystyle \beta _{6}=1/2}$ ${\displaystyle \chi _{6}=\{1,-1\}}$ ${\displaystyle \beta _{6}=0}$ ${\displaystyle \beta _{6}=1}$ ${\displaystyle \chi _{6}=\{1,-1\}}$

ポドゴルスキとローゼンダールの基準は、主応力空間において、追加の外郭線や平面交差を伴わない単一の面を記述する。数値的な問題を回避するために、形状関数に実部関数を導入することができることに注意されたい。 ^[37]の形式による一般化は、理論的な研究において重要である。 ${\displaystyle Re}$ ${\displaystyle Re(\Omega _{3})}$ ${\displaystyle Re(\Omega _{6})}$ ${\displaystyle \Omega _{3n}}$

基準の圧力感受性拡張は線形置換によって得られる^[23] ${\displaystyle I_{1}}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }\rightarrow {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\qquad {\mbox{with}}\qquad \gamma _{1}\in [0,\,1[,}$

これは、金属、鋳鉄、合金、コンクリート、非強化ポリマーなど、多くの用途に十分です。

平面内の円および三角対称または六角対称の正多角形によって記述される基本的な断面。 ${\displaystyle \pi }$

ビゴニ・ピッコルロアズ降伏面

ビゴニ・ピッコルロアズ降伏条件^{[43] [44]}は、7つのパラメータを持つ曲面であり、

${\displaystyle f(p,q,\theta )=F(p)+{\frac {q}{g(\theta )}}=0,}$

「子午線」関数はどこにありますか ${\displaystyle F(p)}$

${\displaystyle F(p)=\left\{{\begin{array}{ll}-Mp_{c}{\sqrt {(\phi -\phi ^{m})[2(1-\alpha )\phi +\alpha ]}},&\phi \in [0,1],\\+\infty ,&\phi \notin [0,1],\end{array}}\right.}$

${\displaystyle \phi ={\frac {p+c}{p_{c}+c}},}$

圧力感度を記述する「偏差」関数である^[45] ${\displaystyle g(\theta )}$

${\displaystyle g(\theta )={\frac {1}{\cos[\beta {\frac {\pi }{6}}-{\frac {1}{3}}\cos ^{-1}(\gamma \cos 3\theta )]}},}$

降伏のLode依存性を記述する。7つの非負の材料パラメータ：

${\displaystyle \underbrace {M>0,~p_{c}>0,~c\geq 0,~0<\alpha <2,~m>1} _{{\mbox{defining}}~\displaystyle {F(p)}},~~~\underbrace {0\leq \beta \leq 2,~0\leq \gamma <1} _{{\mbox{defining}}~\displaystyle {g(\theta )}},}$

子午線断面と偏差断面の形状を定義します。

この基準は、静水圧引張と圧縮の両方において閉じており、滴状の形状を有する滑らかな凸面を表す。これは、特に摩擦材料や粒状材料の記述に適している。この基準は、角を持つ表面の場合にも一般化されている。^[46]

ビゴニ・ピッコルロアズ降伏面

コサイン・アンザッツ (アルテンバッハ-ボルホウン-コルパエフ)

強度基準の定式化のために、応力角

${\displaystyle \cos 3\theta ={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}{\frac {I_{3}'}{I_{2}'^{\frac {3}{2}}}}}$

使用できます。

等方性材料挙動の次の基準

${\displaystyle (3I_{2}')^{3}{\frac {1+c_{3}\cos 3\theta +c_{6}\cos ^{2}3\theta }{1+c_{3}+c_{6}}}=\displaystyle \left({\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\right)^{6-l-m}\,\left({\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}\,I_{1}}{1-\gamma _{2}}}\right)^{l}\,\sigma _{\mathrm {eq} }^{m}}$

適切なパラメータ値が選択される限り、他のよく知られた、あまり一般的ではない基準もいくつか含まれています。

パラメータと は、 -平面における表面の形状を記述する。これらは制約を受ける。 ${\displaystyle c_{3}}$ ${\displaystyle c_{6}}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle c_{6}={\frac {1}{4}}(2+c_{3}),\qquad c_{6}={\frac {1}{4}}(2-c_{3}),\qquad c_{6}\geq {\frac {5}{12}}\,c_{3}^{2}-{\frac {1}{3}},}$

これらは凸性条件から導かれる。3番目の制約のより正確な定式化は^{[47] [48]で提案されている。}

パラメータと は、降伏面と静水圧軸（主応力空間における空間対角線）の交点の位置を表します。これらの交点は静水圧節点と呼ばれます。静水圧で破壊しない材料（鋼、真鍮など）の場合は となります。静水圧で破壊する材料（硬質フォーム、セラミック、焼結材料など）の場合は となります。 ${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,\,1[}$ ${\displaystyle \gamma _{2}}$ ${\displaystyle \gamma _{2}\in [0,\,\gamma _{1}[}$ ${\displaystyle \gamma _{2}<0}$

整数乗とは子午線の曲率を表します。 の子午線は直線 で、 の子午線は放物線です。 ${\displaystyle l\geq 0}$ ${\displaystyle m\geq 0}$ ${\displaystyle l+m<6}$ ${\displaystyle l=m=0}$ ${\displaystyle l=0}$

バルラットの降伏面

異方性材料の場合、適用される加工（例えば、圧延）の方向に応じて機械的特性が変化するため、異方性降伏関数の使用が不可欠です。1989年以来、フレデリック・バルラは塑性異方性の構成モデル化のための降伏関数群を開発してきました。その中でも、Yld2000-2D降伏基準は、幅広い種類の板金（例えば、アルミニウム合金や先進高強度鋼）に適用されてきました。Yld2000-2Dモデルは、応力テンソルの2つの線形変換に基づく非二次関数型降伏関数です。

${\displaystyle \Phi =\Phi '(X')+\Phi ''(X'')=2{{\bar {\sigma }}^{a}}}$ :

AA6022 T4 シートの Yld2000-2D 収量遺伝子座。

ここで、有効応力です。および、は変換された行列です（線形変換CまたはLによって）。 ${\displaystyle {\bar {\sigma }}}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X''}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}X'=C'.s=L'.\sigma \\X''=C''.s=L''.\sigma \end{array}}}$

ここで、s は偏差応力テンソルです。

X'とX”の主値については、モデルは次のように表現できます。

${\displaystyle {\begin{array}{l}\Phi '={\left|{{{X'}_{1}}+{{X'}_{2}}}\right|^{a}}\\\Phi ''={\left|{2{{X''}_{2}}+{{X''}_{1}}}\right|^{a}}+{\left|{2{{X''}_{1}}+{{X''}_{2}}}\right|^{a}}\end{array}}\ }$

そして：

${\displaystyle \left[{\begin{array}{*{20}{c}}{{L'}_{11}}\\{{L'}_{12}}\\{{L'}_{21}}\\{{L'}_{22}}\\{{L'}_{66}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{2/3}&0&0\\{-1/3}&0&0\\0&{-1/3}&0\\0&{-2/3}&0\\0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha _{1}}\\{\alpha _{2}}\\{\alpha _{7}}\end{array}}\right],\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{{L''}_{11}}\\{{L''}_{12}}\\{{L''}_{21}}\\{{L''}_{22}}\\{{L''}_{66}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{-2}&2&8&{-2}&0\\1&{-4}&{-4}&4&0\\4&{-4}&{-4}&4&0\\{-2}&8&2&{-2}&0\\0&0&0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha _{3}}\\{\alpha _{4}}\\{\alpha _{5}}\\{\alpha _{6}}\\{\alpha _{8}}\end{array}}\right]}$

ここで、一連の実験で識別される Barlat の Yld2000-2D モデルの 8 つのパラメーターです。 ${\displaystyle \alpha _{1}...\alpha _{8}}$

参照

• 収量（エンジニアリング）
• 可塑性（物理学）
• ストレス
• アンリ・トレスカ
• フォン・ミーゼス応力
• モール・クーロン理論
• ヒル降伏基準
• ホスフォード降伏基準
• 歪み
• ひずみテンソル
• 応力エネルギーテンソル
• 応力集中
• 3D弾性
• フレデリック・バルラ

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