代数の層

代数幾何学において、環空間X上の代数層は、 X上の可換環の層であり、かつ-加群の層でもある。それが加群として準連接的である場合、それは準連接的である。 ${\mathcal {O}}_{X}$

Xがスキームであるとき、環と同様に、代数の準連接層の大域 Specをとることができる。これは、 X上の準連接（の層） -代数の圏から、X上アフィンなスキームの圏（以下で定義）への反変関手となる。さらに、これは同値である。準逆は、アフィン射を^[1]に送ることで与えられる。 $\operatorname {Spec} _{X}$ ${\mathcal {O}}_{X}$ $f:Y\to X$ $f_{*}{\mathcal {O}}_{Y}.$

アフィン射影

スキームの射がアフィンであるとは、がアフィンとなるような開アフィン被覆を持つ場合である。^[2]例えば、有限射はアフィンである。アフィン射は準コンパクトかつ分離的である。特に、アフィン射に沿った準連立層の直接像は準連立的である。 $f:X\to Y$ $Y$ $U_{i}$ $f^{-1}(U_{i})$

アフィン射の基底変換はアフィンである。[ 3 ^]

をスキーム間のアフィン写像と局所環空間と写像とすると、集合間の自然写像は次のようになる。 $f:X\to Y$ $E$ $g:E\to Y$

\operatorname {Mor} _{Y}(E,X)\to \operatorname {Hom} _{{\mathcal {O}}_{Y}{\text{-alg}}}(f_{*}{\mathcal {O}}_{X},g_{*}{\mathcal {O}}_{E})

は単射である。^[4]

例

を代数多様体Xの正規化とする。このとき、fは有限なので、は準整合的であり、となる。 $f:{\widetilde {X}}\to X$ $f_{*}{\mathcal {O}}_{\widetilde {X}}$ $\operatorname {Spec} _{X}(f_{*}{\mathcal {O}}_{\widetilde {X}})={\widetilde {X}}$
をスキームX上の有限階数の局所自由層とする。すると、は準連接 -代数であり、はX上の付随ベクトル束（の全空間と呼ばれる）である。 $E$ $\operatorname {Sym} (E^{*})$ ${\mathcal {O}}_{X}$ $\operatorname {Spec} _{X}(\operatorname {Sym} (E^{*}))\to X$ $E$
より一般的には、F がX上の連接層である場合、が存在します。これは通常、 Fのアーベル包と呼ばれます。円錐 (代数幾何学)#例を参照してください。 $\operatorname {Spec} _{X}(\operatorname {Sym} (F))\to X$

直接像の形成

環空間Sが与えられたとき、環空間射と -加群からなる対の圏が存在する。すると、直像の形成により、から-代数AとA -加群Mからなる対の圏への反変関手が決定され、この対は各対を対へ送る。 $C_{S}$ $(f,M)$ $f:X\to S$ ${\mathcal {O}}_{X}$ $M$ $C_{S}$ ${\mathcal {O}}_{S}$ $(f,M)$ $(f_{*}{\mathcal {O}},f_{*}M)$

ここで、Sをスキームとし、がスキーム間のアフィン射と上の準連接層であるようなペアからなるサブカテゴリとします。すると、上記の関数は、と-代数Aと準連接 -加群からなるペアのカテゴリとの間の同値性を決定します。^[5] $\operatorname {Aff} _{S}\subset C_{S}$ $(f:X\to S,M)$ $f$ $M$ $X$ $\operatorname {Aff} _{S}$ $(A,M)$ ${\mathcal {O}}_{S}$ $A$ $M$

上記の同値性は（とりわけ）以下の構築に利用できます。前述と同様に、スキームSが与えられたとき、A を準連接 -代数とし、そのグローバル Spec: をとります。すると、各準連接A -加群Mに対して、対応する準連接 -加群が存在し、この -加群はMに関連付けられた層と呼ばれます。言い換えれば、は準連接 -加群のカテゴリと準連接 -加群間の同値性を決定します。 ${\mathcal {O}}_{S}$ $f:X=\operatorname {Spec} _{S}(A)\to S$ ${\mathcal {O}}_{X}$ ${\widetilde {M}}$ $f_{*}{\widetilde {M}}\simeq M,$ $f_{*}$ ${\mathcal {O}}_{X}$ $A$

参照

参考文献

^ EGA 1971、Ch.私、テオレム9.1.4。
^ EGA 1971、第I章、定義9.1.1。
^ スタックスプロジェクト、タグ01S5。
^ EGA 1971、第I章、命題9.1.5。
^ EGA 1971、Ch.私、テオレム9.2.1。

アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1971)。幾何学的計算の要素: I. スキーマの言語。 Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (フランス語)。 Vol. 166（第2版）。ベルリン;ニューヨーク: Springer-Verlag。ISBN 978-3-540-05113-8。
ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、大学院数学テキスト、第52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR 0463157

外部リンク

https://ncatlab.org/nlab/show/アフィンモルフィズム

[1] EGA 1971、Ch.私、テオレム9.1.4。

[2] EGA 1971、第I章、定義9.1.1。

[3] スタックスプロジェクト、タグ01S5。

[4] EGA 1971、第I章、命題9.1.5。

[5] EGA 1971、Ch.私、テオレム9.2.1。