抽象インデックス表記

Mathematical notation for tensors and spinors

抽象インデックス記法（スロットネーミングインデックス記法とも呼ばれる）^[1]は、テンソルとスピノルの数学的記法であり、特定の基底における成分ではなく、その型を示すためにインデックスを使用する。^[2]インデックスは単なるプレースホルダーであり、基底とは関係がなく、特に数値的ではない。したがって、リッチ計算と混同すべきではない。この記法は、ロジャー・ペンローズによって導入された。これは、アインシュタインの総和規約の形式的側面を用いて、現代の抽象テンソル記法における縮約と共変微分の記述の難しさを補い、かつ、関連する式の明示的な共変性を維持する方法である。^[3]

をベクトル空間とし、その双対空間とする。例えば、2次の共変テンソルを考える。すると、 は上の双線型形式と同一視できる。言い換えれば、 は2つの引数を持つ関数であり、 はスロットのペアとして表される。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle h\in V^{*}\otimes V^{*}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle h=h(-,-).}$

抽象インデックス表記法は、スロットをラテン文字でラベル付けするだけであり、スロットのラベルとして指定する以外には意味を持ちません（つまり、数値ではありません）。

${\displaystyle h=h_{ab}.}$

2つのテンソル間のテンソル収縮（またはトレース）は、インデックスラベルの繰り返しで表されます。一方のラベルは反変（上のインデックスが因子 に対応）で、もう一方のラベルは共変（下のインデックスが因子 に対応）です。したがって、例えば、 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$

${\displaystyle t_{ab}{}^{b}}$

は、テンソルの最後の2つのスロットにわたるトレースです。テンソル縮約を繰り返しのインデックスで表すこの方法は、形式的にはアインシュタインの和の慣例に似ています。しかし、インデックスは数値ではないため、これは和を意味するものではありません。むしろ、これは 型のテンソル因子と 型のテンソル因子との間の抽象的な基底に依存しないトレース演算（または自然なペアリング）に対応します。 ${\displaystyle t=t_{ab}{}^{c}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$

抽象インデックスとテンソル空間

一般同次テンソルは、 と のコピーのテンソル積の元であり、例えば ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$

${\displaystyle V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}.}$

このテンソル積の各因子に、反変因子については上付き、共変因子については下付きでラテン文字でラベルを付けます。このようにして、積は次のように書きます。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$

${\displaystyle V^{a}V_{b}V_{c}V^{d}V_{e}}$

あるいは、単に

${\displaystyle V^{a}{}_{bc}{}^{d}{}_{e}.}$

最後の2つの式は最初の式と同じオブジェクトを表します。このタイプのテンソルは同様の表記法で表されます。例えば、次のようになります。

${\displaystyle h^{a}{}_{bc}{}^{d}{}_{e}\in V^{a}{}_{bc}{}^{d}{}_{e}=V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}.}$

収縮

一般に、空間のテンソル積に反変因子と共変因子が1つずつ現れるときはいつでも、それに関連する縮約写像（またはトレース写像）が存在する。例えば、

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{12}:V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}\to V^{*}\otimes V\otimes V^{*}}$

はテンソル積の最初の 2 つの空間上のトレースです。は最初と最後の空間上のトレースです。 $${\displaystyle \mathrm {Tr} _{15}:V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}\to V^{*}\otimes V^{*}\otimes V}$$

これらのトレース演算は、テンソル上では添え字の繰り返しによって表される。したがって、最初のトレース写像は次のように与えられる。

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{12}:h{}^{a}{}_{b}{}_{c}{}^{d}{}_{e}\mapsto h{}^{a}{}_{a}{}_{c}{}^{d}{}_{e}}$

そして2番目は

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{15}:h{}^{a}{}_{b}{}_{c}{}^{d}{}_{e}\mapsto h{}^{a}{}_{b}{}_{c}{}^{d}{}_{a}.}$

編み込み

単一のベクトル空間上の任意のテンソル積には、対応する編組写像が存在する。例えば、編組写像は

${\displaystyle \tau _{(12)}:V\otimes V\rightarrow V\otimes V}$

は2つのテンソル因子を入れ替えます（そのため、単純テンソルへの作用は で与えられます）。一般に、編組写像は対称群の元と1対1に対応し、テンソル因子を置換することによって作用します。ここで、 は置換に関連付けられた編組写像を表します（互いに素な巡回置換の積として表されます）。 ${\displaystyle \tau _{(12)}(v\otimes w)=w\otimes v}$ ${\displaystyle \tau _{\sigma }}$ ${\displaystyle \sigma }$

編み込み写像は、例えば微分幾何学において、ビアンキ恒等式を表現するために重要である。ここで、 はリーマンテンソル を表し、 のテンソルとみなされる。最初のビアンキ恒等式は、 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle V^{*}\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V}$

${\displaystyle R+\tau _{(123)}R+\tau _{(132)}R=0.}$

抽象添字記法は、組紐を次のように扱う。特定のテンソル積において、抽象添字の順序は固定されている（通常は辞書式順序）。そして、組紐は添字のラベルを並べ替える記法で表現される。例えば、リーマンテンソルの場合、

${\displaystyle R=R_{abc}{}^{d}\in V_{abc}{}^{d}=V^{*}\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V,}$

ビアンキのアイデンティティは

${\displaystyle R_{abc}{}^{d}+R_{cab}{}^{d}+R_{bca}{}^{d}=0.}$

反対称化と対称化

一般テンソルは反対称化または対称化することができ、それに応じた表記法があります。

例を用いて記法を説明します。(0,3)型テンソル を反対称化してみましょう。ここでは3元対称群です。 ${\displaystyle \omega _{abc}}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{3}}$

${\displaystyle \omega _{[abc]}:={\frac {1}{3!}}\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{3}}{{\text{sgn}}(\sigma )}\omega _{\sigma (a)\sigma (b)\sigma (c)}}$

同様に対称化することもできます。

${\displaystyle \omega _{(abc)}:={\frac {1}{3!}}\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{3}}\omega _{\sigma (a)\sigma (b)\sigma (c)}}$

参照

• ペンローズのグラフィカル記法
• アインシュタイン記法
• インデックス表記
• テンソル
• 反対称テンソル
• インデックスの上げ下げ
• ベクトルの共変性と反変性

参考文献

1. キップ・S・ソーン、ロジャー・D・ブランドフォード (2017). 『現代古典物理学：光学、流体、プラズマ、弾性、相対性理論、そして統計物理学』 プリンストン大学出版局. ISBN 978-0-69115902-7。
2. ロジャー・ペンローズ (2007). 『現実への道：宇宙の法則完全ガイド』ヴィンテージ. ISBN 978-0-67977631-4。
3. ロジャー・ペンローズ、ヴォルフガング・リンドラー (1984). 『スピノルと時空 第1巻：2スピノル計​​算と相対論的場』ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-52133707-6。

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