角度距離

Angle between the two sightlines or two objects as viewed from an observer

角距離または角分離は、三次元空間における2本の直線、光線、またはベクトルの向きの間の角度、あるいは球面上の2点を通る半径によって囲まれる中心角の尺度です。光線が観測者から空間内の2点への視線である場合、それは見かけの距離または見かけの分離と呼ばれます。

角距離は数学（特に幾何学と三角法）とあらゆる自然科学（例えば、運動学、天文学、地球物理学）に登場します。回転体の古典力学では、角速度、角加速度、角運動量、慣性モーメント、トルクとともに登場します。

使用

角距離（または分離）という用語は、技術的には角度自体と同義ですが、物体間の直線距離（たとえば、地球から観測される1 組の星）を示すことを意図しています。

測定

角距離（または分離）は概念的には角度と同じなので、角度計などの機器や、明確に定義された方向を指して対応する角度を記録するように特別に設計された光学機器（望遠鏡など）を 使用して、度やラジアンなどの同じ単位で測定されます。

処方

Oから見た点Aと点Bの角度の差 ${\displaystyle \theta }$

球面上の2点を球の中心から見たときの角度差を表す方程式を導くために、地球から観測される2つの天体 とを例に挙げます。これらの天体は、天球座標、すなわち赤経（RA）、、赤緯（dec）、によって定義されます。地球上の観測者を とし、天球の中心にいると仮定します。ベクトル と の内積は、次の式に等しくなります。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (\alpha _{A},\alpha _{B})\in [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle (\delta _{A},\delta _{B})\in [-\pi /2,\pi /2]}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \mathbf {OA} }$ ${\displaystyle \mathbf {OB} }$

${\displaystyle \mathbf {OA} \cdot \mathbf {OB} =R^{2}\cos \theta }$

これは次と同等です:

${\displaystyle \mathbf {n_{A}} \cdot \mathbf {n_{B}} =\cos \theta }$

このフレームでは、2 つのユニタリ ベクトルは次のように分解されます。したがって、 次のようになります。 ${\displaystyle (x,y,z)}$ $${\displaystyle \mathbf {n_{A}} ={\begin{pmatrix}\cos \delta _{A}\cos \alpha _{A}\\\cos \delta _{A}\sin \alpha _{A}\\\sin \delta _{A}\end{pmatrix}}\mathrm {\qquad and\qquad } \mathbf {n_{B}} ={\begin{pmatrix}\cos \delta _{B}\cos \alpha _{B}\\\cos \delta _{B}\sin \alpha _{B}\\\sin \delta _{B}\end{pmatrix}}.}$$ $${\displaystyle \mathbf {n_{A}} \cdot \mathbf {n_{B}} =\cos \delta _{A}\cos \alpha _{A}\cos \delta _{B}\cos \alpha _{B}+\cos \delta _{A}\sin \alpha _{A}\cos \delta _{B}\sin \alpha _{B}+\sin \delta _{A}\sin \delta _{B}\equiv \cos \theta }$$

${\displaystyle \theta =\cos ^{-1}\left[\sin \delta _{A}\sin \delta _{B}+\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}\cos(\alpha _{A}-\alpha _{B})\right]}$

小さな角距離近似

上記の式は、球面上のAとBの任意の位置に対して有効です。天文学では、対象とする物体が空で非常に近い場合がよくあります。例えば、望遠鏡の視野内の恒星、連星、太陽系の巨大惑星の衛星などです。ラジアンの場合、つまりおよび の場合、上記の式を展開して簡略化することができます。小角近似において、2次の式は次のように表されます。 ${\displaystyle \theta \ll 1}$ ${\displaystyle \alpha _{A}-\alpha _{B}\ll 1}$ ${\displaystyle \delta _{A}-\delta _{B}\ll 1}$

${\displaystyle \cos \theta \approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx \sin \delta _{A}\sin \delta _{B}+\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}\left[1-{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}\right]}$

意味

${\displaystyle 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx \cos(\delta _{A}-\delta _{B})-\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}}$

したがって

${\displaystyle 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx 1-{\frac {(\delta _{A}-\delta _{B})^{2}}{2}}-\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}}$。

と を仮定すると、第2階の展開で となり、 ${\displaystyle \delta _{A}-\delta _{B}\ll 1}$ ${\displaystyle \alpha _{A}-\alpha _{B}\ll 1}$ ${\displaystyle \cos \delta _{A}\cos \delta _{B}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}\approx \cos ^{2}\delta _{A}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}}$

${\displaystyle \theta \approx {\sqrt {\left[(\alpha _{A}-\alpha _{B})\cos \delta _{A}\right]^{2}+(\delta _{A}-\delta _{B})^{2}}}}$

小さな角度距離：平面近似

天空上の角度距離の平面近似

軸が上向きで赤経子午線に平行であり、軸が赤緯の緯線に沿っている小さな天空フィールド（1ラジアンよりはるかに小さい寸法）をイメージングする検出器を考えると、角度の分離は次のように表すことができます。 ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \theta \approx {\sqrt {\delta x^{2}+\delta y^{2}}}}$

ここで、および。 ${\displaystyle \delta x=(\alpha _{A}-\alpha _{B})\cos \delta _{A}}$ ${\displaystyle \delta y=\delta _{A}-\delta _{B}}$

- 軸は赤緯に等しいのに対し、- 軸は赤経に が調整されていることに注意してください。これは、赤緯 (緯度) における半径の球面の断面が であるためです(図を参照)。 ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \cos \delta _{A}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle R'=R\cos \delta _{A}}$

参照

• ミリラジアン
• グラディアン
• 時角
• 中心角
• 回転角度
• 角直径
• 角度変位
• 大圏距離
• コサイン類似度 § 角度距離と類似度

参考文献

• CASTOR、著者 Michael A. Earl。「球面三角法とベクトル解析」。
• ワイスタイン、エリック・W.「角度距離」。MathWorld。

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