ほぼ整数

娯楽数学において、ほぼ整数（または近似整数）とは、整数ではないものの1に非常に近い数を指します。ほぼ整数は、予期せぬ状況で出現する場合、興味深いものと見なされることがあります。

黄金比とフィボナッチ数列に関連するほぼ整数

ほぼ整数の例としては、黄金比の高次累乗が挙げられます。たとえば、次のようになります。 $\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.618$

{\begin{aligned}\phi ^{17}&={\frac {3571+1597{\sqrt {5}}}{2}}\approx 3571.00028\\[6pt]\phi ^{18}&=2889+1292{\sqrt {5}}\approx 5777.999827\\[6pt]\phi ^{19}&={\frac {9349+4181{\sqrt {5}}}{2}}\approx 9349.000107\end{aligned}}

これらの累乗が整数に近づくという事実は偶然ではありません。黄金比はピソット・ヴィジャヤラガヴァン数だからです。

フィボナッチ数やルーカス数列の比率もほぼ整数になることがあります。たとえば、

${\frac {\operatorname {Fib} (360)}{\operatorname {Fib} (216)}}\approx 1242282009792667284144565908481.999999999999999999999999999999195$
${\frac {\operatorname {Lucas} (361)}{\operatorname {Lucas} (216)}}\approx 2010054515457065378082322433761.000000000000000000000000000000497$

上記の例は、次のシーケンスで一般化できます。これは、精度が上がるにつれてルーカス数に近づく近似整数を生成します。

$a(n)={\frac {\operatorname {Fib} (45\times 2^{n})}{\operatorname {Fib} (27\times 2^{n})}}\approx \operatorname {Lucas} (18\times 2^{n})$
$a(n)={\frac {\operatorname {Lucas} (45\times 2^{n}+1)}{\operatorname {Lucas} (27\times 2^{n})}}\approx \operatorname {Lucas} (18\times 2^{n}+1)$

nが増加すると、 a ( n )の 10 進数の 10 進数から始まる連続する 9 または 0 の数は無限大に近づきます。

ほぼ整数に関連するeそして $π$

一致しない近似整数の他の発生には、3つの最大のヒーグナー数が含まれます。

$e^{\pi {\sqrt {43}}}\approx 884736743.999777466$
$e^{\pi {\sqrt {67}}}\approx 147197952743.999998662454$
$e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 262537412640768743.99999999999925007$

ここでの不一致は、一般的な単純な形で表現するとよりよく理解できる。^[2]

e^{\pi {\sqrt {43}}}=12^{3}(9^{2}-1)^{3}+744-(2.225\ldots )\times 10^{-4}

e^{\pi {\sqrt {67}}}=12^{3}(21^{2}-1)^{3}+744-(1.337\ldots )\times 10^{-6}

e^{\pi {\sqrt {163}}}=12^{3}(231^{2}-1)^{3}+744-(7.499\ldots )\times 10^{-13}

どこ

21=3\times 7,\quad 231=3\times 7\times 11,\quad 744=24\times 31

正方形になっている理由は、特定のアイゼンシュタイン級数によるものです。この定数はラマヌジャン定数と呼ばれることもあります。 $e^{\pi {\sqrt {163}}}$

数学定数 $π$ とeを含む整数は、数学者をしばしば困惑させてきました。例えば、この一見驚くべき偶然の説明は、2023年9月にA. Domanによって与えられ、ヤコビ・シータ関数に関連する以下の和の結果です。最初の項が支配的となるのは、合計の項の和がとなるためです。したがって、和はまで切り捨てられます。を解くととなります。の近似式を書き直し、の近似式を使用するととなります。したがって、項を並べ替えるととなります。皮肉なことに、の大まかな近似により、精度がさらに1桁向上します。 ^[1] $e^{\pi }-\pi =19.999099979189\ldots$ $\sum _{k=1}^{\infty }\left(8\pi k^{2}-2\right)e^{-\pi k^{2}}=1.$ $k\geq 2$ $\sim 0.0003436.$ $\left(8\pi -2\right)e^{-\pi }\approx 1,$ $e^{\pi }$ $e^{\pi }\approx 8\pi -2.$ $e^{\pi }$ $7\pi \approx 22$ $e^{\pi }\approx \pi +7\pi -2\approx \pi +22-2=\pi +20.$ $e^{\pi }-\pi \approx 20.$ $7\pi$