数学演算
数学において、ザック変換[1] [2] （ゲルファント写像とも呼ばれる）は、1変数の関数を入力として受け取り、2変数の関数を出力する演算である。出力関数は、入力関数のザック変換と呼ばれる。この変換は、各項が関数の整数による平行移動の拡大と指数関数の積である無限級数として定義される。ザック変換を信号処理に応用する場合、入力関数は信号を表し、変換は信号の時間・周波数混合表現となる。信号は実数値または複素数値であり、連続集合（例えば、実数）または離散集合（例えば、整数または整数の有限部分集合）で定義される。ザック変換は、離散フーリエ変換の一般化である。[1] [2]
ザック変換は、異なる分野の複数の人物によって発見され、様々な名前で呼ばれていました。イスラエル・ゲルファンドが固有関数展開に関する研究で導入したことから、「ゲルファンド写像」と呼ばれていました。この変換は1967年にジョシュア・ザックによって独立に再発見され、「kq表現」と名付けられました。ザックはより一般的な設定でこの変換を体系的に研究し、その有用性を認識した最初の人物であったため、この分野の専門家の間では、これをザック変換と呼ぶことに一般的な合意があるようです。[1] [2]
連続時間Zak変換を定義する際、入力関数は実変数の関数です。したがって、f ( t ) を実変数tの関数とします。 f ( t )の連続時間Zak変換は、2つの実変数の関数であり、そのうちの1つはtです。もう1つの変数はwで表されます。連続時間Zak変換は様々な方法で定義されています。
定義1
aを正の定数とする。f ( t )のザック変換はZ a [ f ]で表され、 [1]で定義されるtとwの関数である。
={\sqrt {a}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(at+ak)e^{-2\pi kwi}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
。
定義2
定義1においてa = 1としたときの特殊なケースは、ザック変換の定義として採用されることがある。[2]この特殊なケースでは、 f ( t )のザック変換はZ [ f ]と表記される。
- 。
定義3
Z [ f ]という表記は、ザック変換の別の形式を表すために使用されます。この形式では、f ( t ) のザック変換は次のように定義されます。
- 。
定義4
Tを正の定数とする。f ( t )のザック変換はZ T [ f ]で表され、 tとwの関数であり、[2]で定義される。
- 。
ここで、tとwは0 ≤ t ≤ Tおよび0 ≤ w ≤ 1/ Tという条件を満たすものと仮定します。
例
関数のザック変換
は次のように与えられる。
ここで、 は（天井関数）以上の最小の整数を表します。
以下では、Zak 変換が定義 2 に示されているとおりであると仮定します。
1. 直線性
aとbを任意の実数または複素数とする。すると
2. 周期性
3. 準周期性
4. 活用
5. 対称性
- f ( t ) が偶数ならば
- f ( t ) が奇数ならば
6. 畳み込み
変数tに関する畳み込みを表すとします。
関数の Zak 変換が与えられた場合、関数は次の式を使用して再構築できます。
を整数変数（列）の関数とします。の離散ザック変換は2つの実変数の関数であり、そのうちの1つは整数変数 です。もう1つの変数は実変数で、 と表記されます。離散ザック変換は様々な定義がなされてきましたが、以下ではそのうちの1つの定義のみを示します。
意味
関数の離散ザック変換は、 で表される整数変数であり、次のように定義されます。
関数の離散変換が与えられた場合、関数は次の式を使用して再構築できます。
アプリケーション
ザック変換は、物理学における量子場理論[3]、電気工学における信号の時間周波数表現、そしてデジタルデータ伝送において、効果的に利用されてきました。ザック変換は数学にも応用されており、例えばガボール表現問題に利用されています。
参考文献
- ^ abcd 「ザック変換」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
- ^ abcde Alexander D. Poularikas編 (2010). Transforms and Applications Handbook (第3版). CRC Press. pp. 16.1 – 16.21 . ISBN 978-1-4200-6652-4。
- ^ J. クラウダー、BS Skagerstam (1985)。コヒーレントな状態。世界科学。
={\sqrt {a}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(at+ak)e^{-2\pi kwi}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2716c01afca29abf8e2713e17ad6ebf387863084)
=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(t+k)e^{-2\pi kwi}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14c43d62184c3a075028d9c18b74292496c651fe)
=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(t+k)e^{-k\nu i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03e958a39d25befa4a6fd445276fc4bb970f7c44)
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=e^{-2\pi \lceil -t\rceil wi}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ab11bd42c3ec35805b4eec37bc3b4dcef991701)
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=e^{2\pi wi}Z[f](t,w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa701c5ded113f55a854751c5404319e66ded1d7)
={\overline {Z[f]}}(t,-w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c119a4a1d4013401b61f7081987514013f66d7c)
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=-Z[f](-t,-w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89e675761f9de84fa1d3d6eb74a3e21c7b1517d0)
=Z[f](t,w)\star Z[g](t,w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ea544b7c8197316779bb619506a5cb1f409b92c)
\,dw.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4052cca8190c1fb5fcc884030a68b685dd68f008)
![{\displaystyle Z[f]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e901e66f65cb937c058578ef158093ef853b3b5)
=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(n+k)e^{-2\pi kwi}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76b8e17b2749a8f92d67b64212b5f07d98c3e7f1)
\,dw.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b88f2f755b0afd39e0a95f0c142fddff20caa30d)