湯川カップリング

Type of interaction between scalars and fermions

素粒子物理学において、湯川結合または湯川相互作用は、湯川秀樹にちなんで名付けられ、湯川ポテンシャルに基づく粒子間の相互作用である。具体的には、スカラー場（または擬スカラー場）と、次の型のディラック場との間の相互作用である。 ${\displaystyle \ \phi \ }$ ${\displaystyle \ \psi \ }$

${\displaystyle ~V=g\,{\bar {\psi }}\,\phi \,\psi }$ (スカラー) または(疑似スカラー)。  ${\displaystyle g\,{\bar {\psi }}\,i\,\gamma ^{5}\,\phi \,\psi }$ 

湯川結合は、ハドロン間の強い力をモデル化するために開発されました。湯川結合は、パイオン（擬スカラー中間子）を介して核子間に働く核力を表すために使用されます。

湯川結合は、標準模型においても、ヒッグス場と質量のないクォークおよびレプトン場（すなわち、基本的なフェルミオン粒子）との結合を記述するために用いられている。自発的対称性の破れにより、これらのフェルミオンはヒッグス場の真空期待値に比例した質量を獲得する。このヒッグス-フェルミオン結合は、1967年にスティーブン・ワインバーグによってレプトンの質量をモデル化するために初めて記述された。^[1]

古典的な潜在能力

2 つのフェルミオンが、質量 の湯川粒子を介して湯川相互作用によって相互作用する場合、2 つの粒子間のポテンシャル (湯川ポテンシャル )は次のようになります。 ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle V(r)=-{\frac {g^{2}}{\,4\pi \,}}\,{\frac {1}{\,r\,}}\,e^{-\mu r}}$$

これは、符号と指数係数を除けばクーロンポテンシャルと同じです。符号によって、すべての粒子間の相互作用は引力になります（電磁相互作用は、同じ電荷符号の粒子間では斥力になります）。これは、湯川粒子のスピンがゼロであり、スピンがゼロであっても常に引力ポテンシャルが生じるという事実によって説明されます。 （量子場の理論^[2]の重要な結果は、パイオン（スピン 0、湯川力）やグラビトン（スピン 2、重力）のような偶数スピンのボソンの交換では常に引力が生じるのに対し、グルーオン（スピン 1、強い相互作用）、光子（スピン1、電磁力） 、ロー中間子（スピン 1、湯川型相互作用）のような奇数スピンのボソンでは、異電荷間では引力が生じ、同電荷間では反発力が生じるということです。）指数関数の負の符号は相互作用に有限の有効範囲を与えるため、遠距離にある粒子はほとんど相互作用しなくなります（相互作用力は距離が離れるにつれて指数関数的に減少します）。

他の力に関しては、湯川ポテンシャルの形はファラデーによって導入された磁力線図によって幾何学的に解釈できる。1/r⁠ の部分は、空間における磁力線フラックスの希​​釈に起因します。力は、基本面を横切る磁力線の数に比例します。磁力線は力の源から等方的に放射され、基本面と源の間の距離rは、表面の見かけの大きさ（立体角）を次のように変化させるため、 ⁠1/r ²⁠力はまた、 ⁠1/r ²⁠ 依存関係。これは⁠1/r⁠ポテンシャルの一部です。さらに、交換された中間子は不安定で、寿命は有限です。中間子の消失（放射性崩壊）は表面を通過するフラックスの減少を引き起こし、湯川ポテンシャルの指数関数的係数を追加します。光子などの質量のない粒子は安定であるため、 ⁠ ${\displaystyle ~e^{-\mu r}~}$1/r⁠ポテンシャル。（ただし、グルーオンやグラビトンなどの他の質量のない粒子は、一般には⁠1/r⁠ポテンシャルは互いに相互作用し、場のパターンを歪めるため、⁠ ポテンシャルと呼ばれます。この自己相互作用が無視できる場合、例えば弱い場の重力（ニュートン力学）や強い相互作用（漸近的自由）の非常に短い距離などでは、 ⁠1/r⁠潜在能力が回復します。

アクション

湯川相互作用は、スカラー場（または擬スカラー場）ϕとディラック場 ψの間の相互作用であり、その型は

${\displaystyle V\approx g\,{\bar {\psi }}\,\phi \,\psi }$ (スカラー) または(擬似スカラー)。  ${\displaystyle g\,{\bar {\psi }}\,i\,\gamma ^{5}\,\phi \,\psi }$ 

ディラック重粒子場と相互作用する中間子場の作用は ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$

$${\displaystyle S[\phi ,\psi ]=\int \left[\,{\mathcal {L}}_{\mathrm {meson} }(\phi )+{\mathcal {L}}_{\mathrm {Dirac} }(\psi )+{\mathcal {L}}_{\mathrm {Yukawa} }(\phi ,\psi )\,\right]\mathrm {d} ^{n}x}$$

ここで積分はn次元にわたって行われる。典型的な4次元時空ではn = 4であり、 ${\displaystyle \mathrm {d} ^{4}x\equiv \mathrm {d} x_{1}\,\mathrm {d} x_{2}\,\mathrm {d} x_{3}\,\mathrm {d} x_{4}~.}$

中間子ラグランジアンは次のように与えられる。 $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {meson} }(\phi )={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \;\partial _{\mu }\phi -V(\phi )~.}$$

ここで、は自己相互作用項です。自由場質量を持つ中間子の場合、 は中間子の質量です。（繰り込み可能な、多項式）自己相互作用場の場合、はλです。λは結合定数です。このポテンシャルについては、四次相互作用に関する記事で詳しく検討されています。 ${\displaystyle ~V(\phi )~}$ ${\textstyle ~V(\phi )={\frac {1}{2}}\,\mu ^{2}\,\phi ^{2}~}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\textstyle V(\phi )={\frac {1}{2}}\,\mu ^{2}\,\phi ^{2}+\lambda \,\phi ^{4}}$

自由場ディラックラグランジアンは次のように与えられる。 $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {Dirac} }(\psi )={\bar {\psi }}\,\left(i\,\partial \!\!\!/-m\right)\,\psi }$$

ここで、 mはフェルミオンの実数値の正の質量です。

湯川相互作用項は $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {Yukawa} }(\phi ,\psi )=-g\,{\bar {\psi }}\,\phi \,\psi }$$

ここでgはスカラー中間子の（実）結合定数であり、

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {Yukawa} }(\phi ,\psi )=-g\,{\bar {\psi }}\,i\,\gamma ^{5}\,\phi \,\psi }$$

擬スカラー中間子の場合。これらをまとめると、より明確に次のように書ける。

$${\displaystyle S[\phi ,\psi ]=\int \left[{\tfrac {1}{2}}\,\partial ^{\mu }\phi \;\partial _{\mu }\phi -V(\phi )+{\bar {\psi }}\,\left(i\,\partial \!\!\!/-m\right)\,\psi -g\,{\bar {\psi }}\,\phi \,\psi \,\right]\mathrm {d} ^{n}x~.}$$

標準モデルにおけるヒッグス粒子との結合

標準モデルにおける自発的な対称性の破れに影響を与えるヒッグス場への湯川結合項は、対称的な方法でフェルミオン質量の原因となります。

ポテンシャルが最小値を持つ場合、その値は ではなく、ある非ゼロ値であると仮定する。これは、例えば のようなポテンシャル形式で起こり得る。この場合、ラグランジアンは自発的に対称性を破る。これは、場の非ゼロ値が真空に作用するとき、非ゼロの真空期待値 を持つためである。 ${\displaystyle ~V(\phi )~}$ ${\displaystyle ~\phi =0~,}$ ${\displaystyle ~\phi _{0}~.}$ ${\displaystyle ~V(\phi )=\lambda \,\phi ^{4}~-\mu ^{2}\,\phi ^{2}}$ ${\displaystyle ~\phi ~}$ ${\displaystyle ~\phi ~.}$

標準模型では、この非ゼロ期待値は、模型のカイラル対称性がフェルミオンの質量を排除しているように見えるにもかかわらず、フェルミオンの質量の原因となっている。質量項を示すために、作用は導来場（位置に依存しない定数）で再表現することができる。これは、湯川項に成分が含まれており、 gとgはどちらも定数であるため、項は等価質量を持つフェルミオンの質量項として現れることを意味する。このメカニズムは、自発的対称性の破れがフェルミオンに質量を与える手段である。スカラー場はヒッグス場として知られている。 ${\displaystyle \phi '=\phi -\phi _{0}~,}$ ${\displaystyle ~\phi _{0}~}$ $${\displaystyle ~g\,\phi _{0}\,{\bar {\psi }}\,\psi ~}$$ ${\displaystyle \phi _{0}}$ ${\displaystyle ~g\,\phi _{0}~.}$ ${\displaystyle \phi '~}$

標準模型における任意のフェルミオンに対する湯川結合は、理論への入力となる。これらの結合の根本的な理由は不明であり、より優れた、より深い理論によって説明されるべきものである。

マヨラナ形式

スカラーとマヨラナ場の間にも湯川相互作用が存在する可能性がある。実際、スカラーとディラックスピノルを含む湯川相互作用は、同じ質量を持つ2つのマヨラナスピノルを持つスカラーを含む湯川相互作用と考えることができる。2つのカイラルマヨラナスピノルの観点から分解すると、 $${\displaystyle S[\phi ,\chi ]=\int \left[\,{\frac {1}{2}}\,\partial ^{\mu }\phi \;\partial _{\mu }\phi -V(\phi )+\chi ^{\dagger }\,i\,{\bar {\sigma }}\,\cdot \,\partial \chi +{\frac {i}{2}}\,(m+g\,\phi )\,\chi ^{\top }\,\sigma ^{2}\,\chi -{\frac {i}{2}}\,(m+g\,\phi )^{*}\,\chi ^{\dagger }\,\sigma ^{2}\,\chi ^{*}\,\right]\mathrm {d} ^{n}x}$$

ここで、 gは複素結合定数、mは複素数、nは上記のように次元数です。

参照

• 記事「湯川ポテンシャル」では、ファインマン則の簡単な例と、湯川相互作用を含むファインマン図からの散乱振幅の計算を示します。

参考文献

1. Weinberg, Steven (1967-11-20). 「レプトンのモデル」. Physical Review Letters . 19 (21): 1264– 1266. Bibcode :1967PhRvL..19.1264W. doi : 10.1103/PhysRevLett.19.1264 .
2. A. Zee (2010). 「I.5.量子場理論入門（第2版）」. World Scientific. ISBN 978-0691140346。

• イツィクソン、クロード、ズーバー、ジャン＝ベルナール (1980). 『量子場の理論』 ニューヨーク：マグロウヒル. ISBN 0-07-032071-3。
• ビョルケン、ジェームズ・D.、ドレル、シドニー・D. (1964). 『相対論的量子力学』 ニューヨーク：マグロウヒル. ISBN 0-07-232002-8。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
• ペスキン、マイケル・E. ; シュローダー、ダニエル・V. (1995). 『量子場の理論入門』アディソン・ウェスレー. ISBN 0-201-50397-2。

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