代数演算

数学演算

二次方程式の解における代数演算。平方根を表す根号√は、べき乗に等しい。1/2±記号は、方程式が+記号でも-記号でも表記できることを意味します。

数学において、基本代数演算（きほんたいきかんすう）とは、加算、減算、乗算、除算、整数乗、分数乗（ぶんすう）といった初等代数の一般的な演算のいずれかに類似した数学的演算である。^[1]初等代数の演算は数値に対して実行することができ、その場合は算術演算と呼ばれる。また、同様の方法で変数、代数式に対しても実行することができ、^{[2] 、より一般的には}群や体などの代数構造の要素に対しても実行することができる。^[3]

集合⁠ ⁠に対する代数演算は、より正式には、 ${\displaystyle S}$⁠ ⁠の要素の与えられた長さの組⁠ ⁠に写像する関数として定義されます。組の長さは演算のアリティと呼ばれ、組の各メンバーはオペランドと呼ばれます。最も一般的なケースはアリティが2の場合で、演算は二項演算と呼ばれ、オペランドは順序付きペアを形成します。単項演算は、オペランドが1つだけのアリティが1の演算です。たとえば、平方根です。三項演算（アリティが3）の例としては、三重積があります。^[4] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

代数演算という用語は、ドット積など、基本的な代数演算を組み合わせることで定義できる演算にも使用されることがあります。微積分学や数学解析学においては、代数演算は純粋に代数的な手法で定義できる演算にも使用されます。例えば、整数または有理数指数によるべき乗は代数演算ですが、実数または複素数指数による一般的なべき乗は代数演算ではありません。また、微分は代数演算ではない演算です。

表記

2つの変数または項の間に演算子がない場合、または係数が使用されている場合は、通常、乗算記号は省略され、暗黙的に使用されます。たとえば、3 × x ²は 3 x ²と表記され、2 × x × yは 2 xyと表記されます。^[5]乗算記号はドットまたはセンタードットに置き換えられる場合があり、x  × yはx . yまたはx · yと表記されます。プレーンテキスト、プログラミング言語、電卓でも、乗算記号を表すために単一のアスタリスクが使用され、^[6]明示的に使用する必要があります。たとえば、3 xは 3 * xと表記されます。

曖昧な除算記号(÷)を使用する代わりに、 ^[a]除算は通常、水平線であるvinculumで表されます。例:3/x + 1⁠ . プレーンテキストやプログラミング言語では、スラッシュ（ソリダスとも呼ばれる）が使用されます（例：3 / ( x + 1 )）。

指数は通常、 x ²のように上付き文字を使用して書式設定されます。プレーンテキスト、TeXマークアップ言語、MATLABやJuliaなどの一部のプログラミング言語では、キャレット記号^が指数を表すため、x ^2はx ^ 2と表記されます。^{[8] [9]} Ada、^[10] Fortran、 [11 ^] Perl、^[12] Python ^[13] Ruby [ ^14]などのプログラミング言語では 、二重のアスタリスクが使用されるため、x ^2はx ** 2と表記されます。

プラスマイナス記号（±）は、2つの式を1つにまとめるための省略記法として用いられます。一方の式をプラス記号で、もう一方の式をマイナス記号で表します。例えば、y = x ± 1 は、 y = x + 1 とy = x − 1という2つの式を表します。また、± xのように、正負の項を表すために使用されることもあります。

算術演算と代数演算

代数演算は、以下の表に示すように算術演算と同じように機能します。

手術	算術の 例	代数の例	コメント≡は「同等」を意味し、≢は「同等ではない」を意味します
追加	${\displaystyle (5\times 5)+5+5+3}$ 以下と同等: ${\displaystyle 5^{2}+(2\times 5)+3}$	${\displaystyle (b\times b)+b+b+a}$ 以下と同等: ${\displaystyle b^{2}+2b+a}$	${\displaystyle {\begin{aligned}2\times b&\equiv 2b\\b+b+b&\equiv 3b\\b\times b&\equiv b^{2}\end{aligned}}}$
減算	${\displaystyle (7\times 7)-7-5}$ 以下と同等: ${\displaystyle 7^{2}-7-5}$	${\displaystyle (b\times b)-b-a}$ 以下と同等: ${\displaystyle b^{2}-b-a}$	${\displaystyle {\begin{aligned}b^{2}-b&\not \equiv b\\3b-b&\equiv 2b\\b^{2}-b&\equiv b(b-1)\end{aligned}}}$
乗算	${\displaystyle 3\times 5}$または ${\displaystyle 3\ .\ 5}$   または   ${\displaystyle 3\cdot 5}$ または   ${\displaystyle (3)(5)}$	${\displaystyle a\times b}$または ${\displaystyle a.b}$   または   ${\displaystyle a\cdot b}$ または   ${\displaystyle ab}$	${\displaystyle a\times a\times a}$と同じです ${\displaystyle a^{3}}$
分割	${\displaystyle 12\div 4}$または   ${\displaystyle 12/4}$または   ${\displaystyle {\frac {12}{4}}}$	${\displaystyle b\div a}$または   ${\displaystyle b/a}$または   ${\displaystyle {\frac {b}{a}}}$	${\displaystyle {\frac {a+b}{3}}\equiv {\tfrac {1}{3}}\times (a+b)}$
累乗	${\displaystyle 3^{\frac {1}{2}}}$   ${\displaystyle 2^{3}}$	${\displaystyle a^{\frac {1}{2}}}$   ${\displaystyle b^{3}}$	${\displaystyle a^{\frac {1}{2}}}$と同じです ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$   ${\displaystyle b^{3}}$と同じです ${\displaystyle b\times b\times b}$

注: 文字との使用は任意であり、文字とが使用された場合も例は同様に有効です。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

算術演算と代数演算の性質

財産	算術の例	代数の例	コメント≡は「同等」を意味し、≢は「同等ではない」を意味します
可換性	${\displaystyle 3+5=5+3}$ ${\displaystyle 3\times 5=5\times 3}$	${\displaystyle a+b=b+a}$ ${\displaystyle a\times b=b\times a}$	加算と乗算は 交換可能かつ結合的です。[15] 減算と除算はそうで​​はありません。 例えば ${\displaystyle a-b\not \equiv b-a}$
結合性	${\displaystyle (3+5)+7=3+(5+7)}$ ${\displaystyle (3\times 5)\times 7=3\times (5\times 7)}$	${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$ ${\displaystyle (a\times b)\times c=a\times (b\times c)}$

参照

• 代数式
• 代数関数
• 初等代数学
• 二次式の因数分解
• 演算順序

注記

1. 一部の国では、この記号は減算または間違った答えを示します。ISO 80000-2では使用しないことが推奨されています。^[7]詳細については、Obelusを参照してください。

参考文献

1. 「代数演算 | Encyclopedia.com」www.encyclopedia.com . 2020年8月27日閲覧。
2. ウィリアム・スミス著『初等代数学：学校とアカデミー向け』、出版社ベイリー・アンド・ノイズ、1864年、「代数演算」
3. ホレイショ・ネルソン・ロビンソン『新しい初等代数学：学校とアカデミーのための科学の基礎を含む』アイヴィソン、フィニー、ブレイクマン＆カンパニー、1866年、7ページ
4. 「代数演算 - 数学百科事典」. encyclopediaofmath.org . 2020年8月27日閲覧。
5. Sin Kwai Meng、Chip Wai Lung、Ng Song Beng、「代数記法」、Mathematics Matters Secondary 1 Express Textbook、Panpac Education Pte Ltd発行、ISBN 9812738827、9789812738820、68ページ
6. William P. Berlinghoff、Fernando Q. Gouvêa著、『Math through the Ages: A Gentle History for Teachers and Others』、MAA出版社、2004年、ISBN 0883857367、9780883857366、75ページ
7. ISO 80000-2、第9章「運用」、2-9.6
8. Ramesh Bangia, Dictionary of Information Technology、出版社 Laxmi Publications, Ltd.、2010年、ISBN 9380298153、9789380298153、212ページ
9. George Grätzer, First Steps in LaTeX , Springer, 1999, ISBN 0817641327、9780817641320、17ページ
10. S. Tucker Taft、Robert A. Duff、Randall L. Brukardt、Erhard Ploedereder、Pascal Leroy、「Ada 2005 リファレンスマニュアル」、Lecture Notes in Computer Science の第 4348 巻、出版社 Springer、2007 年、ISBN 3540693351、9783540693352、13ページ
11. C. Xavier, Fortran 77 And Numerical Methods、New Age International 社、1994年、ISBN 812240670X、9788122406702、20ページ
12. Randal Schwartz、brian foy、Tom Phoenix、『Learning Perl』、O'Reilly Media, Inc. 発行、2011年、ISBN 1449313140、9781449313142、24ページ
13. Matthew A. Telles, Python Power!: The Comprehensive Guide、Course Technology PTR出版社、2008年、ISBN 1598631586、9781598631586、46ページ
14. Kevin C. Baird, Ruby by Example: Concepts and Code、No Starch Press 社、2007年、ISBN 1593271484、9781593271480、72ページ
15. ロン・ラーソン、ロバート・ホステラー、ブルース・H・エドワーズ、『代数と三角法：グラフ化アプローチ』、出版社：Cengage Learning、2007年、ISBN 061885195X、9780618851959、1114ページ、7ページ

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