Group of all affine transformations of an affine space
数学 において 、任意の アフィン空間 の アフィン群 または 一般アフィン群とは、その空間からそれ自身への可逆な アフィン変換 全体の成す 群 である。 ユークリッド空間 （スカラー体として 実数体 を用いる）の場合 、アフィン群は、その空間からそれ自身への関数であって、すべての直線の像が直線となるようなものから構成される。
任意の体上では、アフィン群は自然な形で行列群として見ることができます。関連するスカラー体が実体または複素体である場合、アフィン群は リー群 です。
一般線型群との関係
一般線型群からの構成 具体的には、ベクトル空間 V が与えられると、その基礎となる アフィン空間 A は原点を「忘れる」ことによって得られ、 V は並進によって作用し、 A のアフィン群は 、 V の 一般線型群 GL( V ) による V の 半直積 として具体的に記述できます 。
Aff ( V ) = V ⋊ GL ( V ) {\displaystyle \operatorname {Aff} (V)=V\rtimes \operatorname {GL} (V)} GL( V )の V へ の作用は 自然なもの（線型変換は自己同型）であるため、これは 半直積 を定義します。
行列の観点から見ると、次のように書けます。
Aff ( n , K ) = K n ⋊ GL ( n , K ) {\displaystyle \operatorname {Aff} (n,K)=K^{n}\rtimes \operatorname {GL} (n,K)} ここで、GL(n,K)の Kn に対する 自然 な 作用 は ベクトル の 行列 乗算 です。
ポイントの安定装置 アフィン空間 A のアフィン群が与えられたとき、 点 pの 安定群 は同じ次元の一般線型群と同型です（したがって、 Aff(2, R )の点の安定群は GL(2, R ) と同型です ）。正式には、これはベクトル空間 ( A 、 p ) の一般線型群です。点を固定すると、アフィン空間は ベクトル空間 になることを思い出してください。
これらの部分群はすべて共役であり、共役はpから q への 変換によって与えられる （これは一意に定義される）。しかし、どの点も特別ではないため、特定の部分群が自然に選択されることはない。これは、横断部分群の複数の選択、または 短い完全列の分割に対応する。
1 → V → V ⋊ GL ( V ) → GL ( V ) → 1 . {\displaystyle 1\to V\to V\rtimes \operatorname {GL} (V)\to \operatorname {GL} (V)\to 1\,.} アフィン群がベクトル空間から始め て構築された場合 、（ベクトル空間の）原点を安定させる部分群は元の GL( V ) である。
行列表現 アフィン群をVの GL( V ) による 半直積として表すと 、 半直積の構築により 、要素はペア ( v , M ) となり、ここで vは V のベクトル 、 Mは GL( V ) の線形変換であり 、乗算は次のように表される。
( v , M ) ⋅ ( w , N ) = ( v + M w , M N ) . {\displaystyle (v,M)\cdot (w,N)=(v+Mw,MN)\,.} これは（ n + 1）×（ n + 1） ブロック行列 として表すことができます
( M v 0 1 ) {\displaystyle \left({\begin{array}{c|c}M&v\\\hline 0&1\end{array}}\right)} ここで、 M は K 上の n × n 行列、 v は n × 1 列ベクトル、0 は 1 × n のゼロ行、1 は 1 × 1 の 単位ブロック行列です。
正式には、 Aff( V )は GL( V ⊕ K ) のサブグループに自然に同型であり 、 V はアフィン平面 {( v , 1) | v ∈ V } 、つまりこのアフィン平面の安定化として埋め込まれます。上記の行列定式化は、これの実現 (の転置) であり、 n × n および 1 × 1 ブロックは直和分解 V ⊕ K に対応します。
同様 の 表現は、各列の要素の合計が1になる任意の ( n +1)×( n +1) 行列である。 [1] 上記の種類からこの種類に移行するための 類似度 P は 、最下行がすべて1の行に置き換えられた ( n +1)×( n +1) 単位行列である。
これら 2 つのクラスの行列はそれぞれ、行列乗算に対して閉じています。
最も単純なパラダイムは n = 1 の 場合、つまり1次元のアフィン群を表す上三角 2 × 2 行列の場合であろう。これは2パラメータ 非可換 リー群 であり、2つの生成元（リー代数元） A と Bのみを持ち、 [ A , B ] = B となる 。ここで
A = ( 1 0 0 0 ) , B = ( 0 1 0 0 ) , {\displaystyle A=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}}\right),\qquad B=\left({\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}}\right)\,,} となることによって
e a A + b B = ( e a b a ( e a − 1 ) 0 1 ) . {\displaystyle e^{aA+bB}=\left({\begin{array}{cc}e^{a}&{\tfrac {b}{a}}(e^{a}-1)\\0&1\end{array}}\right)\,.}
文字表 貢献( F p ) Aff( F p ) の 位数は p ( p − 1) である。
( c d 0 1 ) ( a b 0 1 ) ( c d 0 1 ) − 1 = ( a ( 1 − a ) d + b c 0 1 ) , {\displaystyle {\begin{pmatrix}c&d\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c&d\\0&1\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}a&(1-a)d+bc\\0&1\end{pmatrix}}\,,} Aff( F p )には p 個の 共役類 があること が分かっている。すなわち
C i d = { ( 1 0 0 1 ) } , C 1 = { ( 1 b 0 1 ) | b ∈ F p ∗ } , { C a = { ( a b 0 1 ) | b ∈ F p } | a ∈ F p ∖ { 0 , 1 } } . {\displaystyle {\begin{aligned}C_{id}&=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right\}\,,\\[6pt]C_{1}&=\left\{{\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}{\Bigg |}b\in \mathbf {F} _{p}^{*}\right\}\,,\\[6pt]{\Bigg \{}C_{a}&=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}{\Bigg |}b\in \mathbf {F} _{p}\right\}{\Bigg |}a\in \mathbf {F} _{p}\setminus \{0,1\}{\Bigg \}}\,.\end{aligned}}} このとき、 Aff( F p )には p 個 の既約表現が存在する ことがわかる 。上の段落（§ 行列表現）によれば、準同型写像によって決定される p − 1 個 の一次元表現が存在する。
ρ k : Aff ( F p ) → C ∗ {\displaystyle \rho _{k}:\operatorname {Aff} (\mathbf {F} _{p})\to \mathbb {C} ^{*}} k = 1, 2,… p − 1 、ここ で
ρ k ( a b 0 1 ) = exp ( 2 i k j π p − 1 ) {\displaystyle \rho _{k}{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}=\exp \left({\frac {2ikj\pi }{p-1}}\right)} i 2 = −1 、 a = g j 、 g は 群 Fの生成元である ∗ p . 次にF p の順序と比較すると 、
p ( p − 1 ) = p − 1 + χ p 2 , {\displaystyle p(p-1)=p-1+\chi _{p}^{2}\,,} したがって、 χ p = p − 1 は最後の既約表現の次元である。最後に、既約表現の直交性を用いて、 Aff( F p ) の指標表を完成させることができる。
C i d C 1 C g C g 2 … C g p − 2 χ 1 1 1 e 2 π i p − 1 e 4 π i p − 1 … e 2 π ( p − 2 ) i p − 1 χ 2 1 1 e 4 π i p − 1 e 8 π i p − 1 … e 4 π ( p − 2 ) i p − 1 χ 3 1 1 e 6 π i p − 1 e 12 π i p − 1 … e 6 π ( p − 2 ) i p − 1 … … … … … … … χ p − 1 1 1 1 1 … 1 χ p p − 1 − 1 0 0 … 0 {\displaystyle {\begin{array}{c|cccccc}&{\color {Blue}C_{id}}&{\color {Blue}C_{1}}&{\color {Blue}C_{g}}&{\color {Blue}C_{g^{2}}}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Blue}C_{g^{p-2}}}\\\hline {\color {Blue}\chi _{1}}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Blue}e^{\frac {2\pi i}{p-1}}}&{\color {Blue}e^{\frac {4\pi i}{p-1}}}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Blue}e^{\frac {2\pi (p-2)i}{p-1}}}\\{\color {Blue}\chi _{2}}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Blue}e^{\frac {4\pi i}{p-1}}}&{\color {Blue}e^{\frac {8\pi i}{p-1}}}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Blue}e^{\frac {4\pi (p-2)i}{p-1}}}\\{\color {Blue}\chi _{3}}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Blue}e^{\frac {6\pi i}{p-1}}}&{\color {Blue}e^{\frac {12\pi i}{p-1}}}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Blue}e^{\frac {6\pi (p-2)i}{p-1}}}\\{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }\\{\color {Blue}\chi _{p-1}}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}1}\\{\color {Blue}\chi _{p}}&{\color {Gray}p-1}&{\color {Gray}-1}&{\color {Gray}0}&{\color {Gray}0}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}0}\end{array}}}
実数上の平面アフィン群 の元は、 適切に選択された アフィン座標系 上では単純な形をとることができる。より正確には、 実数 上の アフィン平面 のアフィン変換が与えられた場合、それが次のいずれかの形をとるアフィン座標系が存在する。ここで、 a 、 b 、および t は実数である（与えられた条件は、変換が可逆であることを保証するが、クラスを区別することは保証しない。例えば、恒等変換はすべてのクラスに属する）。 Aff ( 2 , R ) {\displaystyle \operatorname {Aff} (2,\mathbb {R} )}
1. ( x , y ) ↦ ( x + a , y + b ) , 2. ( x , y ) ↦ ( a x , b y ) , where a b ≠ 0 , 3. ( x , y ) ↦ ( a x , y + b ) , where a ≠ 0 , 4. ( x , y ) ↦ ( a x + y , a y ) , where a ≠ 0 , 5. ( x , y ) ↦ ( x + y , y + a ) 6. ( x , y ) ↦ ( a ( x cos t + y sin t ) , a ( − x sin t + y cos t ) ) , where a ≠ 0. {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{1.}}&&(x,y)&\mapsto (x+a,y+b),\\[3pt]{\text{2.}}&&(x,y)&\mapsto (ax,by),&\qquad {\text{where }}ab\neq 0,\\[3pt]{\text{3.}}&&(x,y)&\mapsto (ax,y+b),&\qquad {\text{where }}a\neq 0,\\[3pt]{\text{4.}}&&(x,y)&\mapsto (ax+y,ay),&\qquad {\text{where }}a\neq 0,\\[3pt]{\text{5.}}&&(x,y)&\mapsto (x+y,y+a)\\[3pt]{\text{6.}}&&(x,y)&\mapsto (a(x\cos t+y\sin t),a(-x\sin t+y\cos t)),&\qquad {\text{where }}a\neq 0.\end{aligned}}} ケース1は 翻訳 に相当します。
ケース2は、 2つの異なる方向で異なる スケーリングが可能な場合に対応します。 ユークリッド平面 を扱う場合、 座標軸が 垂直で ある必要がないため、 これらの方向は 垂直である必要はありません。
ケース 3 は、ある方向へのスケーリングと別の方向への移動に対応します。
ケース 4 は、 膨張と組み合わせた シアー マッピングに対応します。
ケース 5 は、 膨張と組み合わせた シアー マッピングに対応します。
ケース6は、 座標軸が垂直である場合の 類似性に相当します。
固定点 のないアフィン変換は、 ケース 1、3、および 5 に属します。平面の向きを保存しない変換は、ケース 2 ( ab < 0 ) または 3 ( a < 0 ) に属します。
証明は、まずアフィン変換に固定点がない場合、関連付けられた線形写像の行列の 固有値 が1 に等しいことを指摘し、次に 実数行列のジョルダン正規形定理を 使用することで行うことができます。
その他のアフィン群と部分群
一般的なケース 一般線型群 の 任意の部分群 G < GL( V ) が与えられれば、アフィン群 （Aff( G )と表記されることもある）を生成することができ、これは Aff( G ) := V ⋊ G と類似している 。
より一般的に抽象的に、任意の群 G と ベクトル空間 V上の G の 表現が 与えられると、 関連するアフィン群 V ⋊ ρ G が得られる[注1] 。得られたアフィン群は「ベクトル表現による 群の拡大 」であると言うことができ 、上記のように、短い正確なシーケンスが得られる。 ρ : G → GL ( V ) {\displaystyle \rho :G\to \operatorname {GL} (V)} 1 → V → V ⋊ ρ G → G → 1. {\displaystyle 1\to V\to V\rtimes _{\rho }G\to G\to 1.}
特殊アフィン群 符号まで固定された 体積形 を保存するすべての可逆アフィン変換の部分集合は、 特殊アフィン群 と呼ばれる。（変換自体は等 アフィン変換と呼ばれることもある。）この群は 、特殊線型群 のアフィン類似体である 。半直積の観点から見ると、特殊アフィン群は、 となるすべてのペア （ M 、 v ） から構成される。つまり、 M は行列式の絶対値が1である線型変換であり、 v は任意の固定並進ベクトルであるアフィン変換
で ある。 [2] [3] | det ( M ) | = 1 {\displaystyle |\det(M)|=1} x ↦ M x + v {\displaystyle x\mapsto Mx+v}
線型部分が行列式1を持つような変換からなる特殊アフィン群の部分群は、方向と体積を保存する写像の群である。代数的には、この群は の特殊線型群と並進写像の半直積である。これは 、せん断写像 によって生成される 。 S L ( V ) ⋉ V {\displaystyle SL(V)\ltimes V} V {\displaystyle V}
射影部分群 射影性 と 射影幾何学 の射影群の知識があれば 、アフィン群は簡単に特定できる。例えば、ギュンター・エーヴァルトは次のように書いている: [4]
P n のすべての射影共線化の 集合は、 P n の 射影群 と呼ぶことができる群である 。P n からアフィン空間 A n へ、超平面 ω を 無限遠における超平面 と 宣言して 進むと、 ω を 固定した のすべての元からなる の 部分群 として A n の アフィン群 が得られる 。 P {\displaystyle {\mathfrak {P}}} A {\displaystyle {\mathfrak {A}}} P {\displaystyle {\mathfrak {P}}} P {\displaystyle {\mathfrak {P}}} A ⊂ P {\displaystyle {\mathfrak {A}}\subset {\mathfrak {P}}}
ユークリッド空間の等長変換 アフィン空間 A が （実数体上の）ユークリッド空間であるとき、 A の距離保存写像（ 等長写像 ）の群はアフィン群の部分群となる。代数的には、この群は の 直交群 と並進写像との 半直積である 。幾何学的には、直交鏡映写像によって生成されるアフィン群の部分群である。 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} O ( V ) ⋉ V {\displaystyle O(V)\ltimes V} V {\displaystyle V}
ポアンカレ群 ポアンカレ 群は ローレンツ群 O(1,3) のアフィン群である 。
R 1 , 3 ⋊ O ( 1 , 3 ) {\displaystyle \mathbf {R} ^{1,3}\rtimes \operatorname {O} (1,3)} この例は 相対性 において非常に重要です。
参照
注記 ^ GL( V ) < Aut( V ) なので 、この包含関係は一般に適切であることに注意してください。「自己同型」とは 群の自己同型、つまり V 上の群構造（加法と原点）を保存するものの、スカラー乗算は必ずしも保存されないことを意味するためです。また、これらの群は R 上で作用する場合は異なります 。
参考文献 
![{\displaystyle {\begin{aligned}C_{id}&=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right\}\,,\\[6pt]C_{1}&=\left\{{\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}{\Bigg |}b\in \mathbf {F} _{p}^{*}\right\}\,,\\[6pt]{\Bigg \{}C_{a}&=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}{\Bigg |}b\in \mathbf {F} _{p}\right\}{\Bigg |}a\in \mathbf {F} _{p}\setminus \{0,1\}{\Bigg \}}\,.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5562a73d97d15bd2fa36ecacb541f1a57de4f676)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{1.}}&&(x,y)&\mapsto (x+a,y+b),\\[3pt]{\text{2.}}&&(x,y)&\mapsto (ax,by),&\qquad {\text{where }}ab\neq 0,\\[3pt]{\text{3.}}&&(x,y)&\mapsto (ax,y+b),&\qquad {\text{where }}a\neq 0,\\[3pt]{\text{4.}}&&(x,y)&\mapsto (ax+y,ay),&\qquad {\text{where }}a\neq 0,\\[3pt]{\text{5.}}&&(x,y)&\mapsto (x+y,y+a)\\[3pt]{\text{6.}}&&(x,y)&\mapsto (a(x\cos t+y\sin t),a(-x\sin t+y\cos t)),&\qquad {\text{ただし }}a\neq 0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/492f728ceba8d5b0b6696c2a5546680b251bbcec)
