Properties of an electrical network in terms of a matrix of ratios of currents to voltages
アドミタンスパラメータ または Yパラメータ（ アドミタンス行列 または Y行列 の要素 ）は、 電力 、 電子工学 、 電気通信 など、 電気工学の多くの分野で使用される特性です。これらのパラメータは、 線形 電気回路網 の電気的挙動を記述するために使用されます。また、非線形回路網の 小信号 （ 線形化 ）応答を記述するためにも使用されます 。Yパラメータは短絡アドミタンスパラメータとも呼ばれます。これらは、電子工学で使用される類似のパラメータファミリーのメンバーであり、他の例としては、 Sパラメータ 、 [1] 、 Zパラメータ 、 [2] 、 Hパラメータ 、 Tパラメータ 、または ABCDパラメータ などがあります。 [3] [4]
Yパラメータ行列 Yパラメータ行列は、多数の ポートを持つ ブラックボックス とみなせる線形電気ネットワークの挙動を記述します 。 ここで言う ポート とは、ネットワークに出入りする等しく反対向きの電流を流し、その間に特定の 電圧がかかる一対の 電気端子 のことです。Y行列は、任意のポートの電流がこのようにバランスしていない場合（このような状況が起こり得る場合）、ネットワークの挙動に関する情報を提供しません。また、同じポートに属さない端子間の電圧に関する情報も提供しません。通常、ネットワークへの各外部接続は1つのポートの端子間のみで行われるため、これらの制限は適切です。
一般的なマルチポートネットワークの定義では、各ポートに 1から Nまでの整数 n が割り当てられていると仮定します（ N はポートの総数）。ポート nに対応するYパラメータは、それぞれポート電圧 V n とポート電流 I n で定義されます 。
すべてのポートについて、電流は Y パラメータ マトリックスで定義でき、電圧は次のマトリックス方程式で定義できます。
I = Y V {\displaystyle I=YV\,} ここで、Yは N × N 行列であり、その要素は従来の 行列 表記法を用いてインデックス付けできます。一般に、Yパラメータ行列の要素は 複素数で あり、周波数の関数です。1ポート回路網の場合、Y行列は2つの端子間で測定される通常の アドミタンス である1つの要素に簡約されます。
2ポートネットワーク 任意の2ポートアドミタンス行列の等価回路。この回路では、 ノートン電源 と電圧制御電流源を使用しています。 相互 2 ポート ネットワーク の Y 等価回路。 2ポートネットワーク のYパラメータ行列は おそらく最も一般的です。この場合、ポート電圧、ポート電流、およびYパラメータ行列の関係は次のように表されます。
( I 1 I 2 ) = ( Y 11 Y 12 Y 21 Y 22 ) ( V 1 V 2 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}Y_{11}&Y_{12}\\Y_{21}&Y_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{pmatrix}}} 。 どこ
Y 11 = I 1 V 1 | V 2 = 0 Y 12 = I 1 V 2 | V 1 = 0 Y 21 = I 2 V 1 | V 2 = 0 Y 22 = I 2 V 2 | V 1 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}Y_{11}&={I_{1} \over V_{1}}{\bigg |}_{V_{2}=0}\qquad Y_{12}={I_{1} \over V_{2}}{\bigg |}_{V_{1}=0}\\[8pt]Y_{21}&={I_{2} \over V_{1}}{\bigg |}_{V_{2}=0}\qquad Y_{22}={I_{2} \over V_{2}}{\bigg |}_{V_{1}=0}\end{aligned}}} n ポートネットワーク の一般的なケースでは、
Y n m = I n V m | V k = 0 for k ≠ m {\displaystyle Y_{nm}={I_{n} \over V_{m}}{\bigg |}_{V_{k}=0{\text{ for }}k\neq m}}
入学関係 2ポートネットワークの入力アドミタンスは次のように表されます。
Y i n = Y 11 − Y 12 Y 21 Y 22 + Y L {\displaystyle Y_{in}=Y_{11}-{\frac {Y_{12}Y_{21}}{Y_{22}+Y_{L}}}} ここで、 Y L はポート 2 に接続された負荷のアドミタンスです。
同様に、出力アドミタンスは次のように表されます。
Y o u t = Y 22 − Y 12 Y 21 Y 11 + Y S {\displaystyle Y_{out}=Y_{22}-{\frac {Y_{12}Y_{21}}{Y_{11}+Y_{S}}}} ここで、 Y S はポート 1 に接続されたソースのアドミタンスです。
Sパラメータとの関係 ネットワークのYパラメータはSパラメータと次の関係がある [5]
Y = y ( I N − S ) ( I N + S ) − 1 y = y ( I N + S ) − 1 ( I N − S ) y {\displaystyle {\begin{aligned}Y&={\sqrt {y}}(I_{N}-S)(I_{N}+S)^{-1}{\sqrt {y}}\\&={\sqrt {y}}(I_{N}+S)^{-1}(I_{N}-S){\sqrt {y}}\\\end{aligned}}} そして [5]
S = ( I N − z Y z ) ( I N + z Y z ) − 1 = ( I N + z Y z ) − 1 ( I N − z Y z ) {\displaystyle {\begin{aligned}S&=(I_{N}-{\sqrt {z}}Y{\sqrt {z}})(I_{N}+{\sqrt {z}}Y{\sqrt {z}})^{-1}\\&=(I_{N}+{\sqrt {z}}Y{\sqrt {z}})^{-1}(I_{N}-{\sqrt {z}}Y{\sqrt {z}})\\\end{aligned}}} ここで、 I N は単位行列 であり 、各ポートの 特性アドミタンス（ 特性インピーダンス の逆数） の平方根を 非ゼロ要素として
持つ 対角行列 である。 y {\displaystyle {\sqrt {y}}}
y = ( y 01 y 02 ⋱ y 0 N ) {\displaystyle {\sqrt {y}}={\begin{pmatrix}{\sqrt {y_{01}}}&\\&{\sqrt {y_{02}}}\\&&\ddots \\&&&{\sqrt {y_{0N}}}\end{pmatrix}}}
は 特性インピーダンス の平方根の対応する対角行列である 。これらの式では、括弧で囲まれた因子で表される行列は 交換可能 であるため、上記のようにどちらの順序で書いてもよい。 [5] [注 1] z = ( y ) − 1 {\displaystyle {\sqrt {z}}=({\sqrt {y}})^{-1}}
2ポート 2ポートネットワークの特殊なケースでは、各ポートに同じ実数の 特性 アドミタンスがあり 、上記の式は [6]のように簡約される。 y 01 = y 02 = Y 0 {\displaystyle y_{01}=y_{02}=Y_{0}}
Y 11 = ( 1 − S 11 ) ( 1 + S 22 ) + S 12 S 21 Δ S Y 0 Y 12 = − 2 S 12 Δ S Y 0 Y 21 = − 2 S 21 Δ S Y 0 Y 22 = ( 1 + S 11 ) ( 1 − S 22 ) + S 12 S 21 Δ S Y 0 {\displaystyle {\begin{aligned}Y_{11}&={(1-S_{11})(1+S_{22})+S_{12}S_{21} \over \Delta _{S}}Y_{0}\\Y_{12}&={-2S_{12} \over \Delta _{S}}Y_{0}\\[4pt]Y_{21}&={-2S_{21} \over \Delta _{S}}Y_{0}\\[4pt]Y_{22}&={(1+S_{11})(1-S_{22})+S_{12}S_{21} \over \Delta _{S}}Y_{0}\end{aligned}}} どこ
Δ S = ( 1 + S 11 ) ( 1 + S 22 ) − S 12 S 21 . {\displaystyle \Delta _{S}=(1+S_{11})(1+S_{22})-S_{12}S_{21}.} 上記の式では、一般に とに 複素数を使用します 。 の特定の値では の値が 0 になる可能性があるため、 の計算で で割ると 0 で割る結果になる可能性があることに注意してください。 S i j {\displaystyle S_{ij}} Y i j {\displaystyle Y_{ij}} Δ {\displaystyle \Delta } S i j {\displaystyle S_{ij}} Δ {\displaystyle \Delta } Y i j {\displaystyle Y_{ij}}
2ポートSパラメータは、等価な2ポートYパラメータから次の式で求めることもできる。 [7]
S 11 = ( 1 − Z 0 Y 11 ) ( 1 + Z 0 Y 22 ) + Z 0 2 Y 12 Y 21 Δ S 12 = − 2 Z 0 Y 12 Δ S 21 = − 2 Z 0 Y 21 Δ S 22 = ( 1 + Z 0 Y 11 ) ( 1 − Z 0 Y 22 ) + Z 0 2 Y 12 Y 21 Δ {\displaystyle {\begin{aligned}S_{11}&={(1-Z_{0}Y_{11})(1+Z_{0}Y_{22})+Z_{0}^{2}Y_{12}Y_{21} \over \Delta }\\S_{12}&={-2Z_{0}Y_{12} \over \Delta }\\[4pt]S_{21}&={-2Z_{0}Y_{21} \over \Delta }\\[4pt]S_{22}&={(1+Z_{0}Y_{11})(1-Z_{0}Y_{22})+Z_{0}^{2}Y_{12}Y_{21} \over \Delta }\end{aligned}}} どこ
Δ = ( 1 + Z 0 Y 11 ) ( 1 + Z 0 Y 22 ) − Z 0 2 Y 12 Y 21 {\displaystyle \Delta =(1+Z_{0}Y_{11})(1+Z_{0}Y_{22})-Z_{0}^{2}Y_{12}Y_{21}\,} 各ポートの特性 インピーダンス です （2 つのポートは同じであると想定されます）。 Z 0 {\displaystyle Z_{0}}
Zパラメータとの関係 Zパラメータ からYパラメータへの変換は はるかに簡単です。Yパラメータ行列は Zパラメータ行列の 逆行列だからです。以下の式は、適用可能な関係を示しています。
Y 11 = Z 22 | Z | Y 12 = − Z 12 | Z | Y 21 = − Z 21 | Z | Y 22 = Z 11 | Z | {\displaystyle {\begin{aligned}Y_{11}&={Z_{22} \over |Z|}\\[4pt]Y_{12}&={-Z_{12} \over |Z|}\\[4pt]Y_{21}&={-Z_{21} \over |Z|}\\[4pt]Y_{22}&={Z_{11} \over |Z|}\end{aligned}}} どこ
| Z | = Z 11 Z 22 − Z 12 Z 21 {\displaystyle |Z|=Z_{11}Z_{22}-Z_{12}Z_{21}\,} この場合は Z パラメータ マトリックスの 行列式 になります。 | Z | {\displaystyle |Z|}
逆に、YパラメータはZパラメータを決定するために使用することができ、基本的に同じ式を使用する。
Y = Z − 1 {\displaystyle Y=Z^{-1}\,} そして
Z = Y − 1 . {\displaystyle Z=Y^{-1}.}
参照
注記 ^ 任意の正方行列はそれ自身および単位行列と可換であり、2つの行列 A と B が可換であれば、 A と B −1 も可換である（ AB −1 = B −1 BAB −1 = B −1 ABB −1 = B −1 A であるため）。
参考文献 ^ ポザール、デビッド・M. (2005); マイクロ波工学、第3版 （国際版）; ジョン・ワイリー・アンド・サンズ; pp. 170-174. ISBN 0-471-44878-8 。 ^ ポザール、デイビッド M. (2005) (前掲); 170-174ページ。 ^ ポザール、デイビッド M. (2005) (前掲); 183-186ページ。 ^ モートン、AH (1985); 高度電気工学 ;ピットマン出版; pp. 33-72. ISBN 0-273-40172-6 ^ abc Russer, Peter (2003). 通信工学のための電磁気学、マイクロ波回路、アンテナ設計 . Artech House. ISBN 978-1-58053-532-8 。 ^ Frickey, DA (1994年2月). 「複素信号源および負荷インピーダンスに有効なS、Z、Y、H、ABCD、およびTパラメータ間の変換」. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 42 (2): 205– 211. Bibcode :1994ITMTT..42..205F. doi :10.1109/22.275248. ISSN 0018-9480. ^ サイモン・ラモ、ジョン・R・ウィナリー、セオドア・ヴァン・デューザー、「通信エレクトロニクスにおける電界と波」、第3版、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社、1993年、537-541頁、 ISBN 0-471-58551-3 。 
![{\displaystyle {\begin{aligned}Y_{11}&={I_{1} \over V_{1}}{\bigg |}_{V_{2}=0}\qquad Y_{12}={I_{1} \over V_{2}}{\bigg |}_{V_{1}=0}\\[8pt]Y_{21}&={I_{2} \over V_{1}}{\bigg |}_{V_{2}=0}\qquad Y_{22}={I_{2} \over V_{2}}{\bigg |}_{V_{1}=0}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b522875ab5fda054459cb12be3247a416aee01c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}Y_{11}&={(1-S_{11})(1+S_{22})+S_{12}S_{21} \over \Delta _{S}}Y_{0}\\Y_{12}&={-2S_{12} \over \Delta _{S}}Y_{0}\\[4pt]Y_{21}&={-2S_{21} \over \Delta _{S}}Y_{0}\\[4pt]Y_{22}&={(1+S_{11})(1-S_{22})+S_{12}S_{21} \over \Delta _{S}}Y_{0}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3a616cadca1cf9f8371d9bfe07b8c7d5390ccc9)
![{\displaystyle {\begin{aligned}S_{11}&={(1-Z_{0}Y_{11})(1+Z_{0}Y_{22})+Z_{0}^{2}Y_{12}Y_{21} \over \Delta }\\S_{12}&={-2Z_{0}Y_{12} \over \Delta }\\[4pt]S_{21}&={-2Z_{0}Y_{21} \over \Delta }\\[4pt]S_{22}&={(1+Z_{0}Y_{11})(1-Z_{0}Y_{22})+Z_{0}^{2}Y_{12}Y_{21} \over \Delta }\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c7c42c659271a252e92fd9c46d2c57a5435b835)
![{\displaystyle {\begin{aligned}Y_{11}&={Z_{22} \over |Z|}\\[4pt]Y_{12}&={-Z_{12} \over |Z|}\\[4pt]Y_{21}&={-Z_{21} \over |Z|}\\[4pt]Y_{22}&={Z_{11} \over |Z|}\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdc62a4d7e9e726981a4ac2dbe7b5d45319ea885)
