コンウェイ多面体記法

幾何学と位相幾何学において、ジョン・ホートン・コンウェイによって発明され、ジョージ・W・ハートによって推進されたコンウェイ多面体記法は、様々な前置演算によって修正された種多面体に基づいて多面体を記述するために使用される。^[1]^[2]

Conway と Hart は、 Keplerによって定義された切り捨てなどの演算子を使用して、同じ対称性の関連する多面体を構築するというアイデアを拡張しました。たとえば、 $tC は$ 切り取られた立方体を表し、 $taCは$ $t$ $($ $aC$ $)$ と解析され、（位相的には）切り取られた立方八面体です。最も単純な演算子dual は頂点と面の要素を交換します。たとえば、デュアル立方体は八面体です： $dC$ $=$ $O$ 。これらの演算子を連続して適用すると、多くのより高次の多面体を生成できます。Conway は演算子 $a$ (ambo)、 $b$ ( bevel )、 $d$ ( dual ) 、 $e$ ( expand )、 $g$ ( gyro )、 $j ( join )、$ $k$ ( kis )、 $m$ ( meta )、 $o$ ( ortho )、 $s$ ( snub )、および $t$ ( truncate ) を定義し、 Hart は $r$ ( reflect ) と $p$ ( propellor ) を追加しました。^[3]後の実装では、さらに演算子が名付けられ、「拡張」演算子と呼ばれることもあります。^[4]^{[5]コンウェイの基本演算は、}プラトン立体からアルキメデス立体とカタラン立体を生成するのに十分です。いくつかの基本演算は、他の演算の合成として行うことができます。例えば、amboを2回適用すると展開演算（ $aa$ $=$ $e$ ）となり、amboの後に切り捨てを行うとベベル（ $ta$ $=$ $b$ ）が生成されます。

多面体は、頂点、辺、面がどのように繋がっているかという位相的な観点から、あるいはそれらの要素が空間的にどのように配置されているかという幾何学的な観点から研究することができます。これらの演算子の異なる実装によって、幾何学的には異なるものの位相的に等価な多面体が生成されることがあります。これらの位相的に等価な多面体は、球面上への多面体グラフの多くの埋め込みの1つと考えることができます。特に明記しない限り、この記事（および一般的なコンウェイ演算子に関する文献）では、位相が主な関心事です。種数0（つまり球面と位相的に等価）の多面体は、曖昧さを避けるために標準的な形で表されることがよくあります。

オペレーター

コンウェイ記法では、多面体に対する演算は関数のように右から左へ適用されます。例えば、立方八面体はアンボキューブ^[6]、すなわち⁠ ⁠ $a(C)=aC$ であり、切頂立方八面体は⁠ ⁠ $t(a(C))=t(aC)=taC$ です。演算子の繰り返し適用は指数を用いて表すことができます：j ² = o。一般に、コンウェイ演算子は可換ではありません。

個々の演算子は、以下のように、基本領域（またはチャンバー）で視覚化できます。各直角三角形は基本領域です。各白いチャンバーは他のチャンバーを回転させたものであり、各色付きチャンバーも同様です。アキラル演算子の場合、色付きチャンバーは白いチャンバーの反射であり、すべて推移的です。群では、アキラル演算子は二面体群 $D n$ ( nは面の数) に対応し、カイラル演算子は二面体群の鏡映対称性を欠く巡回群 $C n$ に対応します。アキラル演算子とカイラル演算子は、それぞれ局所対称性保存操作 (LSP) と方向保存対称性保存局所操作 (LOPSP) とも呼ばれます。^[7]^[8]^[9] LSP は、局所対称性を保存する操作ではなく、対称性を保存する局所操作として理解する必要があります。繰り返しますが、これらは位相的な意味での対称性であり、幾何学的な意味での対称性ではありません。正確な角度と辺の長さは異なる場合があります。

辺を持つ面の基本領域 $n$
3（三角形）	4（正方形）	5（ペンタゴン）	6（六角形）

多面体群の基本領域。非キラル多面体群とキラル多面体群がある。 $D_{3},D_{4},D_{5},D_{6}$ $C_{3},C_{4},C_{5},C_{6}$

ハートは多面体の鏡像を与える反射演算子rを導入した。 ^[6]これは厳密にはLOPSPではない。なぜなら、向きを保存しないからである。白と赤のチャンバーを入れ替えることで向きを反転させる。rはアキラル多面体に対して向き以外には影響を与えず、rr = Sは元の多面体を返す。上線は演算子の別のキラル形式を示すために使用できる：s = rsr。

演算がdとr以外の演算子の合成として表現できない場合、その演算は既約ではない。コンウェイの元の演算子の大部分は既約ではない。例外はe、b、o、mである。

行列表現

×	${\begin{bmatrix}a&b&c\\0&d&0\\a'&b'&c'\end{bmatrix}}=\mathbf {M} _{x}$
xd	${\begin{bmatrix}c&b&a\\0&d&0\\c'&b'&a'\end{bmatrix}}=\mathbf {M} _{x}\mathbf {M} _{d}$
診断	${\begin{bmatrix}a'&b'&c'\\0&d&0\\a&b&c\end{bmatrix}}=\mathbf {M} _{d}\mathbf {M} _{x}$
DXD	${\begin{bmatrix}c'&b'&a'\\0&d&0\\c&b&a\end{bmatrix}}=\mathbf {M} _{d}\mathbf {M} _{x}\mathbf {M} _{d}$

シードの頂点、辺、面の数と、この記事で挙げた操作によって生成される多面体の頂点、辺、面の数の関係は、行列で表すことができます。xが演算子の場合、はシードの頂点、辺、面（それぞれ）、は結果の頂点、辺、面です。 $\mathbf {M} _{x}$ $v,e,f$ $v',e',f'$

\mathbf {M} _{x}{\begin{bmatrix}v\\e\\f\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v'\\e'\\f'\end{bmatrix}}

。

2つの演算子の合成行列は、2つの演算子の行列の積に等しい。異なる演算子が同じ行列を持つ場合もある。例えば、pとlである。結果のエッジ数はシード値の整数倍dである。これはインフレ率、あるいはエッジ係数と呼ばれる。^[7]

最も単純な演算子である恒等演算子 Sと双対演算子 dは、単純な行列形式を持ちます。

\mathbf {M} _{S}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}=\mathbf {I} _{3}

、

\mathbf {M} _{d}={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}}

2つの双対演算子は打ち消し合います。dd = Sであり、の2乗は単位行列です。他の演算子に適用すると、双対演算子は行列の水平および垂直方向の鏡映に対応します。演算子は、x、xd（双対演算子）、dx（演算子の双対）、dxd（演算子の共役）という演算子を識別することで、4つ（またはいくつかの形式が同じ場合はそれより少ない）のグループにグループ化できます。この記事では、xの行列のみを示します。他の演算子は単純な鏡映です。 $\mathbf {M} _{d}$

オペレーターの数

各インフレ率に対するLSPの数は、インフレ率1から始まります。しかし、すべてのLSPが必ずしも辺と頂点が3連結グラフを形成する多面体を生成するわけではなく、また、 Steinitzの定理の結果として、凸シードから必ずしも凸多面体を生成するわけではありません。各インフレ率に対する3連結LSPの数はです。^[8]各インフレ率に対する3連結LOPSP（カイラル）の数はです。^[10] $2,2,4,6,6,20,28,58,82,\cdots$ $2,2,4,6,4,20,20,54,64,\cdots$ $0,0,0,0,4,0,10,8,38,\cdots$

オリジナルの操作

厳密に言えば、 seed ( S )、 needle ( n )、 zip ( z ) は Conway には含まれていませんでしたが、これらは双対性によって元の Conway 演算に関連付けられているため、ここに含まれています。

ここからは、立方体の表面に描かれた立方体の種（シード）上での演算を視覚化します。青い面はシードの辺と交差し、ピンクの面はシードの頂点上に存在します。特にカイラル演算子の場合、頂点の正確な配置にはある程度の柔軟性があります。

オリジナルのコンウェイ演算子
エッジファクター	マトリックス $\mathbf {M} _{x}$	×	xd	診断	DXD	注記
1	${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$	シード：S	デュアル：d		シード: dd = S	Dual は各面を頂点に置き換え、各頂点を面に置き換えます。
2	${\begin{bmatrix}1&0&1\\0&2&0\\0&1&0\end{bmatrix}}$	参加: j		アンボ：a		Joinは四辺形の面を作成します。Amboは次数4の頂点を作成し、グラフ理論では正則化、あるいは中間グラフとも呼ばれます。^[11]
3	${\begin{bmatrix}1&0&1\\0&3&0\\0&2&0\end{bmatrix}}$	キス：k	針：n	郵便番号: z	切り捨て: t	Kisは各面にピラミッドを積み上げ、アキセーション、クリートープ、累積、^[12]増分、ピラミッド増大とも呼ばれます。Truncateは多面体を頂点で切り落としますが、元の辺の一部は残します。^{[13] Zipは}ビットランケーションとも呼ばれます。
4	${\begin{bmatrix}1&1&1\\0&4&0\\0&2&0\end{bmatrix}}$	直交：o = jj		展開: e = aa
5	${\begin{bmatrix}1&2&1\\0&5&0\\0&2&0\end{bmatrix}}$	ジャイロ：g	gd = rgr	sd = rsr	スナブ：s	カイラル演算子。Snub （幾何学）を参照。Hartとは対照的に、^[3] gdはgと同じではなく、そのカイラル対である。^[14]
6	${\begin{bmatrix}1&1&1\\0&6&0\\0&4&0\end{bmatrix}}$	メタ: m = kj		ベベル：b = ta

種子

任意の多面体は、その上で演算が実行できる限り、シードとして使用できます。共通のシードには文字が割り当てられています。プラトン立体は、その名前の頭文字（正四面体、正正八面体、立方体、正二十面体、正十二面体）で表されます。n角形の場合はプリズム（P n）、 n角柱の場合は反プリズム（A n ）、立方_極（U n ）、反キューポラ_（ V n ）、および_{パイラミッド}（Y n ）_で表されます。_{ジョンソン}立体は、 n = 1..92の場合、J _nで参照できます。

5つのプラトン立体はすべて、0個から2個の演算子を持つプリズマティックジェネレータから生成できます。^[15]

三角錐： Y ₃（四面体は特殊なピラミッドです）
- T = Y ₃
- O = aT（アンボ四面体）
- C = jT (四面体を結合)
- I = sT (スナブ四面体)
- D = gT（ジャイロ四面体）
三角形の反プリズム： A ₃（八面体は特殊な反プリズムです）
- O = A ₃
- C = dA ₃
四角柱： P ₄（立方体は特殊な柱です）
- C = P ₄
五角形の反プリズム： A ₅
- I = k ₅A ₅ （特殊な回転伸長型二錐体）
- D = t ₅dA ₅（特殊な切頂台形）

通常のユークリッドタイリングもシードとして使用できます。

Q = カドリール =正方形のタイル
H = Hextille =六角形のタイル張り= dΔ
Δ = デルティル =三角形のタイリング= dH

延長された操作

これらはコンウェイの元の集合の後に作られた演算です。名前が付けられているもの以外にも多くの演算が存在することに注意してください。ここに載っていない演算があるからといって、それが存在しない（あるいはLSPやLOPSPではない）という意味ではありません。また、このリストには既約な演算のみが含まれています。他の多くの演算は、演算を組み合わせることで作成できます。

既約拡張演算子
エッジファクター	マトリックス $\mathbf {M} _{x}$	×	xd	診断	DXD	注記
4	${\begin{bmatrix}1&2&0\\0&4&0\\0&1&1\end{bmatrix}}$	面取り：c	cd = du	dc = ud	細分化: u	面取りはlの結合形式です。面取り（幾何学）を参照してください。
5	${\begin{bmatrix}1&2&0\\0&5&0\\0&2&1\end{bmatrix}}$	プロペラ：p	dp = pd		dpd = p	カイラル演算子。プロペラ演算子はジョージ・ハートによって開発された。^[16]
5	${\begin{bmatrix}1&2&0\\0&5&0\\0&2&1\end{bmatrix}}$	ロフト：l	ld	ダウンロード	dld
6	${\begin{bmatrix}1&3&0\\0&6&0\\0&2&1\end{bmatrix}}$	クイント：q	qd	dq	dqd
6	${\begin{bmatrix}1&2&0\\0&6&0\\0&3&1\end{bmatrix}}$	ジョインレース：L ₀	L ₀d	dL ₀	dL ₀d	結合表記の説明については以下を参照してください。
7	${\begin{bmatrix}1&2&0\\0&7&0\\0&4&1\end{bmatrix}}$	レース：L	Ld	dL	dLd
7	${\begin{bmatrix}1&2&1\\0&7&0\\0&4&0\end{bmatrix}}$	ステーク：K	Kd	dK	dKd
7	${\begin{bmatrix}1&4&0\\0&7&0\\0&2&1\end{bmatrix}}$	旋回：w	wd = dv	vd = dw	渦巻: v	カイラル演算子。
8	${\begin{bmatrix}1&2&1\\0&8&0\\0&5&0\end{bmatrix}}$	ジョインキスキス：⁠ ⁠ $(kk)_{0}$	⁠ ⁠ $(kk)_{0}d$	⁠ ⁠ $d(kk)_{0}$	⁠ ⁠ $d(kk)_{0}d$	Jと呼ばれることもある。^[4]結合記法の説明については下記を参照。結合記法以外の形式kkは既約ではない。
10	${\begin{bmatrix}1&3&1\\0&10&0\\0&6&0\end{bmatrix}}$	クロス：X	Xd	dX	dXd

インデックス付き拡張操作

いくつかの演算子は、いくつかの基準でグループ化したり、インデックスによって動作を変更したりすることができます。^{[4]これらは、添え字}x _nを持つ演算子として記述されます。

増強

拡張演算は元の辺を保持します。任意の独立した面のサブセットに適用することも、元の辺を削除して結合形式に変換することもできます。コンウェイ記法では、これらの演算子に任意のインデックスを指定できます。結合形式の場合は0、影響を受ける面の辺の数の場合は3以上です。例えば、k ₄Y ₄ =O の場合、正方形の底面を持つピラミッドに別のピラミッドを貼り付けると、正八面体が得られます。

拡張演算子	×	け	l	L	K	（kk）
対応する結合形式演算子	× ₀	k ₀ = j	l ₀ = c	L ₀	K ₀ = jk	（kk）₀
増強		ピラミッド	プリズム	アンチプリズム

切り捨て演算子tにはt _{n という}インデックス形式もあり、これは特定の次数の頂点のみを切り捨てることを示します。これはdk _n dと同等です。

拡張演算子の一部は、k n 演算子および t n 演算子を用いた特殊なケースで作成できます。たとえば、面取り立方体 cC は、次数 4 の頂点を切り取った菱形十二面体 daC または jCとして_t 4 daC_で構築できます。ロフト立方体lCはt 4 kCと_同じです。五十十二_面体qDは、次数5の頂点_を切り取った三角錐六十面体deD_またはt 5 oDとして_構築できます。

メタ/ベベル

Metaは中心と辺に沿って頂点を追加しますが、Bevelは中心、シード頂点、そして辺に沿って面を追加します。インデックスは、辺に沿って追加される頂点または面の数です。Meta（インデックスなしの形式）は、Cantitruncation（カンティトランケーション）またはOmnitruncation（オムニトランケーション）とも呼ばれます。ここでの0は、拡張操作の場合と同じ意味ではないことに注意してください。つまり、辺に沿って0個の頂点（または面）が追加されることを意味します。^[4]

メタ/ベベル演算子
n	エッジファクター	マトリックス $\mathbf {M} _{x}$	×	xd	診断	DXD
0	3	${\begin{bmatrix}1&0&1\\0&3&0\\0&2&0\end{bmatrix}}$	k = m ₀	n	z = b ₀	t
1	6	${\begin{bmatrix}1&1&1\\0&6&0\\0&4&0\end{bmatrix}}$	m = m ₁ = kj		b = b ₁ = ta
2	9	${\begin{bmatrix}1&2&1\\0&9&0\\0&6&0\end{bmatrix}}$	メートル₂	メートル₂日	b ₂	b ₂d
3	12	${\begin{bmatrix}1&3&1\\0&12&0\\0&8&0\end{bmatrix}}$	メートル₃	メートル₃日	b ₃	b ₃d
n	3 n +3	${\begin{bmatrix}1&n&1\\0&3n+3&0\\0&2n+2&0\end{bmatrix}}$	m _n	m _n d	b _n	b _n d

内側

medial は meta に似ていますが、中心から各シード頂点への辺を追加しない点が異なります。インデックス 1 の形式は、Conway の ortho 演算子および expand 演算子と同じです。expand はcantellationおよびexpandとも呼ばれます。oとe にはそれぞれ独自のインデックス形式があり、以下で説明します。また、実装によってはインデックスが 1 ではなく 0 から始まることにも注意してください。^[4]

中間演算子
n	エッジファクター	マトリックス $\mathbf {M} _{x}$	×	xd	診断	DXD
1	4	${\begin{bmatrix}1&1&1\\0&4&0\\0&2&0\end{bmatrix}}$	M ₁ = o = jj		e = aa
2	7	${\begin{bmatrix}1&2&1\\0&7&0\\0&4&0\end{bmatrix}}$	中間：M = M ₂	メリーランド州	dM	dMd
n	3 n +1	${\begin{bmatrix}1&n&1\\0&3n+1&0\\0&2n&0\end{bmatrix}}$	M _n	M _n d	dM _n	dM _n d

ゴールドバーグ・コクセター

ゴールドバーグ・コクセター（GC）コンウェイ作用素は、ゴールドバーグ・コクセター構成の拡張である2つの無限作用素族である。^[17]^[18] GC構成は、三角形格子の三角形部分、または正方格子の正方部分を取り、それを多面体の各面に重ね合わせたものと考えることができる。この構成は、三角形または正方体の室（「マスター多角形」）を特定することで、任意の面に拡張することができる。^{[7]三角形族の作用素は、}ゴールドバーグ多面体と測地多面体を生成するために使用できる。公式については測地多面体とゴールドバーグ多面体の一覧を参照のこと。

2つのファミリーは、三角形GCファミリー（c _a,bおよびu _{a,b ）}と四辺形GCファミリー（e _a,bおよびo _{a,b ）}です。どちらのGCファミリーも、2つの整数とでインデックス付けされます。これらは多くの優れた性質を備えています。 $a\geq 1$ $b\geq 0$

ファミリーのインデックスは、複素数上の特定のユークリッド領域と関係があります。三角形の GC ファミリーの場合はアイゼンシュタイン整数、四辺形の GC ファミリーの場合はガウス整数です。
同じファミリー内のx 列とdxd列の演算子は相互に交換可能です。

演算子は 3 つのクラスに分類されます (例はcで書かれていますが、4 つの演算子すべてに適用されます)。

クラスI: ⁠ ⁠ $b=0$ . アキラル、元の辺を保持します。ゼロインデックスを省略して表記できます（例：c _{a ,0} = c _{a ）}。
クラスII: ⁠ ⁠ 。アキラルでもある。c $a=b$ a _,a = c _a c _1,1と分解できる。
クラスIII: その他のすべての演算子。これらはカイラルであり、c _a,bとc _b,aは互いにカイラルなペアです。

元のコンウェイ演算のうち、GC族に該当しないのはgとs（ジャイロとスナブ）だけです。メタとベベル（mとb）は、三角形族の演算子1つと四辺形族の演算子1つで表現できます。

三角

三角ゴールドバーグ・コクセター作用素
1つの	b	クラス	エッジ係数 T = a ² + ab + b ²	マトリックス $\mathbf {M} _{x}$	マスタートライアングル	×	xd	診断	DXD
1	0	私	1	${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$		u ₁ = S	d		c ₁ = S
2	0	私	4	${\begin{bmatrix}1&1&0\\0&4&0\\0&2&1\end{bmatrix}}$		u ₂ = u	直流	デュ	c ₂ = c
3	0	私	9	${\begin{bmatrix}1&2&1\\0&9&0\\0&6&0\end{bmatrix}}$		u ₃ = nn	nk	zt	c ₃ = zz
4	0	私	16	${\begin{bmatrix}1&5&0\\0&16&0\\0&10&1\end{bmatrix}}$		u ₄ = uu	uud = dcc	duu = ccd	c ₄ = cc
5	0	私	25	${\begin{bmatrix}1&8&0\\0&25&0\\0&16&1\end{bmatrix}}$		あなた₅	u ₅d = dc ₅	du ₅ = c ₅d	c ₅
6	0	私	36	${\begin{bmatrix}1&11&1\\0&36&0\\0&24&0\end{bmatrix}}$		u ₆ =ウンン	不明	czt	u ₆ = czz
7	0	私	49	${\begin{bmatrix}1&16&0\\0&49&0\\0&32&1\end{bmatrix}}$		u ₇ = u _2,1u _1,2 = vrv	vrvd = dwrw	dvrv = wrwd	c ₇ = c _2,1c _1,2 = wrw
8	0	私	64	${\begin{bmatrix}1&21&0\\0&64&0\\0&42&1\end{bmatrix}}$		u ₈ = u ³	u ³d = dc ³	du ³ = c ³d	c ₈ = c ³
9	0	私	81	${\begin{bmatrix}1&26&1\\0&81&0\\0&54&0\end{bmatrix}}$		u ₉ = n ⁴	n ³k = kz ³	tn ³ = z ³t	c ₉ = z ⁴
1	1	II	3	${\begin{bmatrix}1&0&1\\0&3&0\\0&2&0\end{bmatrix}}$		u _1,1 = n	け	t	c _1,1 = z
2	1	3	7	${\begin{bmatrix}1&2&0\\0&7&0\\0&4&1\end{bmatrix}}$		v = u _2,1	vd = dw	dv = wd	w = c _2,1
3	1	3	13	${\begin{bmatrix}1&4&0\\0&13&0\\0&8&1\end{bmatrix}}$		u _3,1	u _3,1d = dc _3,1	du _3,1 = c _3,1d	c _3,1
3	2	3	19	${\begin{bmatrix}1&6&0\\0&19&0\\0&12&1\end{bmatrix}}$		u _3,2	u _3,2d = dc _3,2	du _3,2 = c _3,2d	c _3,2
4	3	3	37	${\begin{bmatrix}1&12&0\\0&37&0\\0&24&1\end{bmatrix}}$		u _4,3	u _4,3d = dc _4,3	du _4,3 = c _4,3d	c _4,3
5	4	3	61	${\begin{bmatrix}1&20&0\\0&61&0\\0&40&1\end{bmatrix}}$		u _5,4	u _5,4d = dc _5,4	du _5,4 = c _5,4d	c _5,4
6	5	3	91	${\begin{bmatrix}1&30&0\\0&91&0\\0&60&1\end{bmatrix}}$		u _6,5 = u _1,2u _1,3	u _6,5d = dc _6,5	du _6,5 = c _6,5d	c _6,5 = c _1,2c _1,3
7	6	3	127	${\begin{bmatrix}1&42&0\\0&127&0\\0&84&1\end{bmatrix}}$		u _7,6	u _7,6d = dc _7,6	du _7,6 = c _7,6d	c _7,6
8	7	3	169	${\begin{bmatrix}1&56&0\\0&169&0\\0&112&1\end{bmatrix}}$		u _8,7 = u _3,1²	u _8,7d = dc _8,7	du _8,7 = c _8,7d	c _8,7 = c _3,1²
9	8	3	217	${\begin{bmatrix}1&72&0\\0&217&0\\0&144&1\end{bmatrix}}$		u _9,8 = u _2,1u _5,1	u _9,8d = dc _9,8	du _9,8 = c _9,8d	c _9,8 = c _2,1c _5,1
$a\equiv b$ $\ (\mathrm {mod} \ 3)$		I、II、またはIII	$T\equiv 0\$ $(\mathrm {mod} \ 3)$	${\begin{bmatrix}1&{\frac {T}{3}}-1&1\\0&T&0\\0&{\frac {2}{3}}T&0\end{bmatrix}}$	...	u _a,b	u _a,b d = dc _a,b	du _a,b = c _a,b d	タクシー
$a\not \equiv b$ $\ (\mathrm {mod} \ 3)$		I または III	$T\equiv 1$ $\ (\mathrm {mod} \ 3)$	${\begin{bmatrix}1&{\frac {T-1}{3}}&0\\0&T&0\\0&2{\frac {T-1}{3}}&1\end{bmatrix}}$	...	u _a,b	u _a,b d = dc _a,b	du _a,b = c _a,b d	タクシー

基本的な数論によれば、aとbの任意の値に対して、となります。 $T\not \equiv 2\ (\mathrm {mod} \ 3)$

四辺形

四辺形ゴールドバーグ・コクセター作用素
1つの	b	クラス	エッジ係数 T = a ² + b ²	マトリックス $\mathbf {M} _{x}$	マスタースクエア	×	xd	診断	DXD
1	0	私	1	${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$		o ₁ = S	e ₁ = d		o ₁ = dd = S
2	0	私	4	${\begin{bmatrix}1&1&1\\0&4&0\\0&2&0\end{bmatrix}}$		o ₂ = o = j ²		e ₂ = e = a ²
3	0	私	9	${\begin{bmatrix}1&4&0\\0&9&0\\0&4&1\end{bmatrix}}$		o ₃	e ₃		o ₃
4	0	私	16	${\begin{bmatrix}1&7&1\\0&16&0\\0&8&0\end{bmatrix}}$		o ₄ = oo = j ⁴		e ₄ = ee = a ⁴
5	0	私	25	${\begin{bmatrix}1&12&0\\0&25&0\\0&12&1\end{bmatrix}}$		o ₅ = o _2,1o _1,2 = prp	e ₅ = e _2,1e _1,2		o ₅ = dprpd
6	0	私	36	${\begin{bmatrix}1&17&1\\0&36&0\\0&18&0\end{bmatrix}}$		o ₆ = o ₂o ₃		電子₆ =電子₂電子₃
7	0	私	49	${\begin{bmatrix}1&24&0\\0&49&0\\0&24&1\end{bmatrix}}$		7	e ₇		7
8	0	私	64	${\begin{bmatrix}1&31&1\\0&64&0\\0&32&0\end{bmatrix}}$		o ₈ = o ³ = j ⁶		e ₈ = e ³ = a ⁶
9	0	私	81	${\begin{bmatrix}1&40&0\\0&81&0\\0&40&1\end{bmatrix}}$		o ₉ = o ₃²	e ₉ = e ₃²		9
10	0	私	100	${\begin{bmatrix}1&49&1\\0&100&0\\0&50&0\end{bmatrix}}$		o ₁₀ = oo _2,1o _1,2		e ₁₀ = ee _2,1 e _1,2
1	1	II	2	${\begin{bmatrix}1&0&1\\0&2&0\\0&1&0\end{bmatrix}}$		o _1,1 = j		e _1,1 = a
2	2	II	8	${\begin{bmatrix}1&3&1\\0&8&0\\0&4&0\end{bmatrix}}$		o _2,2 = j ³		e _2,2 = a ³
1	2	3	5	${\begin{bmatrix}1&2&0\\0&5&0\\0&2&1\end{bmatrix}}$		o _1,2 = p	e _1,2 = dp = pd		p
$a\equiv b$ $\ (\mathrm {mod} \ 2)$		I、II、またはIII	Tさえ	${\begin{bmatrix}1&{\frac {T}{2}}-1&1\\0&T&0\\0&{\frac {T}{2}}&0\end{bmatrix}}$	...	o _a,b		e _a,b
$a\not \equiv b$ $\ (\mathrm {mod} \ 2)$		I または III	T奇数	${\begin{bmatrix}1&{\frac {T-1}{2}}&0\\0&T&0\\0&{\frac {T-1}{2}}&1\end{bmatrix}}$	...	o _a,b	e _a,b		o _a,b

例

アルキメデス立体とカタラン立体

コンウェイのオリジナルの演算子セットは、プラトン立体をシードとして、すべてのアルキメデス立体とカタラン立体を作成できます。（両方のカイラル形式を作成するためにr演算子は必要ないことに注意してください。）

複合演算子

切頂二十面体tI は、頂点推移的でも面推移的でもないものの、見た目に美しい多面体を作成するためのシードとして使用できます。

私
atI
ttI
ztI = ttD
etI
だけど
stI

デュアル
dtI = nI = kD
jtI
ntI = kkD
ktI
otI
mtI
gtI

飛行機の中で

各凸均一タイリングとそのデュアルは、コンウェイ演算子を通常のタイリング Q、H、およびΔに適用することによって作成できます。

トーラス上

コンウェイ演算子は、環状多面体や複数の穴を持つ多面体にも適用できます。

1x1正方トーラス、{4,4} _1,0
正4x4の正方トーラス、{4,4} _4,0
tQ24×12をトーラスに投影した
taQ24×12をトーラスに投影した
actQ24×8をトーラスに投影した
tH24×12をトーラスに投影した
taH24×8をトーラスに投影したもの
kH24×12をトーラスに投影した

参照

参考文献

^ コンウェイ、ジョン、バーギエル、ハイディ、グッドマン＝シュトラウス、チャイム(2008). 「第21章アルキメデスとカタランの多面体とタイリングの命名」『物の対称性』AKピーターズ、p. 288. ISBN 978-1-56881-220-5。
^ Weisstein, Eric W.「コンウェイ多面体表記法」。MathWorld。
^ ab George W. Hart (1998). 「多面体のコンウェイ表記法」.仮想多面体.
^ abcde Adrian Rossiter. 「conway - コンウェイ表記法変換」.反プリズム多面体モデリングソフトウェア.
^ アンセルム・レフスカヤ。「多面体主義」。
^ ab ハート、ジョージ (1998). 「多面体のコンウェイ表記法」仮想多面体.(表の 4 行目、「a = ambo」を参照してください。)
^ abc Brinkmann, G.; Goetschalckx, P.; Schein, S. (2017). 「Goldberg, Fuller, Caspar, Klug and Coxeterと局所対称性保存演算への一般的なアプローチ」Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences . 473 (2206) 20170267. arXiv : 1705.02848 . Bibcode :2017RSPSA.47370267B. doi :10.1098/rspa.2017.0267. S2CID 119171258.
^ ab Goetschalckx, Pieter; Coolsaet, Kris; Van Cleemput, Nico (2020-04-12). 「局所対称性保存演算の生成」. arXiv : 1908.11622 [math.CO].
^ Goetschalckx, Pieter; Coolsaet, Kris; Van Cleemput, Nico (2020-04-11). 「多面体における局所的な方向保持と対称性保持操作」. arXiv : 2004.05501 [math.CO].
^ Van den Camp, Heidi; McKay, Brendan (2024). 「平面四角形の生成と地図上の対称性保存演算」.離散数学と理論計算機科学. 26 (3).
^ Weisstein, Eric W.「整流化」。MathWorld。
^ Weisstein, Eric W.「累積」。MathWorld。
^ Weisstein, Eric W.「切り捨て」。MathWorld。
^ 「反プリズム - コンウェイにおけるキラリティー問題」。
^ Livio Zefiro (2008). 「5つの四面体の交差による二十面体の生成：中間多面体の幾何学的および結晶学的特徴」Vismath .
^ George W. Hart (2000年8月). プロペラ化多面体に基づく彫刻. MOSAIC 2000 Proceedings of MOSAIC 2000. Seattle, WA. pp. 61– 70.
^ Deza, M. ; Dutour, M (2004). 「3価および4価平面グラフのゴールドバーグ–コクセター構成」. The Electronic Journal of Combinatorics . 11 : #R20. doi : 10.37236/1773 .
^ Deza, M.-M.; Sikirić, MD; Shtogrin, MI (2015). 「Goldberg–Coxeter の構築とパラメータ化」.化学関連グラフの幾何学的構造：ジグザグと中心回路. Springer. pp. 131– 148. ISBN 978-81-322-2449-5。

外部リンク

polyHédronisme: コンウェイ記法を入力として、HTML5 キャンバスで多面体を生成します。

[SoT-1] コンウェイ、ジョン、バーギエル、ハイディ、グッドマン＝シュトラウス、チャイム(2008). 「第21章アルキメデスとカタランの多面体とタイリングの命名」『物の対称性』AKピーターズ、p. 288. ISBN 978-1-56881-220-5。

[2] Weisstein, Eric W.「コンウェイ多面体表記法」。MathWorld。

[Hart-3] George W. Hart (1998). 「多面体のコンウェイ表記法」.仮想多面体.

[Antiprism-4] Adrian Rossiter. 「conway - コンウェイ表記法変換」.反プリズム多面体モデリングソフトウェア.

[Levskaya-5] アンセルム・レフスカヤ。「多面体主義」。

[hart-6] ハート、ジョージ (1998). 「多面体のコンウェイ表記法」仮想多面体.(表の 4 行目、「a = ambo」を参照してください。)

[Brinkmann-7] Brinkmann, G.; Goetschalckx, P.; Schein, S. (2017). 「Goldberg, Fuller, Caspar, Klug and Coxeterと局所対称性保存演算への一般的なアプローチ」Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences . 473 (2206) 20170267. arXiv : 1705.02848 . Bibcode :2017RSPSA.47370267B. doi :10.1098/rspa.2017.0267. S2CID 119171258.

[lsp-8] Goetschalckx, Pieter; Coolsaet, Kris; Van Cleemput, Nico (2020-04-12). 「局所対称性保存演算の生成」. arXiv : 1908.11622 [math.CO].

[lopsp-9] Goetschalckx, Pieter; Coolsaet, Kris; Van Cleemput, Nico (2020-04-11). 「多面体における局所的な方向保持と対称性保持操作」. arXiv : 2004.05501 [math.CO].

[10] Van den Camp, Heidi; McKay, Brendan (2024). 「平面四角形の生成と地図上の対称性保存演算」.離散数学と理論計算機科学. 26 (3).

[11] Weisstein, Eric W.「整流化」。MathWorld。

[12] Weisstein, Eric W.「累積」。MathWorld。

[13] Weisstein, Eric W.「切り捨て」。MathWorld。

[14] 「反プリズム - コンウェイにおけるキラリティー問題」。

[15] Livio Zefiro (2008). 「5つの四面体の交差による二十面体の生成：中間多面体の幾何学的および結晶学的特徴」Vismath .

[Hart2000-16] George W. Hart (2000年8月). プロペラ化多面体に基づく彫刻. MOSAIC 2000 Proceedings of MOSAIC 2000. Seattle, WA. pp. 61– 70.

[Deza2004-17] Deza, M. ; Dutour, M (2004). 「3価および4価平面グラフのゴールドバーグ–コクセター構成」. The Electronic Journal of Combinatorics . 11 : #R20. doi : 10.37236/1773 .

[Deza2015-18] Deza, M.-M.; Sikirić, MD; Shtogrin, MI (2015). 「Goldberg–Coxeter の構築とパラメータ化」.化学関連グラフの幾何学的構造：ジグザグと中心回路. Springer. pp. 131– 148. ISBN 978-81-322-2449-5。