適応プロセス

確率過程の研究において、確率過程は、ある時点における過程の値に関する情報がその時点で得られる場合、適応型（非予測型または非予測型とも呼ばれる）である。非公式な解釈^{[1]によれば、}Xは、あらゆる実現値とあらゆるnに対して、時点nにおけるXn_が既知である場合に限り適応型となる。適応型過程の概念は、例えば伊藤積分の定義において不可欠であり、これは積分対象が適応型過程である場合にのみ意味を持つ。

意味

させて

$(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ 確率空間である。
$I$ 全順序を持つインデックスセットである(多くの場合、、、または)。 $\leq$ $I$ $\mathbb {N}$ $\mathbb {N} _{0}$ $[0,T]$ $[0,+\infty )$
$\left({\mathcal {F}}_{i}\right)_{i\in I}$ シグマ代数の濾過である。 ${\mathcal {F}}$
$(S,\Sigma )$ 測定可能な空間、状態空間である。
$X_{i}:I\times \Omega \to S$ 確率過程である。

確率過程は、ランダム変数が各に対して測定可能な関数である場合に、濾過に適応していると言われる。^[2] $(X_{i})_{i\in I}$ $\left({\mathcal {F}}_{i}\right)_{i\in I}$ $X_{i}:\Omega \to S$ $({\mathcal {F}}_{i},\Sigma )$ $i\in I$

例

確率過程X : [0, T ] × Ω → Rを考え、実数直線 Rに開集合によって生成される通常のボレルシグマ代数を装備します。

自然濾過 F • X （ここで F t X は R のボレル部分集合 B の原像 X s −1 ( B ) と時刻 0 ≤ s ≤ t によって生成される σ 代数）をとると、_X^は自動的に_F^• X適応化されます。_直感^的に、自然濾過F • Xは時刻tまでの_X^の挙動に関する_「^全情報」を含んでいます。
これは、非適応プロセスX : [0, 2] × Ω → Rの簡単な例です。F t を、時刻 0 ≤ t < 1 において自明な σ 代数 {∅, Ω} とし、時刻 1 ≤ t ≤ 2 において F t = F t X とします。_関数が自明なσ代数に関して測定可能である_唯一の方法_は^定数であることであるため、 [0, 1] において定数でないプロセスXはF _•適応できません。このようなプロセスの非定数性は、より洗練された「未来の」 σ 代数 F t , 1 ≤ t ≤ 2 からの「情報」_を利用するものです。

参照

参考文献

^ デヴィッド・ウィリアムズ (1979)。「II.25」。拡散、マルコフ過程、マルチンゲール: 基礎。 Vol. 1.ワイリー。ISBN 0-471-99705-6。
^ オクセンダル、ベルント (2003)。確率微分方程式。スプリンガー。 p. 25.ISBN 978-3-540-04758-2。

[1] デヴィッド・ウィリアムズ (1979)。「II.25」。拡散、マルコフ過程、マルチンゲール: 基礎。 Vol. 1.ワイリー。ISBN 0-471-99705-6。

[2] オクセンダル、ベルント (2003)。確率微分方程式。スプリンガー。 p. 25.ISBN 978-3-540-04758-2。