加法関数

Function that can be written as a sum over prime factors

数論では、加法関数は、正の整数変数nの算術関数 f ( n )であり、aとbが互いに素であるときはいつでも、積abに適用された関数はaとbに適用された関数の値の和になる：^[1] $${\displaystyle f(ab)=f(a)+f(b).}$$

完全に添加物

加法関数f ( n ) は、すべての正の整数aとbに対して（それらが互いに素でなくても） 成り立つとき、完全加法関数であるといいます。完全加法関数は、完全乗法関数との類推によってもこの意味で用いられます。fが完全加法関数である場合、 f (1) = 0 となります。 ${\displaystyle f(ab)=f(a)+f(b)}$

すべての完全に加法的な関数は加法的ですが、その逆は当てはまりません。

例

完全に加算的な算術関数の例は次のとおりです。

• 対数関数の制限 ${\displaystyle \mathbb {N} .}$
• nにおける素因数pの重複度、つまりp ^{m が}nを割り切れる最大の指数mです。
• a ₀ ( n ) – n を割り切る素数の和。重複度を数えて、sopfr( n )、 nのべき乗、またはnの整数対数（OEISの配列A001414）と呼ばれることもある。例えば：

0 (4) = 2 + ₂ = 4

a ₀ (20) = a ₀ (2 ² · 5) = 2 + 2 + 5 = 9

0 (27) = 3 + 3 + 3 = ₉

a ₀ (144) = a ₀ (2 ⁴ · 3 ² ) = a ₀ (2 ⁴ ) + a ₀ (3 ² ) = 8 + 6 = 14

a ₀ (2000) = a ₀ (2 ⁴ · 5 ³ ) = a ₀ (2 ⁴ ) + a ₀ (5 ³ ) = 8 + 15 = 23

0 (2003) = ₂₀₀₃

0 (54,032,858,972,279) = _1240658

0 (54,032,858,972,302) = _1780417

0 (20,802,650,704,327,415) = _1240681

• 関数 Ω( n ) は、 nの素因数の総数として定義され、複数の因数を複数回数える関数で、「ビッグオメガ関数」と呼ばれることもあります（OEISのシーケンスA001222）。例えば、

Ω(1) = 0、1には素因数がないので

Ω(4) = 2

Ω(16) = Ω(2·2·2·2) = 4

Ω(20) = Ω(2·2·5) = 3

Ω(27) = Ω(3·3·3) = 3

Ω(144) = Ω(2 ⁴ · 3 ² ) = Ω(2 ⁴ ) + Ω(3 ² ) = 4 + 2 = 6

Ω(2000) = Ω(2 ⁴ · 5 ³ ) = Ω(2 ⁴ ) + Ω(5 ³ ) = 4 + 3 = 7

Ω(2001) = 3

Ω(2002) = 4

Ω(2003) = 1

Ω(54,032,858,972,279) = Ω(11 ⋅ 1993 ² ⋅ 1236661) = 4

Ω(54,032,858,972,302) = Ω(2 ⋅ 7 ² ⋅ 149 ⋅ 2081 ⋅ 1778171) = 6

Ω(20,802,650,704,327,415) = Ω(5 ⋅ 7 ⋅ 11 ² ⋅ 1993 ² ⋅ 1236661) = 7。

加算的だが完全には加算的ではない算術関数の例は次のとおりです。

• ω( n )は、 nの異なる素因数の総数として定義されます（OEISの配列A001221）。例えば、

ω(4) = 1

ω(16) = ω(2 ⁴ ) = 1

ω(20) = ω(2 ² · 5) = 2

ω(27) = ω(3 ³ ) = 1

ω(144) = ω(2 ⁴ · 3 ² ) = ω(2 ⁴ ) + ω(3 ² ) = 1 + 1 = 2

ω(2000) = ω(2 ⁴ · 5 ³ ) = ω(2 ⁴ ) + ω(5 ³ ) = 1 + 1 = 2

ω(2001) = 3

ω(2002) = 4

ω(2003) = 1

ω(54,032,858,972,279) = 3

ω(54,032,858,972,302) = 5

ω(20,802,650,704,327,415) = 5

• a ₁ ( n ) – nを割り切る異なる素数の和。sopf( n ) と呼ばれることもある（OEISの配列A008472）。例えば、

a ₁ (1) = 0

a ₁ (4) = 2

1 (20) = 2 + 5 = ₇

1 ( ₂₇ ) = 3

a ₁ (144) = a ₁ (2 ⁴ · 3 ² ) = a ₁ (2 ⁴ ) + a ₁ (3 ² ) = 2 + 3 = 5

a ₁ (2000) = a ₁ (2 ⁴ · 5 ³ ) = a ₁ (2 ⁴ ) + a ₁ (5 ³ ) = 2 + 5 = 7

a ₁ (2001) = 55

a ₁ (2002) = 33

a ₁ (2003) = 2003

1 (54,032,858,972,279) ₌ 1238665

1 (54,032,858,972,302) ₌ 1780410

1 ₍ 20,802,650,704,327,415) = 1238677

乗算関数

任意の加法関数から、関連する乗法関数を作成できます。これは、 と が互いに素であるときは常に、 という性質を持つ関数です。その一例は です。同様に、 が完全に加法的であれば、は完全に乗法的です。より一般的には、 が非ゼロの実定数である関数 を考えることができます。 ${\displaystyle f(n)}$ ${\displaystyle g(n),}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ $${\displaystyle g(ab)=g(a)\times g(b).}$$ ${\displaystyle g(n)=2^{f(n)}.}$ ${\displaystyle f(n)}$ ${\displaystyle g(n)=2^{f(n)}}$ ${\displaystyle g(n)=c^{f(n)}}$ ${\displaystyle c}$

要約機能

加法関数 が与えられ、その総和関数が で定義されるとする。 の平均は次のように与えられる 。 ${\displaystyle f}$ ${\textstyle {\mathcal {M}}_{f}(x):=\sum _{n\leq x}f(n)}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle {\mathcal {M}}_{f}(x)=\sum _{p^{\alpha }\leq x}f(p^{\alpha })\left(\left\lfloor {\frac {x}{p^{\alpha }}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {x}{p^{\alpha +1}}}\right\rfloor \right).}$$

上の要約関数は次のように展開できる。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{f}(x)=xE(x)+O({\sqrt {x}}\cdot D(x))}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}E(x)&=\sum _{p^{\alpha }\leq x}f(p^{\alpha })p^{-\alpha }(1-p^{-1})\\D^{2}(x)&=\sum _{p^{\alpha }\leq x}|f(p^{\alpha })|^{2}p^{-\alpha }.\end{aligned}}}$$

関数の平均はこれらの関数によって次のように表される。 ${\displaystyle f^{2}}$ $${\displaystyle {\mathcal {M}}_{f^{2}}(x)=xE^{2}(x)+O(xD^{2}(x)).}$$

すべての自然数に対して、 ${\displaystyle C_{f}>0}$ ${\displaystyle x\geq 1}$ $${\displaystyle \sum _{n\leq x}|f(n)-E(x)|^{2}\leq C_{f}\cdot xD^{2}(x).}$$

させて $${\displaystyle \nu (x;z):={\frac {1}{x}}\#\!\left\{n\leq x:{\frac {f(n)-A(x)}{B(x)}}\leq z\right\}\!.}$$

が加法関数で、 となると仮定する。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle -1\leq f(p^{\alpha })=f(p)\leq 1}$ ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$ $${\displaystyle B(x)=\sum _{p\leq x}f^{2}(p)/p\rightarrow \infty .}$$

ではガウス分布関数はどこにあるのでしょうか？ ${\displaystyle \nu (x;z)\sim G(z)}$ ${\displaystyle G(z)}$ $${\displaystyle G(z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{z}e^{-t^{2}/2}dt.}$$

素数オメガ関数とシフトされた素数の素因数の数に関連するこの結果の例には、 が固定された場合の次のものが含まれます。ただし、 に対して関係が成り立ちます。 ${\displaystyle z\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\gg 1}$ $${\displaystyle \#\{n\leq x:\omega (n)-\log \log x\leq z(\log \log x)^{1/2}\}\sim xG(z),}$$ $${\displaystyle \#\{p\leq x:\omega (p+1)-\log \log x\leq z(\log \log x)^{1/2}\}\sim \pi (x)G(z).}$$

参照

• シグマ加法性
• プライムオメガ関数
• 乗法関数
• 算術関数

参考文献

1. エルデシュ, P., M. カック. 加法関数理論におけるガウスの誤差則について. Proc Natl Acad Sci USA. 1939年4月; 25(4): 206–207. オンライン

さらに読む

• Janko Bračič、Kolobar aritmetičnih funkcij (算術関数のリング)、(Obzornik mat、fiz. 49 (2002) 4、pp. 97–108) (MSC (2000) 11A25)
• Iwaniec と Kowalski、「解析的数論」、AMS (2004)。

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