蓄積ポイント

Cluster point in a topological space

数学において、位相空間内の集合の極限点、集積点、またはクラスタ点とは、のすべての近傍にそれ自体以外の の点が含まれるという意味で、の点で「近似」できる点である。集合の極限点自体は の要素である必要はない。また、シーケンス にも密接に関連する概念がある。位相空間内のシーケンスのクラスタ点または集積点とは、のすべての近傍に対して となる自然数が無限に存在するような点である。シーケンスのクラスタ点または集積点のこの定義は、ネットやフィルターに一般化される。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{n}\in V.}$

シーケンスの極限点^[1]（それぞれ、フィルタの極限点、^[2]ネットの極限点）という同様の名前の概念は、定義により、シーケンスが収束する点（それぞれ、フィルタが収束する点、ネットが収束する点）を指します。重要なのは、「セットの極限点」は「セットのクラスター/集積点」と同義ですが、シーケンス（ネットやフィルタも同様）の場合はそうではないということです。つまり、「シーケンスの極限点」という用語は「シーケンスのクラスター/集積点」と同義ではありません。

集合の極限点は、のあらゆる近傍に の点が含まれるような付着点（閉包点とも呼ばれる）と混同してはならない。極限点とは異なり、の付着点は、それ自身以外の点を含まない近傍を持つ場合がある。極限点は、孤立点ではない付着点として特徴付けられる。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$

集合の極限点も境界点と混同してはならない。例えば、は標準位相における集合 の境界点（ただし極限点ではない）である。しかし、は標準位相における区間の極限点（ただし境界点ではない）である（極限点のより単純な例については、最初のキャプションを参照）。^{[3] [4] [5]} ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0.5}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

この概念は極限の概念を有益に一般化し、閉集合や位相閉包といった概念の基盤となっています。実際、集合が閉集合であるためには、その集合のすべての極限点が含まれなければなりません。位相閉包演算は、集合をその極限点と結合することで集合を豊かにする演算と考えることができます。

通常のユークリッド位相においては、有理数列には極限がない（つまり収束しない）が、2つの集積点（ここでは極限点とみなす）である-1と+1が存在する。したがって、集合を考えると、これらの点は集合の極限点となる。 ${\displaystyle x_{n}=(-1)^{n}{\frac {n}{n+1}}}$ ${\displaystyle S=\{x_{n}\}.}$

意味

セットの累積ポイント

すべての正の有理数を列挙した数列。それぞれの正の実数はクラスター点である。

位相空間の部分集合をとします。の点 は極限点またはクラスター点、あるいは ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ のすべての近傍にとは異なるの点が少なくとも 1 つ含まれている場合、その集合の集積点となります。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$

条件を開近傍のみに限定しても違いはありません。点が極限点であることを示すには「開近傍」形式の定義を用い、既知の極限点から事実を導くには「一般近傍」形式の定義を用いるのが便利な場合が多いです。

が空間（たとえば距離空間）である場合、が の極限点となるのは、 のすべての近傍に の点が無限個含まれる場合のみです^[6]実際、空間はこの性質によって特徴付けられます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle T_{1}}$

がフレシェ・ウリゾーン空間（すべての距離空間と第一可算空間はフレシェ・ウリゾーン空間である）である場合、 がの極限点となるのは、その極限が となる点の列が存在するときであり、その場合に限ります。実際、フレシェ・ウリゾーン空間はこの性質によって特徴付けられます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\setminus \{x\}}$ ${\displaystyle x.}$

の極限点の集合は導来集合と呼ばれる。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$

集合の集積点の特殊な種類

の近傍に無限個の点が含まれる場合、それは極限点と呼ばれる特別な種類の点である。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$ω蓄積点の ${\displaystyle S.}$

の近傍に無数個の点が含まれる場合、はの凝縮点と呼ばれる特定の種類の極限点である。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$

のあらゆる近傍において、の濃度が の濃度に等しい場合、はと呼ばれる特定の種類の極限点である。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U\cap S}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$完全な蓄積点 ${\displaystyle S.}$

シーケンスとネットの蓄積ポイント

位相空間において、点は ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\in X}$クラスターポイントまたは数列の集積点で あるとは、の近傍無限個存在するということ、 の すべての近傍およびすべてのような が存在する が距離空間または第 1 可算空間(または、より一般的には、フレシェ–ウリゾーン空間) である場合、のクラスター点でありが のある部分数列の極限である場合に 限る。 数列のすべてのクラスター点の集合は、極限集合。 ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x_{n}\in V.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ ${\displaystyle x_{n}\in V.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }.}$

列の極限という概念は既に存在し、列が収束する点（つまり、列のすべての近傍が、有限個以外のすべての要素を含む点）を意味します。そのため、列の極限点という用語を、列の集積点の同義語として使用しません。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

ネットの概念は、数列の考え方を一般化したものである。ネットとは、が有向集合であり、が位相空間である関数である。点は、 ${\displaystyle f:(P,\leq )\to X,}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$クラスターポイントまたはネットの集積点 とは、の近傍と任意存在することと同値、が に収束するサブネットを持つある。ネットにおけるクラスタ点は、凝縮点とω-集積点の両方の概念を包含する。フィルタに対してもクラスタリング点と極限点。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p_{0}\in P,}$ ${\displaystyle p\geq p_{0}}$ ${\displaystyle f(p)\in V,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x.}$

シーケンスの集積点とセットの集積点の関係

内のすべてのシーケンスは定義上単なるマップなので、そのイメージは通常の方法で定義できます。 ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }:=\left\{x_{n}:n\in \mathbb {N} \right\}}$

• 数列中に無限回出現する要素が存在する場合、は数列の集積点となる。しかし、対応する集合の集積点である必要はない。例えば、数列が定数数列であり、その値が である場合、はの孤立点であり、 の集積点ではない。 ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }.}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }=\{x\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }.}$

• シーケンス中に無限回出現する要素がない場合、例えばすべての要素が異なる場合、シーケンスの任意の集積点は、関連するセットの集積点である。 ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }.}$

逆に、の可算な無限集合が与えられた場合、のすべての要素を、繰り返しを含めて、さまざまな方法で列挙することができ、したがって、を満たす多くのシーケンスをそれに関連付けることができます。 ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle A=\operatorname {Im} x_{\bullet }.}$

• の任意の累積点は、対応するシーケンスのいずれかの累積点です (この点の任意の近傍には の無限個の要素が含まれるため、関連するシーケンス内の無限個の項も含まれるため)。 ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

• の -累積点ではない点は、無限繰り返しなしに関連するシーケンスの累積点になることはできません ( には、有限個(場合によっては 0 個) の点のみを含む近傍があり、その近傍にはそのようなシーケンスの有限個の項のみを含めることができるため)。 ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$

プロパティ

非定数列のあらゆる極限は、その列の集積点である。そして定義により、あらゆる極限点は付着点である。

集合の閉包とは、その極限点と孤立点の互いに素な和集合である。つまり、 ${\displaystyle \operatorname {cl} (S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L(S)}$ ${\displaystyle I(S)}$ $${\displaystyle \operatorname {cl} (S)=L(S)\cup I(S)\quad {\text{and}}\quad L(S)\cap I(S)=\emptyset .}$$

点がの極限点であるのは、それがの閉包内にあるときのみである。 ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S\setminus \{x\}.}$

証拠

点が集合の閉包に含まれる場合と、その点のすべての近傍が集合と交わる場合とで同値であるという事実を使います。さて、 が の極限点である場合と、その点のすべての近傍がの点を含む場合と、その点のすべての近傍がの点を含む場合と、その点がの閉包に含まれる場合とで同値です。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S\setminus \{x\},}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S\setminus \{x\}.}$

の極限点の集合を表すためにを使用すると、の閉包について次のような特徴付けが得られます。 の閉包は、との和集合に等しい。この事実は、閉包の定義として解釈されることもあります。 ${\displaystyle L(S)}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L(S).}$

証拠

（「左部分集合」） がの閉包に含まれると仮定する。が に含まれる場合、これで完了。が に含まれない場合、 のすべての近傍には の点が含まれ、この点は には含まれない。言い換えれば、は の極限点であり、は に含まれる。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L(S).}$

(「右部分集合」)が に含まれる場合、のすべての近傍は明らかに交わるので、は の閉包に含まれます。が に含まれる場合、のすべての近傍には の点( 以外) が含まれるので、 は再び の閉包に含まれます。これで証明は完了です。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L(S),}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$

この結果から、閉集合の特徴が得られます。集合が閉じている場合、その集合はその極限点のすべてを含んでいます。 ${\displaystyle S}$

証拠

証明1:が閉じている場合、その閉包と等しい場合、その閉包と等しい場合、その閉包がに含まれる ...が ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=S\cup L(S)}$ ${\displaystyle L(S)}$ ${\displaystyle S.}$

証明2:が閉集合で、極限点 がに含まれない場合、 の補集合はの開近傍を構成します。はの極限点なので、 の任意の開近傍はと非自明な交差を持つはずです。しかし、集合はその補集合と非自明な交差を持つことはできません。逆に、 がそのすべての極限点を含むと仮定します。 の補集合が開集合であることを示します。が の補集合内の点であるとします。仮定により、は極限点ではないため、 と交差せず、したがっての補集合内に完全に含まれる の開近傍が存在します。この議論は の補集合内の任意の に対して成り立つため、の補集合はの補集合内の点の開近傍の和集合として表すことができます。したがって の補集合は開です。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$

孤立点はいかなる集合の極限点でもない。

証拠

が孤立点である場合、 はの近傍であり、以外の点を含まない。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

空間が離散的である場合、その部分集合には極限点がありません。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

証拠

が離散的である場合、すべての点は孤立しており、いかなる集合の極限点にもなり得ない。逆に、が離散的でない場合、開ではない単独点が存在する。したがって、 のすべての開近傍は点を含み、したがっての極限点となる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle y\neq x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$

空間が自明位相を持ち、複数の元を持つの部分集合である場合、 のすべての元はの極限点である。が単項である場合、 のすべての点はの極限点である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\setminus S}$ ${\displaystyle S.}$

証拠

が空でない限り、その閉包は空になる。が空であるか、が唯一の要素である場合にのみ空になる。 ${\displaystyle S\setminus \{x\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$

参照

• 付着点 – 位相空間の特定の部分集合の閉包に属する点
• 凝縮点
• 収束フィルタ – すべての基本的な位相概念と結果を記述および特徴付けるためにフィルタを使用するPages displaying short descriptions of redirect targets
• 導来集合（数学）  – 集合のすべての極限点の集合
• 位相幾何学におけるフィルタ – 位相幾何学におけるすべての基本的な概念と結果を記述し特徴付けるためにフィルタを使用する
• 孤立点 - 部分集合 S の点であり、その周囲に S の他の点が存在しない点
• 関数の極限 – 解析において関数が収束する点
• 数列の極限 – 無限数列が向かう値
• 部分列の極限 – ある部分列の極限

引用

1. Dugundji 1966、209–210ページ。
2. ブルバキ 1989年、68～83頁。
3. 「境界点と限界点の違い」。2021年1月13日。
4. 「限界点とは何か」。2021年1月13日。
5. “累積ポイントの例”. 2021年1月13日. 2021年4月21日時点のオリジナルよりアーカイブ。2021年1月14日閲覧。
6. ムンクレス 2000、97–102ページ。

参考文献

• ブルバキ、ニコラス(1989) [1966]。一般的なトポロジー: 第 1 章から第 4 章 [ Topologie Générale ]。数学的要素。ベルリン、ニューヨーク: Springer Science & Business Media。ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129.
• ドゥグンジ、ジェームズ(1966). 『トポロジー』 ボストン: アリン・アンド・ベーコン. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485。
• マンクレス, ジェームズ・R. (2000).トポロジー（第2版）.アッパーサドルリバー, ニュージャージー州:プレンティス・ホール社. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260。 （印刷障害のある利用者もアクセス可能）
• 「集合の極限点」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]

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