ディラック随伴関数

量子場の理論において、ディラック随伴関数はディラックスピノルの双対演算を定義する。ディラック随伴関数は、ディラックスピノルから振る舞いの良い測定可能な量を形成する必要性から生まれたものであり、エルミート随伴関数の通常の役割に取って代わるものである。

おそらく通常のエルミート随伴関数との混同を避けるため、一部の教科書ではディラック随伴関数に名前を付けず、単に「 $ψ$ バー」と呼んでいます。

意味

ディラックスピノルをとすると、そのディラック随伴関数は次のように定義される。 $\psi$

{\bar {\psi }}\equiv \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}

ここで、はスピノルのエルミート随伴行列、は時間的ガンマ行列です。 $\psi ^{\dagger }$ $\psi$ $\gamma ^{0}$

特殊相対論のローレンツ群はコンパクトではないため、ローレンツ変換のスピノル表現は一般にユニタリではない。つまり、が何らかのローレンツ変換の射影表現である場合、 $\lambda$

\psi \mapsto \lambda \psi ,

そして、一般的には、

\lambda ^{\dagger }\neq \lambda ^{-1}.

スピノルのエルミート随伴関数は次のように変換される。

\psi ^{\dagger }\mapsto \psi ^{\dagger }\lambda ^{\dagger }.

したがって、はローレンツスカラーではなく、エルミートでもありません。 $\psi ^{\dagger }\psi$ $\psi ^{\dagger }\gamma ^{\mu }\psi$

対照的に、ディラック随伴関数は次のように変換される。

{\bar {\psi }}\mapsto \left(\lambda \psi \right)^{\dagger }\gamma ^{0}.

恒等式を用いると、変換は次のように簡約される。 $\gamma ^{0}\lambda ^{\dagger }\gamma ^{0}=\lambda ^{-1}$

{\bar {\psi }}\mapsto {\bar {\psi }}\lambda ^{-1},

したがって、はローレンツスカラーとして、また4 元ベクトルとして変換されます。 ${\bar {\psi }}\psi$ ${\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi$

ディラック随伴関数を用いると、スピン1/2粒子場の確率4元電流 $Jは次のように表される。$

J^{\mu }=c{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi

ここで $c$ は光速であり、 $J$ の成分は確率密度 $ρ$ と確率 3-電流 $j$ を表します。

{\boldsymbol {J}}=(c\rho ,{\boldsymbol {j}}).

$μ = 0$ とし、ガンマ行列の関係を用いると

\left(\gamma ^{0}\right)^{2}=I,

確率密度は

\rho =\psi ^{\dagger }\psi .