Distinction between meanings of Euclidean space transformations
能動的な変換（左）では、点 P は固定座標系の 原点 を中心に 時計回りに 角度 θだけ回転し、点 P ′ に変換されます。受動的な変換（右）では、点 P は固定されたまま、座標系は原点を中心に反時計回りに角度 θだけ回転します。能動的な変換後の P ′ の座標は、元の座標系を基準とすると、回転後の座標系を基準とすると、 P の座標と同じになります 。 幾何 学的変換は、固定された 参照フレーム または 座標系 に対する 点 の集合の物理的な位置を変更する 能動 変換または アリバイ変換 （ アリバイと は「同時に別の場所にいる」という意味）と、点を固定したまま 、それらが記述される参照フレームまたは座標系を変更する 受動 変換または エイリアス変換（ エイリアスと は「別の名前で移動する」という意味）の2種類に区別できます。 [1] [2] 数学者は 変換 という場合 、 通常は能動変換を指しますが、 物理学者 や エンジニアは どちらを指す場合もあります。 [ 要出典 ]
例えば、能動的な変換は 剛体 の連続的な位置を記述するのに有用である。一方、受動的な変換は、人体動作解析において、 大腿骨 に対する 脛骨 の相対的な動き、すなわち、床に固定された（ グローバル ）座標系ではなく、大腿骨と共に動く（ ローカル ）座標系に対する脛骨の相対的な動きを観察するのに有用である。 [2]
3 次元ユークリッド空間 では 、能動的か受動的かを問わず、 適切な剛体変換は すべて、軸に沿った 移動とその軸の周りの 回転 の組み合わせである ねじ変位 として表すことができます 。
能動変換 と 受動変換 という用語は、 1957年に バレンタイン・バーグマン によって 特殊相対論 における ローレンツ変換を 説明するために初めて導入されました 。 [3]
例 回転は能動的（ アリバイ ）または受動的（ エイリアス ）変換として考えられる 受動的な（エイリアス ）または能動的な（ アリバイ ）変換 としての移動と回転 例えば、ベクトル を 平面上のベクトルとします。ベクトルを反時計回りに角度 θだけ回転させる操作は、 回転行列 によって与えられます 。
これは、後述するように、 能動的な変換 、または 受動的な変換 （上記の 行列 を 反転した もの） として捉えることができます。 v = ( v 1 , v 2 ) ∈ R 2 {\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},v_{2})\in \mathbb {R} ^{2}} R = ( cos θ − sin θ sin θ cos θ ) , {\displaystyle R={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}},}
一般に、空間変換は 並進変換と線形変換から構成されます。以下では並進変換を省略し、線形変換を3×3行列で表します 。 T : R 3 → R 3 {\displaystyle T\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}} T {\displaystyle T}
アクティブ変換として、 初期ベクトルを 新しいベクトルに変換します 。 T {\displaystyle T} v = ( v x , v y , v z ) {\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})} v ′ = ( v x ′ , v y ′ , v z ′ ) = T v = T ( v x , v y , v z ) {\displaystyle \mathbf {v} '=(v'_{x},v'_{y},v'_{z})=T\mathbf {v} =T(v_{x},v_{y},v_{z})}
を新たな 基底 と見なすと 、新たな基底における新たなベクトルの座標は、 元の基底における の座標と同じになります。能動変換は、異なる ベクトル空間 への線型変換であっても意味を成すことに注意してください。新たなベクトルをプライムなしの基底（上記のように）に書き表すのは、その空間からそれ自身への変換の場合のみです。 { e x ′ = T ( 1 , 0 , 0 ) , e y ′ = T ( 0 , 1 , 0 ) , e z ′ = T ( 0 , 0 , 1 ) } {\displaystyle \{\mathbf {e} '_{x}=T(1,0,0),\ \mathbf {e} '_{y}=T(0,1,0),\ \mathbf {e} '_{z}=T(0,0,1)\}} v ′ = v x e x ′ + v y e y ′ + v z e z ′ {\displaystyle \mathbf {v} '=v_{x}\mathbf {e} '_{x}+v_{y}\mathbf {e} '_{y}+v_{z}\mathbf {e} '_{z}} v = v x e x + v y e y + v z e z {\displaystyle \mathbf {v} =v_{x}\mathbf {e} _{x}+v_{y}\mathbf {e} _{y}+v_{z}\mathbf {e} _{z}}
一方、 受動的な変換として見ると、初期ベクトルは 変更されずに、座標系とその基底ベクトルが反対方向、つまり逆変換で変換されます 。 [4] これにより、基底ベクトルを持つ新しい座標系 XYZ が得られます。 T {\displaystyle T} v = ( v x , v y , v z ) {\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})} T − 1 {\displaystyle T^{-1}} e X = T − 1 ( 1 , 0 , 0 ) , e Y = T − 1 ( 0 , 1 , 0 ) , e Z = T − 1 ( 0 , 0 , 1 ) {\displaystyle \mathbf {e} _{X}=T^{-1}(1,0,0),\ \mathbf {e} _{Y}=T^{-1}(0,1,0),\ \mathbf {e} _{Z}=T^{-1}(0,0,1)}
新しい座標系XYZ に対する の 新しい座標 は次のように与えられます。 ( v X , v Y , v Z ) {\displaystyle (v_{X},v_{Y},v_{Z})} v {\displaystyle \mathbf {v} } v = ( v x , v y , v z ) = v X e X + v Y e Y + v Z e Z = T − 1 ( v X , v Y , v Z ) . {\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})=v_{X}\mathbf {e} _{X}+v_{Y}\mathbf {e} _{Y}+v_{Z}\mathbf {e} _{Z}=T^{-1}(v_{X},v_{Y},v_{Z}).}
この式から、新しい座標は次のように与えられることがわかります。 ( v X , v Y , v Z ) = T ( v x , v y , v z ) . {\displaystyle (v_{X},v_{Y},v_{Z})=T(v_{x},v_{y},v_{z}).}
パッシブ変換は 古い座標を新しい座標に変換します。 T {\displaystyle T}
2種類の変換の等価性に注目してください。能動的な変換における新しい点の座標と受動的な変換における点の新しい座標は同じです。つまり、 ( v X , v Y , v Z ) = ( v x ′ , v y ′ , v z ′ ) . {\displaystyle (v_{X},v_{Y},v_{Z})=(v'_{x},v'_{y},v'_{z}).}
抽象ベクトル空間では 能動的な変換と受動的な変換の違いは、抽象的な ベクトル空間 を考慮することによって数学的に理解できます。
体上の 有限次元ベクトル空間（ または と考える）と の基底を固定する 。 この 基底 は、 成分写像 を介して 同型性を与える 。 V {\displaystyle V} K {\displaystyle K} R {\displaystyle \mathbb {R} } C {\displaystyle \mathbb {C} } B = { e i } 1 ≤ i ≤ n {\displaystyle {\mathcal {B}}=\{e_{i}\}_{1\leq i\leq n}} V {\displaystyle V} C : K n → V {\displaystyle C:K^{n}\rightarrow V} ( v i ) 1 ≤ i ≤ n = ( v 1 , ⋯ , v n ) ↦ ∑ i v i e i {\textstyle (v_{i})_{1\leq i\leq n}=(v_{1},\cdots ,v_{n})\mapsto \sum _{i}v_{i}e_{i}}
アクティブ 変換 は 上の 自己準同型 、すなわち から 自身への線型写像である 。このような変換 をとると 、ベクトルは のように変換される。 の 基底に関する 成分は、 方程式 によって定義される 。すると、 の成分は のように変換される 。 V {\displaystyle V} V {\displaystyle V} τ ∈ End ( V ) {\displaystyle \tau \in {\text{End}}(V)} v ∈ V {\displaystyle v\in V} v ↦ τ v {\displaystyle v\mapsto \tau v} τ {\displaystyle \tau } B {\displaystyle {\mathcal {B}}} τ e i = ∑ j τ j i e j {\textstyle \tau e_{i}=\sum _{j}\tau _{ji}e_{j}} v {\displaystyle v} v i ↦ τ i j v j {\displaystyle v_{i}\mapsto \tau _{ij}v_{j}}
受動的な変換は 、 上の準同型写像である 。これは の成分に適用される。 が可逆であれば 、 を問うことで新しい基底 が決定され 、そこから式が 導出される。 K n {\displaystyle K^{n}} v i ↦ T i j v j =: v i ′ {\displaystyle v_{i}\mapsto T_{ij}v_{j}=:v'_{i}} T {\displaystyle T} B ′ = { e i ′ } {\displaystyle {\mathcal {B}}'=\{e'_{i}\}} v i e i = v i ′ e i ′ {\displaystyle v_{i}e_{i}=v'_{i}e'_{i}} e i ′ = ( T − 1 ) j i e j {\displaystyle e'_{i}=(T^{-1})_{ji}e_{j}}
空間 と は同型であるが、標準同型ではない。しかし、基底の選択によって 同型を構成することができる。 End ( V ) {\displaystyle {\text{End}}(V)} End ( K n ) {\displaystyle {\text{End}}({K^{n}})} B {\displaystyle {\mathcal {B}}}
左と右の行動として 多くの場合、写像が可逆である場合に限定され、能動変換は変換の 一般線型群 であり、受動変換は群である 。 GL ( V ) {\displaystyle {\text{GL}}(V)} GL ( n , K ) {\displaystyle {\text{GL}}(n,K)}
変換は の基底空間に作用するものと理解できます 。能動的な変換は 基底 を送ります 。一方、受動的な変換は 基底 を送ります 。 V {\displaystyle V} τ ∈ GL ( V ) {\displaystyle \tau \in {\text{GL}}(V)} { e i } ↦ { τ e i } {\displaystyle \{e_{i}\}\mapsto \{\tau e_{i}\}} T ∈ GL ( n , K ) {\displaystyle T\in {\text{GL}}(n,K)} { e i } ↦ { ∑ j ( T − 1 ) j i e j } {\textstyle \{e_{i}\}\mapsto \left\{\sum _{j}(T^{-1})_{ji}e_{j}\right\}}
受動変換における逆変換は、 成分が およびの 下で同一に変換されることを保証する 。これにより、能動変換と受動変換が明確に区別される。つまり、能動変換は基底に対して 左から作用するの に対し、受動変換は逆変換のため右から作用する。 τ {\displaystyle \tau } T {\displaystyle T}
この観察は、基底を同型 の選択と 見なすことでより自然になります 。基底の空間は、そのような同型 の空間と等価であり、 と表記されます 。 と同一視される能動変換は、 合成によって左から に 作用します。つまり 、 が能動変換を表す場合は となります 。逆に、 と同一視される受動変換は、 事前合成によって に右から に 作用します。つまり 、 が受動変換を表す場合は となります 。 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} Φ B : K n → V {\displaystyle \Phi _{\mathcal {B}}:K^{n}\rightarrow V} Iso ( K n , V ) {\displaystyle {\text{Iso}}(K^{n},V)} GL ( V ) {\displaystyle {\text{GL}}(V)} Iso ( K n , V ) {\displaystyle {\text{Iso}}(K^{n},V)} τ {\displaystyle \tau } Φ B ′ = τ ∘ Φ B {\displaystyle \Phi _{\mathcal {B'}}=\tau \circ \Phi _{\mathcal {B}}} GL ( n , K ) {\displaystyle {\text{GL}}(n,K)} Iso ( K n , V ) {\displaystyle {\text{Iso}}(K^{n},V)} T {\displaystyle T} Φ B ″ = Φ B ∘ T {\displaystyle \Phi _{\mathcal {B''}}=\Phi _{\mathcal {B}}\circ T}
これにより、基底空間が 左 - 胴体 と 右 - 胴体に変換されます。 GL ( V ) {\displaystyle {\text{GL}}(V)} GL ( n , K ) {\displaystyle {\text{GL}}(n,K)}
物理的な観点から見ると、能動変換は物理空間の変換として特徴付けられ、受動変換は物理空間の記述における冗長性として特徴付けられます。これは数学的な ゲージ理論 において重要な役割を果たしており、 ゲージ変換はファイバーに対して 右から 作用する遷移写像によって数学的に記述されます 。
参照
参考文献 ^ Crampin, M.; Pirani, FAE (1986). Applicable Differential Geometry. Cambridge University Press. p. 22. ISBN 978-0-521-23190-9 。 ^ ab Joseph K. Davidson、Kenneth Henderson Hunt (2004). 「§4.4.1 能動的な解釈と能動的な変換」. 『ロボットとねじ理論：運動学と静力学のロボット工学への応用』 . オックスフォード大学出版局. 74 ページ 以降. ISBN 0-19-856245-4 。 ^ Bargmann, Valentine (1957). 「相対性理論」. Reviews of Modern Physics . 29 (2): 161– 174. Bibcode :1957RvMP...29..161B. doi :10.1103/RevModPhys.29.161. ^ Amidror, Isaac (2007). 「付録D：注釈D.12」. モアレ現象の理論：非周期層 . Springer. p. 346. ISBN 978-1-4020-5457-0 。
外部リンク 
