アフィン結合

係数の和が1になる線型結合

数学では、x ₁、...、x _nの アフィン結合は線形結合である。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}\cdot x_{i}}=\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n},}$

となる

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}}=1.}$

ここで、x ₁ , ..., x _{n は}体K上のベクトル空間の元（ベクトル）であり、係数はKの元である ${\displaystyle \alpha _{i}}$

元x ₁ , ..., x _{n は}ユークリッド空間の点、そしてより一般的には体K上のアフィン空間の点にもなり得ます。この場合、 はKの元（またはユークリッド空間の元）であり、アフィン結合も点となります。この場合の定義については、 「アフィン空間」§「アフィン結合と重心」を参照してください。 ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

この概念はユークリッド幾何学とアフィン幾何学の基本的な概念です。なぜなら、点の集合のすべてのアフィン組み合わせの集合は、ベクトルの集合の線形組み合わせがその線形スパンを形成するのとまったく同じように、点を含む最小のアフィン空間を形成するからです。

アフィン結合は任意のアフィン変換Tと可換であり 、

${\displaystyle T\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}\cdot x_{i}}=\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}\cdot Tx_{i}}.}$

特に、与えられたアフィン変換の不動点の任意のアフィン結合はの不動点でもあるので、 の不動点の集合はアフィン空間（3D では直線または平面、自明なケースでは点または空間全体）を形成します。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

確率行列Aが列ベクトルb →に作用すると、結果は、 b →とAの行の係数とのアフィン結合を要素とする列ベクトルになります。

参照

関連する組み合わせ

• 凸型の組み合わせ
• 円錐型の組み合わせ
• 線型結合

アフィン幾何学

• アフィン空間
• アフィン幾何学
• アフィン包

参考文献

• ジャン・ガリエ（2001年）『幾何学的方法と応用』ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-95044-0第2章をご覧ください。

外部リンク

• アフィン組み合わせに関する注意事項。

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