アフィン包

Smallest affine subspace that contains a subset

数学において、ユークリッド空間における 集合のアフィン包（アフィンハル）またはアフィンスパン（アフィンスパン）とは、を含む最小のアフィン集合である^[1] 。あるいは、を含むすべてのアフィン集合の共通部分と同義である。ここで、アフィン集合はベクトル部分空間の平行移動として定義することができる。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

のアフィン包は、原点を に移動した場合に になるものです。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {span} S}$ ${\displaystyle S}$

のアフィン包aff( )は、の要素のすべてのアフィン組み合わせの集合である。つまり、 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \operatorname {aff} (S)=\left\{\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}x_{i}\,{\Bigg |}\,k>0,\,x_{i}\in S,\,\alpha _{i}\in \mathbb {R} ,\,\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}=1\right\}.}$

例

• 空集合のアフィン包は空集合です。
• シングルトン(単一の要素で構成されるセット)のアフィン ハルは、シングルトンそのものです。
• 2 つの異なる点の集合のアフィン包は、それらの点を通る線です。
• 1 本の直線上にない 3 点の集合のアフィン ハルは、それらの点を通る平面です。
• の平面上にない 4 点の集合のアフィン包は、空間全体です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

プロパティ

任意のサブセット ${\displaystyle S,T\subseteq X}$

• ${\displaystyle \operatorname {aff} (\operatorname {aff} S)=\operatorname {aff} S\subset \operatorname {span} S=\operatorname {span} \operatorname {aff} S}$。
• ${\displaystyle \operatorname {aff} S}$が有限次元の場合、閉集合となります。 ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \operatorname {aff} (S+T)=\operatorname {aff} S+\operatorname {aff} T}$。
• ${\displaystyle S\subset \operatorname {aff} S}$。
• もしそうなら。 ${\displaystyle 0\in \operatorname {aff} S}$ ${\displaystyle \operatorname {aff} S=\operatorname {span} S}$
• の場合、はの線形部分空間です。 ${\displaystyle s_{0}\in \operatorname {aff} S}$ ${\displaystyle \operatorname {aff} (S)-s_{0}=\operatorname {span} (S-s_{0})=\operatorname {span} (S-S)}$ ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \operatorname {aff} (S-S)=\operatorname {span} (S-S)}$もし。 ${\displaystyle S\neq \varnothing }$
  • したがって、の場合、は常に のベクトル部分空間になります。 ${\displaystyle \operatorname {aff} (S-S)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\neq \varnothing }$
• が凸ならば ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {aff} (S-S)=\displaystyle \bigcup _{\lambda >0}\lambda (S-S)}$
• 任意の に対して、はを含む最小の錐です（ここで、集合 が錐であるとは、すべての に対してであり、すべての非負 である場合です）。 ${\displaystyle s_{0}\in \operatorname {aff} S}$ ${\displaystyle \operatorname {aff} S=s_{0}+\operatorname {span} (S-s_{0})=s_{0}+\operatorname {span} (S-S)=S+\operatorname {span} (S-S)=s_{0}+\operatorname {cone} (S-S)}$ ${\displaystyle \operatorname {cone} (S-S)}$ ${\displaystyle S-S}$ ${\displaystyle C\subseteq X}$ ${\displaystyle rc\in C}$ ${\displaystyle c\in C}$ ${\displaystyle r\geq 0}$
  • したがって、 の場合、は常に の線形部分空間であり、に平行です。 ${\displaystyle \operatorname {cone} (S-S)=\operatorname {span} (S-S)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {aff} S}$ ${\displaystyle S\neq \varnothing }$
  • 注:は、原点を含むように平行移動し、その範囲を取り、それを元に戻すと が得られることを示しています。さらに、またはは 、原点が にあった場合の になります。 ${\displaystyle \operatorname {aff} S=s_{0}+\operatorname {span} (S-s_{0})}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {aff} S}$ ${\displaystyle \operatorname {aff} S}$ ${\displaystyle s_{0}+\operatorname {span} (S-s_{0})}$ ${\displaystyle \operatorname {span} S}$ ${\displaystyle s_{0}}$

関連セット

• アフィン結合の代わりに凸結合を使用する場合、つまり、上記の式ですべてが非負であることを条件とする場合、の凸包が得られます。これは、より多くの制約が関係するため、のアフィン包より大きくなることはできません。 ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$
• 円錐結合の概念から円錐殻 の概念が生まれます。 ${\displaystyle \operatorname {cone} S}$
• しかし、数値 にまったく制限を設けない場合は、アフィン結合 の代わりに線形結合が得られ、結果として得られるセットは の線形スパンで、これには のアフィン包が含まれます。 ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {span} S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

参考文献

1. ローマン 2008、p. 430 §16

出典

• RJウェブスター『凸性』オックスフォード大学出版局、1994年。ISBN 0-19-853147-8。
• ローマン、スティーブン（2008年）、上級線形代数、数学大学院テキスト（第3版）、シュプリンガー、ISBN 978-0-387-72828-5

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