若い尺度

数学的解析において、ヤング測度とは、与えられた有界な測定可能関数列の特定の部分列に関連付けられたパラメータ化された測度である。ヤング測度は、極限における列の振動効果を定量化するものである。ヤング測度は、変分法、特に材料科学のモデル、非線形偏微分方程式の研究、そして様々な最適化（あるいは最適制御問題）に応用されている。ヤング測度は、1937年に1次元（曲線）で、後に1942年に高次元で発明したローレンス・チザム・ヤングにちなんで名付けられている。^{[ 1 ]}

ヤング測度はヒルベルトの第20問題の解を与える。変分法における幅広い問題がヤング測度の形で解を持つからである。^{[ 2 ]}

意味

直感

ヤングは、変分法における通常の曲線の集合を完備化するためにヤング測度を構築した。つまり、ヤング測度は「一般化曲線」である。^{[ 2 ]}

の問題を考えてみましょう。ここで はとなる関数であり、連続的に微分可能です。値がゼロに近く、傾きが に近いものを選ぶべきであることは明らかです。つまり、曲線はx軸に密着したギザギザの線になるはずです。 の最小値に達する関数は存在しませんが、 となるような、次第にギザギザが大きくなる関数の列を構築することができます。 ${\displaystyle \min _{u}I(u)=\int _{0}^{1}(u'(x)^{2}-1)^{2}+u(x)^{2}dx}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u(0)=u(1)=0}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle I=0}$ ${\displaystyle u_{1},u_{2},\dots }$ ${\displaystyle I(u_{n})\to 0}$

点ごとの極限は恒等的にゼロであるが、点ごとの極限は存在しない。代わりに、質量の半分が に、残りの半分が にかかる微細な霧となる。 ${\displaystyle \lim u_{n}}$ ${\displaystyle \lim _{n}u_{n}'}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle -1}$

が によって定義される関数であり、が連続であるとすると、の弱い意味では、は値がゼロで導関数が である「関数」と定義できます。特に、 が成り立つことを意味します。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F(u)=\int _{0}^{1}f(t,u(t),u'(t))dt}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \lim _{n}F(u_{n})={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}f(t,0,-1)dt+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}f(t,0,+1)dt}$$ ${\displaystyle \lim _{n}u_{n}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\delta _{-1}+{\frac {1}{2}}\delta _{+1}}$ ${\displaystyle I(\lim _{n}u_{n})=0}$

モチベーション

ヤング測度の定義は、次の定理に基づく。m 、nを任意の正の整数とし、 をの有界開部分集合とし、をにおける有界列とする。すると、ほぼすべてのボレル確率測度に対して、部分列とが存在し、それぞれに対して次式 が成り立つ。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \{f_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{p}(U,\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle \{f_{k_{j}}\}_{j=1}^{\infty }\subset \{f_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle \nu _{x}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle F\in C(\mathbb {R} ^{m})}$

${\displaystyle F\circ f_{k_{j}}(x){\rightharpoonup }\int _{\mathbb {R} ^{m}}F(y)d\nu _{x}(y)}$

極限が存在する場合、 において弱く となる（の場合はにおいて弱く* となる）。これらの測度は、数列 によって生成されるヤング測度と呼ばれる。 ${\displaystyle L^{p}(U)}$ ${\displaystyle L^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle p=+\infty }$ ${\displaystyle \nu _{x}}$ ${\displaystyle \{f_{k_{j}}\}_{j=1}^{\infty }}$

部分的な逆も真です。つまり、それぞれに対してとなるようなボレル測度がある場合、 で有界となり、上記と同じ弱収束特性を持つ シーケンス が存在します。 ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle \nu _{x}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \int _{U}\int _{\mathbb {R} ^{m}}\|y\|^{p}d\nu _{x}(y)dx<+\infty }$ ${\displaystyle \{f_{k}\}_{k=1}^{\infty }\subseteq L^{p}(U,\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle L^{p}(U,\mathbb {R} ^{m})}$

より一般的には、任意のカラテオドリー関数 に対して、極限 ${\displaystyle G(x,A):U\times R^{m}\to R}$

${\displaystyle \lim _{j\to \infty }\int _{U}G(x,f_{j}(x))\ dx,}$

^{存在する場合は、 [ 3 ]}で与えられる。

${\displaystyle \int _{U}\int _{\mathbb {R} ^{m}}G(x,A)\ d\nu _{x}(A)\ dx}$。

この場合のヤングの元々の考えは、各整数に対して、関数のグラフに集中した 一様測度を考えるというものだった（ここで、は上のルベーグ測度の制限である）。これらの測度の弱*極限を の要素としてとることで、 ${\displaystyle G\in C_{0}(U\times \mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle j\geq 1}$ ${\displaystyle \Gamma _{j}:=(id,f_{j})_{\sharp }L^{d}\llcorner U,}$ ${\displaystyle f_{j}.}$ ${\displaystyle L^{d}\llcorner U}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle C_{0}(U\times \mathbb {R} ^{m})^{\star },}$

${\displaystyle \langle \Gamma _{j},G\rangle =\int _{U}G(x,f_{j}(x))\ dx\to \langle \Gamma ,G\rangle ,}$

ここでは前述の弱極限です。積空間上で測度を分解すると、パラメータ化された測度 が得られます。 ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Omega \times \mathbb {R} ^{m},}$ ${\displaystyle \nu _{x}}$

一般的な定義

を任意の正の整数とし、をの有界開集合とし、 とします。ヤング測度（有限pモーメントを持つ）は、 となるような 上のボレル確率測度の族です。 ${\displaystyle m,n}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p\geq 1}$ ${\displaystyle \{\nu _{x}:x\in U\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \int _{U}\int _{\mathbb {R} ^{m}}\|y\|^{p}d\nu _{x}(y)dx<+\infty }$

例

点収束列

ヤング測度の自明な例としては、数列がで有界であり、 のほぼすべての点で関数に収束する場合が挙げられる。この場合、ヤング測度はディラック測度となる。 ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle L^{\infty }(U,\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \nu _{x}=\delta _{f(x)},\quad x\in U.}$

実際、優勢収束定理により、は弱収束*し、 ${\displaystyle F(f_{n}(x))}$ ${\displaystyle L^{\infty }(U)}$

${\displaystyle F(f(x))=\int F(y)\,{\text{d}}\delta _{f(x)}}$

任意の。 ${\displaystyle F\in C(\mathbb {R} ^{n})}$

正弦の列

それほど単純ではない例としては、シーケンス

${\displaystyle f_{n}(x)=\sin(nx),\quad x\in (0,2\pi ).}$

対応するヤング測度は^{[ 4 ]を満たす。}

${\displaystyle \nu _{x}(E)={\frac {1}{\pi }}\int _{E\cap [-1,1]}{\frac {1}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,{\text{d}}y,}$

任意の測定可能な集合 に対して、 とは独立である。言い換えれば、任意の に対して： ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x\in (0,2\pi )}$ ${\displaystyle F\in C(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle F(f_{n}){\rightharpoonup }^{*}{\frac {1}{\pi }}\int _{-1}^{1}{\frac {F(y)}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,{\text{d}}y}$

において、ヤング測度は に依存しないので、弱*極限は常に定数です。 ${\displaystyle L^{\infty }((0,2\pi ))}$ ${\displaystyle x}$

これを直感的に理解するために、 が大きい の極限において、 の長方形がの曲線の一部を捉えることを考えてみましょう。その捉えた部分をx軸に投影します。その投影の長さは であり、これは が確率密度が である微細な霧のように見えることを意味します。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [x,x+\delta x]\times [y,y+\delta y]}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle {\frac {2\delta x\delta y}{\sqrt {1-y^{2}}}}}$ ${\displaystyle \lim _{n}f_{n}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\pi {\sqrt {1-y^{2}}}}}}$ ${\displaystyle x}$

シーケンスの最小化

漸近的に最小となるすべての 列に対して ${\displaystyle u_{n}}$

${\displaystyle I(u)=\int _{0}^{1}(u'(x)^{2}-1)^{2}+u(x)^{2}dx}$

は の条件を満たす（つまり、数列は を満たす）場合があり、部分数列に移行した後、導関数の数列はの形のヤング測度を生成する可能性がある。これは、この問題に対するすべての最小化数列の本質的な特徴、すなわち、それらの導関数は積分関数 の最小値に沿って集中する傾向があることを表している。 ${\displaystyle u(0)=u(1)=0}$ ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }I(u_{n})=\inf _{u\in C^{1}([0,1])}I(u)}$ ${\displaystyle u'_{n}}$ ${\displaystyle \nu _{x}={\frac {1}{2}}\delta _{-1}+{\frac {1}{2}}\delta _{1}}$ ${\displaystyle u'_{k}(x)}$ ${\displaystyle \{-1,1\}}$ ${\displaystyle (u'(x)^{2}-1)^{2}+u(x)^{2}}$

を取ると、その極限値はゼロになり、導関数はとなり、 となります。 ${\displaystyle \lim _{n}{\frac {\sin(2\pi nt)}{2\pi n}}}$ ${\displaystyle \nu (dy)={\frac {1}{\pi {\sqrt {1-y^{2}}}}}dy}$ ${\displaystyle \lim I={\frac {1}{\pi }}\int _{-1}^{+1}(1-y^{2})^{3/2}dy}$

参照

• 凸コンパクト化

参考文献

1. Young, LC (1942). 「変分法における一般化曲面」 . Annals of Mathematics . 43 (1): 84– 103. doi : 10.2307/1968882 . ISSN  0003-486X . JSTOR  1968882 .
2. Balder、Erik J.「若者対策に関する講義」。Cahiers de Mathématiques de la Decision 9517 (1995)。
3. ペドレガル、パブロ (1997).パラメトリゼーションされた測度と変分原理. バーゼル: ビルクハウザー出版. ISBN 978-3-0348-8886-8. OCLC  812613013 .
4. Dacorogna, Bernard (2006).非線形関数の弱連続性と弱下半連続性. Springer.

• Ball, JM (1989). 「ヤング測度の基本定理の版」. Rascle, M.; Serre, D.; Slemrod, M. (編).偏微分方程式と相転移の連続体モデル：1988年1月18～22日にフランス・ニースで開催されたNSF-CNRS合同セミナーの議事録. Lecture Notes in Physics . 第344巻. ベルリン：Springer. pp.  207– 215. doi : 10.1007/BFb0024945 . ISBN 3-540-51617-4. ISSN  0075-8450 .
• チャールズ・カスタン、ポール・レイノー・ド・フィット、ミシェル・ヴァラディエ (2004).位相空間上のヤング測度：制御理論と確率理論への応用. ドルドレヒト：クルーワー・アカデミック・パブリッシャーズ（現シュプリンガー）. doi : 10.1007/1-4020-1964-5 . ISBN 978-1-4020-1963-0。
• LC Evans (1990).非線形偏微分方程式の弱収束法. 数学地域会議シリーズ.アメリカ数学会.
• S. Müller (1999).変分モデルによるミクロ構造と相転移. 数学講義ノート. Springer .
• P. Pedregal (1997).パラメータ化された測度と変分原理. バーゼル: ビルクハウザー. ISBN 978-3-0348-9815-7。
• T. Roubíček (2020). 『最適化理論と変分計算における緩和』（第2版） . ベルリン: W. de Gruyter. doi : 10.1515/9783110590852 . ISBN 978-3-11-059085-2。
• Valadier, M. (1990). 「Young測度」. Cellina, A. (編).非凸解析法.数学講義ノート. 第1446巻. ベルリン: Springer. pp.  152– 188. doi : 10.1007/BFb0084935 . ISBN 3-540-53120-3。
• Young, LC (1937)、「変分計算における一般化曲線と達成された絶対最小値の存在」、Comptes Rendus des Séances de la Société des Sciences et des Lettres de Varsovie、Classe III、XXX ( 7–9 ): 211–234、JFM  63.1064.01、Zbl  0019.21901スタニスワフ・サックスが1937年12月16日のワルシャワ科学文学協会の総会で発表した回顧録。無料のPDF版はRCIN（科学研究所デジタルリポジトリ）から入手可能です。
• ヤング、LC（1969）、変分法と最適制御に関する講義、フィラデルフィア・ロンドン・トロント：WBサンダース、pp. xi+331、ISBN 9780721696409、MR  0259704、Zbl  0177.37801。

外部リンク

• 「ヤング測度」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]

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