絶対収束

Mode of convergence of an infinite series

数学では、無限数の級数は、被加数の絶対値の和が有限である場合に絶対収束する（または絶対収束する）と言われます。より正確には、実数または複素数級数は、ある実数に対して である場合に絶対収束すると言われます。同様に、関数の仮積分は、被積分関数の絶対値の積分が有限である場合、つまり である場合に絶対収束すると言われます。 絶対収束しない収束級数は条件付き収束 であると言われます。 ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|=L}$ ${\displaystyle \textstyle L.}$ ${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx,}$ ${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\infty }|f(x)|dx=L.}$

絶対収束は無限級数の研究において重要です。なぜなら、その定義は、すべての収束級数が持つわけではない有限和の「良い」振る舞いを級数が持つことを保証するからです。例えば、並べ替えは和の値を変えませんが、これは条件収束級数では必ずしも当てはまりません。

背景

有限個の項を加算する場合、加法は結合法則と可換法則の両方を満たします。つまり、グループ化や並べ替えを行っても最終的な和は変わりません。例えば、はと の両方に等しくなります。しかし、結合法則と可換法則は必ずしも無限和には当てはまりません。一例として、交代調和級数が挙げられます。 ${\displaystyle (1+2)+3}$ ${\displaystyle 1+(2+3)}$ ${\displaystyle (3+2)+1}$

${\displaystyle S=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots }$

ここで、各項は符号が交互に変わる分数である。この級数は収束し、関数 のマクローリン級数を用いて評価することができる。マクローリン級数は、 を満たすすべての場合に収束する。 ${\displaystyle \ln(1+x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -1<x\leq 1}$

${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots }$

を代入すると、元の合計は と等しいことがわかります。この合計は次のように変形することもできます。 ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle \ln 2}$

${\displaystyle S=\left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots }$

この並べ替えでは、各奇数の逆数はその値の2倍の逆数とグループ化され、4の倍数の逆数はそれぞれ個別に評価されます。ただし、括弧内の項を評価すると、

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots }$

あるいは元の級数の半分。加法の結合法則と可換法則の破れから、交代調和級数は条件収束 であることがわかる。実際、各項の絶対値の和は、あるいは発散調和級数は である。リーマン級数定理によれば、任意の条件収束級数は、その和が任意の有限実数になるように、あるいは発散するように並べ替えることができる。絶対収束級数を並べ替えても、その和は常に保存される。 ${\textstyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots }$

実数と複素数の定義

実数または複素数の和は、各項の絶対値の合計が収束する場合、絶対収束します。 ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|}$

より一般的な要素の和

同じ定義は、項が数ではなく任意のアーベル位相群の元である級数にも適用できます。その場合、絶対値 を使用する代わりに、定義では群がノルムを持つことを要求します。ノルム は、アーベル群（加法的に と表記され、単位元は 0）上の正の実数値関数で、次のようになります。 ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\textstyle \|\cdot \|:G\to \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle G}$

1. の単位元のノルムはゼロです。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \|0\|=0.}$
2. すべては意味する ${\displaystyle x\in G,}$ ${\displaystyle \|x\|=0}$ ${\displaystyle x=0.}$
3. すべての ${\displaystyle x\in G,}$ ${\displaystyle \|-x\|=\|x\|.}$
4. すべての ${\displaystyle x,y\in G,}$ ${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.}$

この場合、関数は距離空間（位相の一種）の構造を誘導します。 ${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|}$ ${\displaystyle G.}$

そして、値級数が絶対収束するとは、 ${\displaystyle G}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\|a_{n}\|<\infty .}$

特に、これらのステートメントは、実数または複素数の空間における ノルム（絶対値）を使用して適用されます。 ${\displaystyle |x|}$

位相ベクトル空間では

が位相ベクトル空間（TVS）であり、が（おそらく非可算な）族である場合、この族は^[1] ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\textstyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$は で合計可能（つまり、ネットの極限がで収束する場合、 は包含と によって有向化されたのすべての有限部分集合の有向集合である）、かつ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \lim _{H\in {\mathcal {F}}(A)}x_{H}}$ ${\displaystyle \left(x_{H}\right)_{H\in {\mathcal {F}}(A)}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\textstyle x_{H}:=\sum _{i\in H}x_{i}}$
2. 族上のすべての連続半ノルム は、 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\textstyle \left(p\left(x_{\alpha }\right)\right)_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

が正規化可能空間であり、 が における絶対加算可能族である場合、の可算なコレクションを除くすべての は必然的に0 です。 ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x_{\alpha }}$

絶対的に加算可能な族は、核空間の理論において重要な役割を果たします。

収束との関係

が計量に関して完備であれば、すべての絶対収束級数は収束する。証明は複素数値級数の場合と同じである。完備性を用いてコーシーの収束判定基準（級数が収束する場合、その裾のノルムを任意に小さくすることができる場合のみ）を導き、三角不等式を適用する。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle d,}$

特に、任意のバナッハ空間に値を持つ級数については、絶対収束は収束を意味する。逆もまた真である。すなわち、ノルム空間において絶対収束が収束を意味する場合、その空間はバナッハ空間である。

級数が収束するが絶対収束しない場合、それは条件収束すると呼ばれます。条件収束する級数の例としては、交代調和級数が挙げられます。発散と収束の多くの標準的なテスト、特に比テストと根テストは、絶対収束を証明します。これは、べき級数がその収束円板の内部で絶対収束するためです。 ^[a]

絶対収束する複素数級数は収束することの証明

が収束すると仮定する。同様に、が収束することから、非負項の項ごとの比較により と が収束することが分かる。これらの級数の収束は の収束を意味し、 について収束することを示すだけで十分である。そうすると、複素数級数の収束の定義より、 の収束が導かれる。 ${\textstyle \sum \left|a_{k}\right|,a_{k}\in \mathbb {C} }$ ${\textstyle \sum \left[\operatorname {Re} \left(a_{k}\right)^{2}+\operatorname {Im} \left(a_{k}\right)^{2}\right]^{1/2}}$ ${\textstyle \sum \left|\operatorname {Re} \left(a_{k}\right)\right|}$ ${\textstyle \sum \left|\operatorname {Im} \left(a_{k}\right)\right|}$ ${\textstyle \sum \operatorname {Re} \left(a_{k}\right)}$ ${\textstyle \sum \operatorname {Im} \left(a_{k}\right),}$ ${\textstyle \sum a_{k}=\sum \operatorname {Re} \left(a_{k}\right)+i\sum \operatorname {Im} \left(a_{k}\right)}$

これまでの議論から、の収束はの収束を意味することを証明するだけでよいことがわかる。 ${\textstyle \sum \left|a_{k}\right|,a_{k}\in \mathbb {R} }$ ${\textstyle \sum a_{k}.}$

が収束するとする。が収束するので、は有界な単調な部分和列であり、収束しなければならない。が収束級数の違いであることに留意すると、これもまた、期待通り収束級数であると結論付けられる。 ${\textstyle \sum \left|a_{k}\right|,a_{k}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0\leq a_{k}+\left|a_{k}\right|\leq 2\left|a_{k}\right|,}$ $${\displaystyle 0\leq \sum _{k=1}^{n}(a_{k}+\left|a_{k}\right|)\leq \sum _{k=1}^{n}2\left|a_{k}\right|.}$$ ${\textstyle \sum 2\left|a_{k}\right|}$ ${\textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left(a_{k}+\left|a_{k}\right|\right)}$ ${\textstyle \sum \left(a_{k}+\left|a_{k}\right|\right)}$ ${\textstyle \sum a_{k}=\sum \left(a_{k}+\left|a_{k}\right|\right)-\sum \left|a_{k}\right|}$

コーシー基準と三角不等式を用いた代替証明

複素数級数の収束に関するコーシー判定基準を適用することで、この事実を三角不等式の単純な含意として証明することもできる。^[2]コーシー判定基準 によれば、任意の に対して が存在する場合のみ収束する。任意の に対して が存在する。しかし、三角不等式は を意味するので、任意の に対して が存在する。これはまさに に対するコーシー判定基準である。 ${\textstyle \sum |a_{i}|}$ ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle N}$ ${\textstyle \left|\sum _{i=m}^{n}\left|a_{i}\right|\right|=\sum _{i=m}^{n}|a_{i}|<\varepsilon }$ ${\displaystyle n>m\geq N.}$ ${\textstyle {\big |}\sum _{i=m}^{n}a_{i}{\big |}\leq \sum _{i=m}^{n}|a_{i}|,}$ ${\textstyle \left|\sum _{i=m}^{n}a_{i}\right|<\varepsilon }$ ${\displaystyle n>m\geq N,}$ ${\textstyle \sum a_{i}.}$

バナッハ空間における絶対収束する級数は収束することの証明

上記の結果は、あらゆるバナッハ空間 に簡単に一般化できます。 は、実数のコーシー列であり、任意の十分大きな自然数に対して、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle (X,\|\,\cdot \,\|).}$ ${\textstyle \sum x_{n}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}\|x_{k}\|}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle m>n}$ $${\displaystyle \left|\sum _{k=1}^{m}\|x_{k}\|-\sum _{k=1}^{n}\|x_{k}\|\right|=\sum _{k=n+1}^{m}\|x_{k}\|<\varepsilon .}$$

ノルムǁ⋅ǁの三角不等式により、次式が得られる。 これは、がコーシー列であることを意味し、したがって級数は^{[3]で収束する。} $${\displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{m}x_{k}-\sum _{k=1}^{n}x_{k}\right\|=\left\|\sum _{k=n+1}^{m}x_{k}\right\|\leq \sum _{k=n+1}^{m}\|x_{k}\|<\varepsilon ,}$$ ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}x_{k}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$

再配置と無条件収束

実数と複素数

実数または複素数の級数が絶対収束する場合、その級数の項を並べ替えたり、順序を変えたりしても同じ値に収束します。この事実は、絶対収束級数が有用な理由の一つです。級数が絶対収束することを示すことで、和の値を変えずに、項を都合の良い方法で組み合わせたり並べ替えたりできるようになります。

リーマンの並べ替え定理は、逆もまた真であることを示しています。つまり、項を並べ替えて異なる値にすることができない実数値または複素数値の級数はすべて絶対収束します。

より一般的な空間における係数を持つ級数

無条件収束という用語は、その項をどのような順序で並べ替えても同じ値に収束する級数を指すために使用されます。ノルムアーベル群に属する値を持つ任意の級数について、が完備である限り、絶対収束する級数はすべて無条件収束します。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

より正式に述べると：

定理—をノルムアーベル群とする。 が任意の順列であるとすると、 ${\displaystyle G}$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=A\in G,\quad \sum _{i=1}^{\infty }\|a_{i}\|<\infty .}$$ ${\displaystyle \sigma :\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{\sigma (i)}=A.}$$

より一般的な係数を持つ級数の場合、逆はより複雑になります。前の節で述べたように、実数値および複素数値の級数では、無条件収束は常に絶対収束を意味します。しかし、より一般的な、任意のノルムアーベル群に属する値を持つ級数の場合、逆は必ずしも成立しません。つまり、絶対収束しないが無条件収束する級数が存在する可能性があります。 ${\displaystyle G}$

たとえば、バナッハ空間ℓ ^∞において、無条件収束するが絶対収束しない級数が 1 つあります。 $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{n}}e_{n},}$$

ここでは直交基底である。A . ドヴォレツキーとC. A. ロジャースの定理によれば、任意の無限次元バナッハ空間には絶対収束しない無条件収束級数が存在する。^[4] ${\displaystyle \{e_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$

定理の証明

任意のに対して、次のようなものを選択できます。 ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle \kappa _{\varepsilon },\lambda _{\varepsilon }\in \mathbb {N} ,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ for all }}N>\kappa _{\varepsilon }&\quad \sum _{n=N}^{\infty }\|a_{n}\|<{\tfrac {\varepsilon }{2}}\\{\text{ for all }}N>\lambda _{\varepsilon }&\quad \left\|\sum _{n=1}^{N}a_{n}-A\right\|<{\tfrac {\varepsilon }{2}}\end{aligned}}}$$

とすると、 はリストにすべての項（およびその他の項も含む）が含まれる最小の自然数になります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\varepsilon }&=\max \left\{\kappa _{\varepsilon },\lambda _{\varepsilon }\right\}\\M_{\sigma ,\varepsilon }&=\max \left\{\sigma ^{-1}\left(\left\{1,\ldots ,N_{\varepsilon }\right\}\right)\right\}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \sigma ^{-1}\left(\left\{1,\ldots ,N_{\varepsilon }\right\}\right)=\left\{\sigma ^{-1}(1),\ldots ,\sigma ^{-1}\left(N_{\varepsilon }\right)\right\}}$ ${\displaystyle M_{\sigma ,\varepsilon }}$ ${\displaystyle a_{\sigma (1)},\ldots ,a_{\sigma \left(M_{\sigma ,\varepsilon }\right)}}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{N_{\varepsilon }}}$

最後に任意の整数 に対して、となるようにし 、したがって ${\displaystyle N>M_{\sigma ,\varepsilon }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\sigma ,\varepsilon }&=\left\{1,\ldots ,N\right\}\setminus \sigma ^{-1}\left(\left\{1,\ldots ,N_{\varepsilon }\right\}\right)\\S_{\sigma ,\varepsilon }&=\min \sigma \left(I_{\sigma ,\varepsilon }\right)=\min \left\{\sigma (k)\ :\ k\in I_{\sigma ,\varepsilon }\right\}\\L_{\sigma ,\varepsilon }&=\max \sigma \left(I_{\sigma ,\varepsilon }\right)=\max \left\{\sigma (k)\ :\ k\in I_{\sigma ,\varepsilon }\right\}\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|&\leq \sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}\left\|a_{\sigma (i)}\right\|\\&\leq \sum _{j=S_{\sigma ,\varepsilon }}^{L_{\sigma ,\varepsilon }}\left\|a_{j}\right\|&&{\text{ since }}\sigma (I_{\sigma ,\varepsilon })\subseteq \left\{S_{\sigma ,\varepsilon },S_{\sigma ,\varepsilon }+1,\ldots ,L_{\sigma ,\varepsilon }\right\}\\&\leq \sum _{j=N_{\varepsilon }+1}^{\infty }\left\|a_{j}\right\|&&{\text{ since }}S_{\sigma ,\varepsilon }\geq N_{\varepsilon }+1\\&<{\frac {\varepsilon }{2}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|\sum _{i=1}^{N}a_{\sigma (i)}-A\right\|&=\left\|\sum _{i\in \sigma ^{-1}\left(\{1,\dots ,N_{\varepsilon }\}\right)}a_{\sigma (i)}-A+\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|\\&\leq \left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+\left\|\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|\\&<\left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+{\frac {\varepsilon }{2}}\\&<\varepsilon \end{aligned}}}$$

これは次のことを示しています: $${\displaystyle {\text{ for all }}\varepsilon >0,{\text{ there exists }}M_{\sigma ,\varepsilon },{\text{ for all }}N>M_{\sigma ,\varepsilon }\quad \left\|\sum _{i=1}^{N}a_{\sigma (i)}-A\right\|<\varepsilon ,}$$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{\sigma (i)}=A.}$$

QED

シリーズ製品

2つの級数のコーシー積は、少なくとも一方の級数が絶対収束する場合、その和の積に収束する。つまり、 $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=A\quad {\text{ and }}\quad \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}=B.}$$

コーシー積は、次の項の和として定義されます。 ${\displaystyle c_{n}}$ $${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}.}$$

または和のいずれかが絶対収束する場合、 ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$ $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}=AB.}$$

集合上の絶対収束

級数の絶対収束の一般化は、関数の集合上の和の絶対収束である。まず、可算集合と関数を考える。以下では、関数の集合上の和を次のように 定義する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$ ${\textstyle \sum _{x\in X}f(x).}$

まず、 の具体的な列挙（または「添え字付け」）がまだ指定されていないため、この級数はより基本的な級数の定義では理解できないことに注意してください。実際、 の特定の例やの和が全く定義されていない場合もあります。これは、添え字付けによっては条件付き収束級数が生じる可能性があるためです。 ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \sum _{x\in X}f(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

したがって、絶対収束するような一対一表現が存在する場合にのみ定義する。ここで「絶対収束」とは、添字付き級数に適用された、より基本的な定義を用いている点に注意されたい。この場合、^[5]の和の値は次のように定義される 。 ${\textstyle \sum _{x\in X}f(x)}$ ${\displaystyle g:\mathbb {Z} ^{+}\to X}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f(g(n))}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \sum _{x\in X}f(x):=\sum _{n=1}^{\infty }f(g(n))}$$

この級数は絶対収束するので、すべての並べ替えは単射の異なる選択と同一であることに注意してください。 これらの合計はすべて同じ値を持つので、 の合計は明確に定義されます。 ${\displaystyle g.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

さらに一般的に、が非可算な場合のの和を定義できます。しかしまず、和が収束するとはどういうことかを定義します。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

を任意の可算集合または不可算集合、および関数とする。の和が絶対収束するとは、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \sup \left\{\sum _{x\in A}|f(x)|:A\subseteq X,A{\text{ is finite }}\right\}<\infty .}$$

の和が絶対収束する場合、最大可算な集合上では は非零の値を取るという定理があります。したがって、和が絶対収束する場合の の和の一貫した定義は以下のとおりです。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \sum _{x\in X}f(x):=\sum _{x\in X:f(x)\neq 0}f(x).}$$

最後の級数は可算集合上の級数の定義を使用することに注意してください。

ある著者は、反復級数が であるとき、反復和は絶対収束すると定義しています^[6] これは実際には の絶対収束と同等です。つまり、の 和が上で定義したように絶対収束する場合、反復和は絶対収束し、その逆も同様です。 ${\textstyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{m,n}}$ ${\textstyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }|a_{m,n}|<\infty .}$ ${\textstyle \sum _{(m,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }a_{m,n}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$ ${\textstyle \sum _{(m,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }a_{m,n},}$ ${\textstyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{m,n}}$

積分の絶対収束

実数値関数または複素数値関数の積分は、絶対収束するとは、絶対積分可能であるとも言える。絶対 積分可能性の 問題は複雑で、リーマン積分、ルベーグ積分、あるいはクルツワイル・ヘンストック（ゲージ）積分のいずれを対象とするかによって異なる。リーマン積分の場合、積分可能性をその本来の意味（かつ有界積分）のみで考えるか、あるいはより一般的な不定積分の場合を許容するかによっても異なる。 ${\textstyle \int _{A}f(x)\,dx}$ ${\textstyle \int _{A}\left|f(x)\right|\,dx<\infty .}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$

リーマン積分の標準的な性質として、が有界区間であるとき、すべての連続関数は有界かつ（リーマン）積分可能であり、連続は連続を意味するので、すべての連続関数は絶対積分可能である。実際、が（適切に）積分可能で が連続である場合、は 上でリーマン積分可能であるので、 が適切にリーマン積分可能であることが導かれる。しかし、この含意は不適正積分の場合には成り立たない。例えば、 関数はその非有界領域上で不適正リーマン積分可能であるが、絶対積分可能ではない。実際、より一般的には、任意の級数が与えられたとき、関連するステップ関数を で定義すると、 は の対応する挙動に従って絶対収束、条件付き収束、または発散する。 ${\displaystyle A=[a,b]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle |f|=|\cdot |\circ f}$ ${\displaystyle f}$ ${\textstyle f:[1,\infty )\to \mathbb {R} :x\mapsto {\frac {\sin x}{x}}}$ $${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx={\frac {1}{2}}{\bigl [}\pi -2\,\mathrm {Si} (1){\bigr ]}\approx 0.62,{\text{ but }}\int _{1}^{\infty }\left|{\frac {\sin x}{x}}\right|dx=\infty .}$$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle f_{a}:[0,\infty )\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{a}([n,n+1))=a_{n}.}$ ${\textstyle \int _{0}^{\infty }f_{a}\,dx}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.}$

ルベーグ積分の場合は状況が異なり、積分の有界領域と非有界領域を別々に扱いません (下記参照)。上記の例で の積分が非有界であるという事実は、 もルベーグの意味で積分可能ではないことを意味します。実際、ルベーグ積分理論では、が測定可能であるとすれば、が (ルベーグ) 積分可能である場合のみ、 が(ルベーグ) 積分可能です。しかし、が測定可能であるという仮説は重要です。 上の絶対積分可能関数が積分可能であるというのは一般には真ではありません (単に測定できない可能性があるという理由だけで)。 が非測定サブセットであるとし、が の特性関数であるを考えます。 すると はルベーグ測定可能ではないため積分可能ではありませんが、 は定数関数であり明らかに積分可能です。 ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle S\subset [a,b]}$ ${\displaystyle f=\chi _{S}-1/2,}$ ${\displaystyle \chi _{S}}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|\equiv 1/2}$

一方、関数はカーツワイル・ヘンストック積分可能（ゲージ積分可能）でありながら、そうでない場合があります。これには、リーマン積分不可能な関数の場合も含まれます。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|}$

一般的な意味では、任意の測度空間 上で実数値関数のルベーグ積分はその正の部分と負の部分で定義されるので、次の事実が成り立ちます。 ${\displaystyle A,}$

1. ${\displaystyle f}$積分可能ということは積分可能であることを意味する ${\displaystyle |f|}$
2. ${\displaystyle f}$測定可能、積分可能は積分可能であることを意味する ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle f}$

ルベーグ積分の定義には本質的に組み込まれています。特に、この理論を集合上の計数測度に適用すると、ムーア＝スミスが（現在ではネットと呼ばれる）を用いて展開した級数の無順序和の概念が再現されます。自然数全体の集合であるとき、ルベーグ積分可能性、無順序和可能性、そして絶対収束性はすべて一致します。 ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S=\mathbb {N} }$

最後に、上記のすべてはバナッハ空間に値を持つ積分にも成り立ちます。バナッハ値リーマン積分の定義は、通常の定義の明らかな修正です。ルベーグ積分については、ダニエルのより関数的な解析的アプローチを用いて正負の部分への分解を回避し、ボッホナー積分を得る必要があります。

参照

• コーシー主値 – そうでなければ定義されない特定の不定積分に値を割り当てる方法
• 条件収束 – 無限級数の性質
• フーリエ級数の収束 – 古典調和解析における数学的問題
• フビニの定理 – 微積分における積分の順序の切り替え条件
• 収束のモード（注釈付き索引）  – さまざまな収束のモードの注釈付き索引
• 収束半径 – べき級数の収束領域
• リーマン級数定理 – 無条件収束級数は絶対収束する
• 無条件収束 – 順序に依存しないシーケンスの収束
• 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · ·  – 1/3に足し算できる無限級数Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + · · ·  – 合計1になる無限級数Pages displaying short descriptions of redirect targets

注記

1. ここで、収束円板とは、級数の中心からの距離が収束半径よりも小さいすべての点を指すために使用されます。つまり、収束円板は、冪級数が収束するすべての点から構成されます。

参考文献

1. Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. pp.  179– 180. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135。
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3. メギンソン、ロバート・E.（1998）、バナッハ空間理論入門、Graduate Texts in Mathematics、第183巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、p. 20、ISBN 0-387-98431-3（定理1.3.9）
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5. タオ、テレンス（2016年）『分析I』ニューデリー：ヒンドゥスタン・ブック・エージェンシー、pp.  188– 191. ISBN 978-9380250649。
6. ストリチャーツ、ロバート (2000). 『分析の方法』 ジョーンズ＆バートレット・ラーニング. pp.  259– 260. ISBN 978-0763714970。

一般的な参考文献

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• ウォルター・ルーディン『数学解析の原理』（McGraw-Hill：ニューヨーク、1964年）。
• ピエチュ、アルブレヒト (1979)。核の局所的に凸な空間。 Ergebnisse der Mathematik および ihrer Grenzgebiete。 Vol. 66（第2版）。ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag。ISBN 978-0-387-05644-9. OCLC  539541.
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• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322。
• ウォン、ヤウ・チュエン (1979).シュワルツ空間、核空間、テンソル積.数学講義ノート. 第726巻. ベルリン、ニューヨーク:シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 978-3-540-09513-2OCLC  5126158 。

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