Operators useful in quantum mechanics
生成演算子 と 消滅演算子は 量子力学、特に 量子調和振動子 と多粒子系 の研究において 広く応用されている 数学演算子 である。 [1] 消滅演算子（通常は と表記 ）は、与えられた状態にある粒子の数を1つ減らす。生成演算子（通常は と表記 ）は、与えられた状態にある粒子の数を1つ増やし、消滅演算子の 随伴演算子である。 物理学 と 化学 の多くの分野において、 波動関数 の代わりにこれらの演算子を使用することは 第二量子化 として知られている。これらは ポール・ディラック によって導入された 。 [2] a ^ {\displaystyle {\hat {a}}} a ^ † {\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}
生成消滅演算子は、様々な種類の粒子の状態に作用します。例えば、 量子化学 や 多体理論 では、生成消滅演算子は 電子状態に作用することがよくあります。また、 量子調和振動子 の ラダー演算子 を指すこともあります。後者の場合、生成演算子は上昇演算子として解釈され、振動子系に量子エネルギーを付加します（下降演算子も同様）。これらは フォノン を表すために使用できます。これらの演算子を用いてハミルトニアンを構築すると、理論が自動的に クラスター分解定理を 満たすという利点があります 。 [3]
ボソン の生成消滅演算子の数学は、 量子調和振動子 の ラダー演算子 の数学と同じである 。 [4] 例えば、同じボソン状態に関連付けられた生成消滅演算子の 交換子は 1であるが、他のすべての交換子は0である。しかし、 フェルミオン の場合は数学が異なり、 交換子ではなく 反交換子が用いられる。 [5]
量子調和振動子のラダー演算子 量子調和振動子 の文脈では 、ラダー演算子を生成演算子と消滅演算子として再解釈し、 振動子システムに
固定 量のエネルギーを追加または減算します。
生成消滅演算子は、 ボソン （整数スピン）と フェルミオン （半整数スピン）で異なります。これは、それらの 波動関数 が異なる 対称性を 持つためです。
まず、量子調和振動子の光子のより単純なボゾンの場合を考えてみましょう。1 次元の時間独立な 量子調和振動子の シュレーディンガー方程式 から始めます。 ( − ℏ 2 2 m d 2 d x 2 + 1 2 m ω 2 x 2 ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) . {\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\psi (x)=E\psi (x).}
座標置換を行って 微分方程式 を無次元化する x = ℏ m ω q . {\displaystyle x\ =\ {\sqrt {\frac {\hbar }{m\omega }}}q.}
振動子のシュレーディンガー方程式は次のようになる。 ℏ ω 2 ( − d 2 d q 2 + q 2 ) ψ ( q ) = E ψ ( q ) . {\displaystyle {\frac {\hbar \omega }{2}}\left(-{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+q^{2}\right)\psi (q)=E\psi (q).}
この量は 光量子 と同じエネルギーであり、 ハミルトニアン の括弧は 次のように書けることに
注意されたい。 ℏ ω = h ν {\displaystyle \hbar \omega =h\nu } − d 2 d q 2 + q 2 = ( − d d q + q ) ( d d q + q ) + d d q q − q d d q . {\displaystyle -{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+q^{2}=\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right)\left({\frac {d}{dq}}+q\right)+{\frac {d}{dq}}q-q{\frac {d}{dq}}.}
最後の2つの項は、任意の微分可能関数への影響を考慮することで簡略化できる。 f ( q ) , {\displaystyle f(q),}
( d d q q − q d d q ) f ( q ) = d d q ( q f ( q ) ) − q d f ( q ) d q = f ( q ) {\displaystyle \left({\frac {d}{dq}}q-q{\frac {d}{dq}}\right)f(q)={\frac {d}{dq}}(qf(q))-q{\frac {df(q)}{dq}}=f(q)} これは、 通常の標準的な交換関係 と一致して 、位置空間表現では次のことを意味します 。 d d q q − q d d q = 1 , {\displaystyle {\frac {d}{dq}}q-q{\frac {d}{dq}}=1,} − i [ q , p ] = 1 {\displaystyle -i[q,p]=1} p := − i d d q {\displaystyle p:=-i{\frac {d}{dq}}}
したがって、 振動子のシュレーディンガー方程式は、上記の代入と1/2の係数の並べ替えにより、 − d 2 d q 2 + q 2 = ( − d d q + q ) ( d d q + q ) + 1 {\displaystyle -{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+q^{2}=\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right)\left({\frac {d}{dq}}+q\right)+1} ℏ ω [ 1 2 ( − d d q + q ) 1 2 ( d d q + q ) + 1 2 ] ψ ( q ) = E ψ ( q ) . {\displaystyle \hbar \omega \left[{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right){\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {d}{dq}}+q\right)+{\frac {1}{2}}\right]\psi (q)=E\psi (q).}
を「生成演算子」 または 「上昇演算子」 、を 「消滅演算子」 または 「 下降演算子」 として 定義すると 、振動子のシュレーディンガー方程式は次のように簡約されます 。これは元の形よりも大幅に単純化されています。この方程式をさらに簡略化することで、これまでに挙げたすべての特性を導くことができます。 a † = 1 2 ( − d d q + q ) {\displaystyle a^{\dagger }\ =\ {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right)} a = 1 2 ( d d q + q ) {\displaystyle a\ \ =\ {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {d}{dq}}+q\right)} ℏ ω ( a † a + 1 2 ) ψ ( q ) = E ψ ( q ) . {\displaystyle \hbar \omega \left(a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}\right)\psi (q)=E\psi (q).}
を 無次元化 運動量演算 子 とすると、 p = − i d d q {\displaystyle p=-i{\frac {d}{dq}}} p {\displaystyle p}
[ q , p ] = i {\displaystyle [q,p]=i\,} そして a = 1 2 ( q + i p ) = 1 2 ( q + d d q ) a † = 1 2 ( q − i p ) = 1 2 ( q − d d q ) . {\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {1}{\sqrt {2}}}(q+ip)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(q+{\frac {d}{dq}}\right)\\[1ex]a^{\dagger }&={\frac {1}{\sqrt {2}}}(q-ip)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(q-{\frac {d}{dq}}\right).\end{aligned}}}
これらは、 [ a , a † ] = 1 2 [ q + i p , q − i p ] = 1 2 ( [ q , − i p ] + [ i p , q ] ) = − i 2 ( [ q , p ] + [ q , p ] ) = 1. {\displaystyle [a,a^{\dagger }]={\frac {1}{2}}[q+ip,q-ip]={\frac {1}{2}}([q,-ip]+[ip,q])=-{\frac {i}{2}}([q,p]+[q,p])=1.}
演算子 および は、 その随伴演算子と可換な 通常の演算子 と対照的である。 [注 1] a {\displaystyle a\,} a † {\displaystyle a^{\dagger }\,}
上で示した交換関係を用いると、ハミルトニアン演算子は次のように表される。 H ^ = ℏ ω ( a a † − 1 2 ) = ℏ ω ( a † a + 1 2 ) . ( ∗ ) {\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega \left(a\,a^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\right)=\hbar \omega \left(a^{\dagger }\,a+{\frac {1}{2}}\right).\qquad \qquad (*)}
および 演算子とハミルトニアンの 間の交換関係を計算することができる： [6] a {\displaystyle a\,} a † {\displaystyle a^{\dagger }\,} [ H ^ , a ] = [ ℏ ω ( a a † − 1 2 ) , a ] = ℏ ω [ a a † , a ] = ℏ ω ( a [ a † , a ] + [ a , a ] a † ) = − ℏ ω a . [ H ^ , a † ] = ℏ ω a † . {\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\hat {H}},a\right]&=\left[\hbar \omega \left(aa^{\dagger }-{\tfrac {1}{2}}\right),a\right]=\hbar \omega \left[aa^{\dagger },a\right]=\hbar \omega \left(a[a^{\dagger },a]+[a,a]a^{\dagger }\right)=-\hbar \omega a.\\[1ex]\left[{\hat {H}},a^{\dagger }\right]&=\hbar \omega \,a^{\dagger }.\end{aligned}}}
これらの関係を使用すると、次のように量子調和振動子のすべてのエネルギー固有状態を簡単に見つけることができます。
がハミルトニアン の固有状態である と仮定する 。これらの交換関係を用いると、 [6] ψ n {\displaystyle \psi _{n}} H ^ ψ n = E n ψ n {\displaystyle {\hat {H}}\psi _{n}=E_{n}\,\psi _{n}} H ^ a ψ n = ( E n − ℏ ω ) a ψ n . H ^ a † ψ n = ( E n + ℏ ω ) a † ψ n . {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}\,a\psi _{n}&=(E_{n}-\hbar \omega )\,a\psi _{n}.\\[1ex]{\hat {H}}\,a^{\dagger }\psi _{n}&=(E_{n}+\hbar \omega )\,a^{\dagger }\psi _{n}.\end{aligned}}}
これは、 と もハミルトニアンの固有状態であり、それぞれ固有値が と であることを示しています 。 これ により 、演算子 と は、 隣接する固有状態間の「下げる」演算子と「上げる」演算子であることが示されます。隣接する固有状態間のエネルギー差は です 。 a ψ n {\displaystyle a\psi _{n}} a † ψ n {\displaystyle a^{\dagger }\psi _{n}} E n − ℏ ω {\displaystyle E_{n}-\hbar \omega } E n + ℏ ω {\displaystyle E_{n}+\hbar \omega } a {\displaystyle a} a † {\displaystyle a^{\dagger }} Δ E = ℏ ω {\displaystyle \Delta E=\hbar \omega }
基底状態は、下降演算子が非自明な核を持つと仮定することで見つけることができる 。 ハミルトニアンを基底状態に適用すると、 a ψ 0 = 0 {\displaystyle a\,\psi _{0}=0} ψ 0 ≠ 0 {\displaystyle \psi _{0}\neq 0}
H ^ ψ 0 = ℏ ω ( a † a + 1 2 ) ψ 0 = ℏ ω a † a ψ 0 + ℏ ω 2 ψ 0 = 0 + ℏ ω 2 ψ 0 = E 0 ψ 0 . {\displaystyle {\hat {H}}\psi _{0}=\hbar \omega \left(a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}\right)\psi _{0}=\hbar \omega a^{\dagger }a\psi _{0}+{\frac {\hbar \omega }{2}}\psi _{0}=0+{\frac {\hbar \omega }{2}}\psi _{0}=E_{0}\psi _{0}.} ハミルトニアンの固有関数 も同様です。 ψ 0 {\displaystyle \psi _{0}}
これにより基底状態エネルギーが得られ 、任意の固有状態のエネルギー固有値を [6] として識別することができる。 E 0 = ℏ ω / 2 {\displaystyle E_{0}=\hbar \omega /2} ψ n {\displaystyle \psi _{n}} E n = ( n + 1 2 ) ℏ ω . {\displaystyle E_{n}=\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\hbar \omega .}
さらに、(*) で最初に述べた演算子、つまり数値演算子が アプリケーションで最も重要な役割を果たしますが、2 番目の演算子は 単に に置き換えることができることが わかります 。 N = a † a , {\displaystyle N=a^{\dagger }a\,,} a a † {\displaystyle aa^{\dagger }\,} N + 1 {\displaystyle N+1}
その結果、 ℏ ω ( N + 1 2 ) ψ ( q ) = E ψ ( q ) . {\displaystyle \hbar \omega \,\left(N+{\tfrac {1}{2}}\right)\,\psi (q)=E\,\psi (q)~.}
時間 発展演算子 は U ( t ) = exp ( − i t H ^ / ℏ ) = exp ( − i t ω ( a † a + 1 / 2 ) ) , = e − i t ω / 2 ∑ k = 0 ∞ ( e − i ω t − 1 ) k k ! a † k a k . {\displaystyle {\begin{aligned}U(t)&=\exp(-it{\hat {H}}/\hbar )=\exp(-it\omega (a^{\dagger }a+1/2))~,\\[1ex]&=e^{-it\omega /2}~\sum _{k=0}^{\infty }{(e^{-i\omega t}-1)^{k} \over k!}a^{{\dagger }{k}}a^{k}~.\end{aligned}}}
明示的な固有関数 量子調和振動子 の 基底状態は 、次の条件を課すことで見つけることができる。 ψ 0 ( q ) {\displaystyle \ \psi _{0}(q)} a ψ 0 ( q ) = 0. {\displaystyle a\ \psi _{0}(q)=0.}
微分方程式として書き出すと、波動関数は 次の解を
満たす。 q ψ 0 + d ψ 0 d q = 0 {\displaystyle q\psi _{0}+{\frac {d\psi _{0}}{dq}}=0} ψ 0 ( q ) = C exp ( − 1 2 q 2 ) . {\displaystyle \psi _{0}(q)=C\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}q^{2}\right).}
正規化定数 Cは、 ガウス積分 を用いて、 から 求められる。 を に 繰り返し適用することで、すべての固有関数の明示的な公式が得られる 。 [7] 1 / π 4 {\displaystyle 1/{\sqrt[{4}]{\pi }}} ∫ − ∞ ∞ ψ 0 ∗ ψ 0 d q = 1 {\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi _{0}^{*}\psi _{0}\,dq=1} a † {\displaystyle a^{\dagger }} ψ 0 {\displaystyle \psi _{0}}
行列表現 上記の直交基底に関する量子調和振動子の生成消滅演算子の行列表現は a † = ( 0 0 0 0 … 0 … 1 0 0 0 … 0 … 0 2 0 0 … 0 … 0 0 3 0 … 0 … ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ … … 0 0 0 … n 0 … ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ) a = ( 0 1 0 0 … 0 … 0 0 2 0 … 0 … 0 0 0 3 … 0 … 0 0 0 0 ⋱ ⋮ … ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ n … 0 0 0 0 … 0 ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ) {\displaystyle {\begin{aligned}a^{\dagger }&={\begin{pmatrix}0&0&0&0&\dots &0&\dots \\{\sqrt {1}}&0&0&0&\dots &0&\dots \\0&{\sqrt {2}}&0&0&\dots &0&\dots \\0&0&{\sqrt {3}}&0&\dots &0&\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\dots &\dots \\0&0&0&\dots &{\sqrt {n}}&0&\dots &\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots \end{pmatrix}}\\[1ex]a&={\begin{pmatrix}0&{\sqrt {1}}&0&0&\dots &0&\dots \\0&0&{\sqrt {2}}&0&\dots &0&\dots \\0&0&0&{\sqrt {3}}&\dots &0&\dots \\0&0&0&0&\ddots &\vdots &\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &{\sqrt {n}}&\dots \\0&0&0&0&\dots &0&\ddots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}\end{aligned}}}
これらは関係式と 関係式から得られる 。固有ベクトルは 量子調和振動子の固有ベクトルであり、「数基底」と呼ばれることもある。 a i j † = ⟨ ψ i | a † | ψ j ⟩ {\displaystyle a_{ij}^{\dagger }=\left\langle \psi _{i}\right|a^{\dagger }\left|\psi _{j}\right\rangle } a i j = ⟨ ψ i | a | ψ j ⟩ {\displaystyle a_{ij}=\left\langle \psi _{i}\right|a\left|\psi _{j}\right\rangle } ψ i {\displaystyle \psi _{i}}
一般化された生成消滅演算子 表現論 と C*-代数の おかげで 、上で導出された作用素は、 CCR代数とCAR代数 の文脈における、より一般化された生成消滅作用素の概念の具体的な例となる。数学的に、そしてさらに一般的には、 ラダー作用素は、 半単純リー群 の ルート系 とそれに関連する 半単純リー代数 の文脈において理解することができ、関数 ヒルベルト空間 上の 作用素 として 表現を 実現する必要はない 。 [8]
ヒルベルト 空間 表現の場合、演算子は以下のように構築されます。 を一粒子 ヒルベルト空間 （つまり、一粒子の状態を表すとみなされる任意のヒルベルト空間）とします。 H {\displaystyle H}
ボソンCCR代数 上の （ ボゾン ） CCR代数 は、共役演算子（ * と呼ばれる）を持つ代数であり、元によって抽象的に生成され 、 上を自由に移動できる 。関係 H {\displaystyle H} a ( f ) {\displaystyle a(f)} f {\displaystyle f\,} H {\displaystyle H}
[ a ( f ) , a ( g ) ] = [ a † ( f ) , a † ( g ) ] = 0 [ a ( f ) , a † ( g ) ] = ⟨ f ∣ g ⟩ , {\displaystyle {\begin{aligned}\left[a(f),a(g)\right]&=\left[a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)\right]=0\\[1ex]\left[a(f),a^{\dagger }(g)\right]&=\langle f\mid g\rangle ,\end{aligned}}} ブラケット記法 で 。
から ボゾンCCR代数への 写像は、複素 反線型 であることが要求される（これにより関係式がさらに追加される）。その 随伴写像 は であり 、写像は H において 複素線型 である 。したがって、 は自身のCCR代数の複素ベクトル部分空間として埋め込まれる。この代数の表現において、元は消滅演算子および 生成演算子として 実現される。 a : f → a ( f ) {\displaystyle a:f\to a(f)} H {\displaystyle H} a † ( f ) {\displaystyle a^{\dagger }(f)} f → a † ( f ) {\displaystyle f\to a^{\dagger }(f)} H {\displaystyle H} a ( f ) {\displaystyle a(f)} a † ( f ) {\displaystyle a^{\dagger }(f)}
一般に、CCR代数は無限次元である。バナッハ空間完備化をとると、 C*-代数 となる。上のCCR代数は ワイル代数 と密接に関連しているが、同一ではない 。 [ 説明が必要 ] H {\displaystyle H}
フェルミオンCAR代数 フェルミオンの場合、（フェルミオン的） CAR代数 は 同様に構築されるが、代わりに 反交換子 関係を用いる。すなわち、 H {\displaystyle H}
{ a ( f ) , a ( g ) } = { a † ( f ) , a † ( g ) } = 0 { a ( f ) , a † ( g ) } = ⟨ f ∣ g ⟩ . {\displaystyle {\begin{aligned}\{a(f),a(g)\}&=\{a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)\}=0\\[1ex]\{a(f),a^{\dagger }(g)\}&=\langle f\mid g\rangle .\end{aligned}}}
CAR代数は、 が有限次元である場合にのみ有限次元である。バナッハ空間完備化（無限次元の場合のみ必要）を取れば、CAR代数は代数となる。CAR代数は クリフォード代数 と密接に関連しているが、同一ではない 。 [ 説明が必要 ] H {\displaystyle H} C ∗ {\displaystyle C^{*}}
物理的に言えば、 は状態の粒子を除去（つまり消滅）します が、 は 状態の粒子を生成します 。 a ( f ) {\displaystyle a(f)} | f ⟩ {\displaystyle |f\rangle } a † ( f ) {\displaystyle a^{\dagger }(f)} | f ⟩ {\displaystyle |f\rangle }
自由 場 真空状態 は粒子が存在しない状態であり 、次のような特徴がある。 | 0 ⟩ {\textstyle \left\vert 0\right\rangle } a ( f ) | 0 ⟩ = 0. {\displaystyle a(f)\left|0\right\rangle =0.}
が となるように正規化されている 場合 、 は 状態 にある粒子の数を与えます 。 | f ⟩ {\displaystyle |f\rangle } ⟨ f | f ⟩ = 1 {\displaystyle \langle f|f\rangle =1} N = a † ( f ) a ( f ) {\displaystyle N=a^{\dagger }(f)a(f)} | f ⟩ {\displaystyle |f\rangle }
反応拡散方程式では 消滅・生成演算子による記述は、分子の気体が 拡散し、接触時に相互作用して不活性生成物を形成する状況など、古典的な反応拡散方程式の解析にも有用である： 。この種の反応が消滅・生成演算子形式によってどのように記述できるかを見るために、 1次元格子上の サイト i にある粒子を考えてみよう。各粒子はある確率で右または左に移動し、同じサイトにある各粒子ペアは、それぞれ別の確率で互いに消滅する。 A {\displaystyle A} A + A → ∅ {\displaystyle A+A\to \emptyset } n i {\displaystyle n_{i}}
短い時間間隔 dt の間に1つの粒子がその場所を離れる確率は に比例します。例えば 、左に飛び移る確率と 右に飛び移る 確率を考えてみましょう。すべての 粒子は確率 でその場に留まります 。（ dtは非常に短いため、 dt の間に2つ以上の粒子がその場所を離れる確率は 非常に小さく、無視されます。） n i d t {\displaystyle n_{i}\,dt} α n i d t {\displaystyle \alpha n_{i}dt} α n i d t {\displaystyle \alpha n_{i}\,dt} n i {\displaystyle n_{i}} 1 − 2 α n i d t {\displaystyle 1-2\alpha n_{i}\,dt}
格子上の粒子の占有を、 の形の「ケット」として記述することができる。これは、 格子の個々のサイトに位置する
状態 、 、 の並置（または連言、あるいはテンソル積）を表す。 | … , n − 1 , n 0 , n 1 , … ⟩ {\displaystyle |\dots ,n_{-1},n_{0},n_{1},\dots \rangle } … , | n − 1 ⟩ {\displaystyle \dots ,|n_{-1}\rangle } | n 0 ⟩ {\displaystyle |n_{0}\rangle } | n 1 ⟩ , … {\displaystyle |n_{1}\rangle ,\dots }
a | n ⟩ = n | n − 1 ⟩ {\displaystyle a\left|n\right\rangle ={\sqrt {n}}\left|n-1\right\rangle } そして
すべての n ≥ 0 に対して 、 a † | n ⟩ = n + 1 | n + 1 ⟩ , {\displaystyle a^{\dagger }\left|n\right\rangle ={\sqrt {n+1}}\left|n+1\right\rangle ,} [ a , a † ] = 1 {\displaystyle [a,a^{\dagger }]=\mathbf {1} }
この演算子の定義は、この問題の「非量子」性質に対応するために変更され、次の定義が使用されます。 [9]
a | n ⟩ = ( n ) | n − 1 ⟩ a † | n ⟩ = | n + 1 ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}a\left|n\right\rangle &=(n)\left|n{-}1\right\rangle \\[1ex]a^{\dagger }\left|n\right\rangle &=\left|n{+}1\right\rangle \end{aligned}}}
ケット上の演算子の挙動が変更されたにもかかわらず、これらの演算子は依然として交換関係に従うことに注意する。 [ a , a † ] = 1 {\displaystyle [a,a^{\dagger }]=\mathbf {1} }
ここで、 を に 適用するように定義します 。同様に、 を に 適用するように定義します 。したがって、例えば の正味の効果は 、粒子を - 番目のサイトから i 番目のサイトに移動し 、適切な係数を乗じることです。 a i {\displaystyle a_{i}} a {\displaystyle a} | n i ⟩ {\displaystyle |n_{i}\rangle } a i † {\displaystyle a_{i}^{\dagger }} a † {\displaystyle a^{\dagger }} | n i ⟩ {\displaystyle |n_{i}\rangle } a i − 1 a i † {\displaystyle a_{i-1}a_{i}^{\dagger }} ( i − 1 ) {\displaystyle (i-1)}
これにより、粒子の純粋な拡散挙動を次のように記述することができる。 ∂ t | ψ ⟩ = − α ∑ i ( 2 a i † a i − a i − 1 † a i − a i + 1 † a i ) | ψ ⟩ = − α ∑ i ( a i † − a i − 1 † ) ( a i − a i − 1 ) | ψ ⟩ . {\displaystyle \partial _{t}\left|\psi \right\rangle =-\alpha \sum _{i}\left(2a_{i}^{\dagger }a_{i}-a_{i-1}^{\dagger }a_{i}-a_{i+1}^{\dagger }a_{i}\right)\left|\psi \right\rangle =-\alpha \sum _{i}\left(a_{i}^{\dagger }-a_{i-1}^{\dagger }\right)(a_{i}-a_{i-1})\left|\psi \right\rangle .}
反応項は、粒子がさまざまな方法で相互作用する ことに注目することで導き出され 、対が消滅する確率は 、項 n {\displaystyle n} n ( n − 1 ) {\displaystyle n(n-1)} λ n ( n − 1 ) d t {\displaystyle \lambda n(n-1)dt} λ ∑ i ( a i a i − a i † a i † a i a i ) {\displaystyle \lambda \sum _{i}(a_{i}a_{i}-a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\dagger }a_{i}a_{i})}
ここで、状態 n は、サイトで 一定の割合で 状態 n − 2に置き換えられます。 i {\displaystyle i}
このように国家は進化する ∂ t | ψ ⟩ = − α ∑ i ( a i † − a i − 1 † ) ( a i − a i − 1 ) | ψ ⟩ + λ ∑ i ( a i 2 − a i † 2 a i 2 ) | ψ ⟩ {\displaystyle \partial _{t}\left|\psi \right\rangle =-\alpha \sum _{i}\left(a_{i}^{\dagger }-a_{i-1}^{\dagger }\right)\left(a_{i}-a_{i-1}\right)\left|\psi \right\rangle +\lambda \sum _{i}\left(a_{i}^{2}-a_{i}^{\dagger 2}a_{i}^{2}\right)\left|\psi \right\rangle }
他の種類のインタラクションも同様の方法で含めることができます。
この種の表記法は、反応拡散系の解析に量子場理論の手法を用いることを可能にする。 [10]
量子場理論では 量子場の理論 と 多体問題 では、 量子状態の生成消滅演算子と を扱います 。これらの演算子は、調和振動子と同様に 、 数演算子 の固有値を 1だけ変化させます。添え字（ など ）は、系の単一粒子状態を表す 量子数 を表します。したがって、必ずしも単一の数である必要はありません。例えば、 水素原子 の 状態を表すには、量子数の 組 が用いられます 。 a i † {\displaystyle a_{i}^{\dagger }} a i {\displaystyle a_{i}^{\,}} N = ∑ i n i = ∑ i a i † a i , {\displaystyle N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{i}a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\,},} i {\displaystyle i} ( n , ℓ , m , s ) {\displaystyle (n,\ell ,m,s)}
多重 ボソン 系における生成演算子と消滅演算子の交換関係 は、 交換子 、クロネッカー の デルタ です 。 [ a i , a j † ] ≡ a i a j † − a j † a i = δ i j , [ a i † , a j † ] = [ a i , a j ] = 0 , {\displaystyle {\begin{aligned}\left[a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }\right]&\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }-a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},\\[1ex]\left[a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\right]&=[a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}]=0,\end{aligned}}} [ ⋅ , ⋅ ] {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]} δ i j {\displaystyle \delta _{ij}}
フェルミオン の場合 、交換子は 反交換子に置き換えられます 。 したがって、 生成演算子または消滅演算子の積で分離した (つまり ) 演算子を交換すると、フェルミオン システムでは符号が反転しますが、ボソン システムでは反転しません。 { ⋅ , ⋅ } {\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}} { a i , a j † } ≡ a i a j † + a j † a i = δ i j , { a i † , a j † } = { a i , a j } = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }\}&\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }+a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},\\[1ex]\{a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\}&=\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}\}=0.\end{aligned}}} i ≠ j {\displaystyle i\neq j}
i でラベル付けされた状態がヒルベルト空間 H の直交基底である場合 、この構成の結果は前節の CCR 代数および CAR 代数の構成とほぼ一致する。ただし、これらが QFT における非束縛粒子のように、何らかの演算子の連続スペクトルに対応する「固有ベクトル」を表す場合、解釈はより微妙になる。
正規化規則 Zee [11] はフーリエ変換の 対称的な慣例 によって 運動量空間の 正規化を 得ているが、Tong [12] とPeskin & Schroeder [13] は共通の非対称な慣例を用いて を得ている 。それぞれ を導出している 。 [ a ^ p , a ^ q † ] = δ ( p − q ) {\displaystyle [{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }]=\delta (\mathbf {p} -\mathbf {q} )} [ a ^ p , a ^ q † ] = ( 2 π ) 3 δ ( p − q ) {\displaystyle [{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }]=(2\pi )^{3}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {q} )} [ ϕ ^ ( x ) , π ^ ( x ′ ) ] = i δ ( x − x ′ ) {\displaystyle [{\hat {\phi }}(\mathbf {x} ),{\hat {\pi }}(\mathbf {x} ')]=i\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')}
スレドニツキはさらにローレンツ不変測度を非対称フーリエ測度に統合し 、 を得た 。 [14] d k ~ = d 3 k ( 2 π ) 3 2 ω {\displaystyle {\tilde {dk}}={\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}2\omega }}} [ a ^ k , a ^ k ′ † ] = ( 2 π ) 3 2 ω δ ( k − k ′ ) {\displaystyle [{\hat {a}}_{\mathbf {k} },{\hat {a}}_{\mathbf {k} '}^{\dagger }]=(2\pi )^{3}2\omega \,\delta (\mathbf {k} -\mathbf {k} ')}
参照
注記 ^正規演算子は A = B + i C という表現を持ちます 。ここで 、 B 、 C は自己随伴で 可換 、つまり です 。対照的に、 a は という表現を持ちます。 ここで、 は自己随伴ですが です 。すると、 B と C は 共通の固有関数の集合を持ちます（そして同時に対角化可能です）が、 p と q は よく知られたように、共通の固有関数の集合を持たず、同時に対角化できません。 B C = C B {\displaystyle BC=CB} a = q + i p {\displaystyle a=q+ip} p , q {\displaystyle p,q} [ p , q ] = 1 {\displaystyle [p,q]=1}
参考文献 ^ ファインマン 1998年、151ページ ^ ディラック, PAM (1927). 「放射線の放出と吸収の量子論」, Proc Roy Soc London Ser A , 114 (767), 243-265. ^ Weinberg, Steven (1995). "4". 場の量子論 第1巻 . ケンブリッジ大学出版局. p. 169. ISBN 9780521670531 。 ^ ファインマン 1998, p. 167 ^ ファインマン 1998年、174～175ページ ^ abc ジム・ブランソン. 「UCSDの量子物理学」 . 2012年 5月16日 閲覧 。 ^ これとさらなる演算子形式については、GlimmとJaffeの 『Quantum Physics』 12～20ページに記載されています。 ^ ハリス、フルトン、 『表現理論』 164ページ ^ Pruessner, Gunnar. 「場の理論的手法による反応拡散過程の解析」 (PDF) . 2021年 5月31日 閲覧 。 ^ Baez, John Carlos (2011). ネットワーク理論（ブログ投稿シリーズ；最初の投稿）. 後に Baez, John Carlos; Biamonte, Jacob D. (2018年4月). 確率力学における量子技術 . doi :10.1142/10623. ^ Zee, A. (2003). 『量子場理論入門 』 プリンストン大学出版局. p. 63. ISBN 978-0691010199 。 ^ Tong, David (2007). 量子場理論. p. 24,31 . 2019年 12月3日 閲覧 。 ^ Peskin, M. ; Schroeder, D. (1995). 『量子場の理論入門』 Westview Press. ISBN 978-0-201-50397-5 。 ^ スレドニツキ、マーク（2007年）『量子場の理論』ケンブリッジ大学出版局、39、41頁 。ISBN 978-0521-8644-97 . 2019年 12月3日 閲覧 。
![{\displaystyle -i[q,p]=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e410b43cbb06e4df3b6564c9ae148bf5b91897f1)
![{\displaystyle \hbar \omega \left[{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right){\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {d}{dq}}+q\right)+{\frac {1}{2}}\right]\psi (q)=E\psi (q).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7267f2e6dfb0e0bd366a2fddb6a6246453bc6435)
![{\displaystyle [q,p]=i\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/108bd50aaa874cbd799506b389c21e50da8fead7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {1}{\sqrt {2}}}(q+ip)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(q+{\frac {d}{dq}}\right)\\[1ex]a^{\dagger }&={\frac {1}{\sqrt {2}}}(q-ip)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(q-{\frac {d}{dq}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e291dc29ab8b20b5d961a299ac8f7d1057a178c2)
![{\displaystyle [a,a^{\dagger }]={\frac {1}{2}}[q+ip,q-ip]={\frac {1}{2}}([q,-ip]+[ip,q])=-{\frac {i}{2}}([q,p]+[q,p])=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9717dfde9f00afab49807b123066fc63a881791c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\hat {H}},a\right]&=\left[\hbar \omega \left(aa^{\dagger }-{\tfrac {1}{2}}\right),a\right]=\hbar \omega \left[aa^{\dagger },a\right]=\hbar \omega \left(a[a^{\dagger },a]+[a,a]a^{\dagger }\right)=-\hbar \omega a.\\[1ex]\left[{\hat {H}},a^{\dagger }\right]&=\hbar \omega \,a^{\dagger }.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fc52c85f0232e2372dca3bd057a8cf8e313a896)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}\,a\psi _{n}&=(E_{n}-\hbar \omega )\,a\psi _{n}.\\[1ex]{\hat {H}}\,a^{\dagger }\psi _{n}&=(E_{n}+\hbar \omega )\,a^{\dagger }\psi _{n}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12c8b76edc27dfa7d2461fadcf1c926c81894c48)
![{\displaystyle {\begin{aligned}U(t)&=\exp(-it{\hat {H}}/\hbar )=\exp(-it\omega (a^{\dagger }a+1/2))~,\\[1ex]&=e^{-it\omega /2}~\sum _{k=0}^{\infty }{(e^{-i\omega t}-1)^{k} \over k!}a^{{\dagger }{k}}a^{k}~.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e0ac488aac54f10ca1b4d02d4f07e76838877fd)
![{\displaystyle 1/{\sqrt[{4}]{\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/362528fe2fce658f4a1b33993c8f470dd08c4a9d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}a^{\dagger }&={\begin{pmatrix}0&0&0&0&\dots &0&\dots \\{\sqrt {1}}&0&0&0&\dots &0&\dots \\0&{\sqrt {2}}&0&0&\dots &0&\dots \\0&0&{\sqrt {3}}&0&\dots &0&\dots \\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\dots &\dots \\0&0&0&\dots &{\sqrt {n}}&0&\dots &\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots \end{pmatrix}}\\[1ex]a&={\begin{pmatrix}0&{\sqrt {1}}&0&0&\dots &0&\dots \\0&0&{\sqrt {2}}&0&\dots &0&\dots \\0&0&0&{\sqrt {3}}&\dots &0&\dots \\0&0&0&0&\ddots &\vdots &\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &{\sqrt {n}}&\dots \\0&0&0&0&\dots &0&\ddots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a9e3ee8fbef2f410239b3163e453d5e938632f1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[a(f),a(g)\right]&=\left[a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)\right]=0\\[1ex]\left[a(f),a^{\dagger }(g)\right]&=\langle f\mid g\rangle ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a82a3b8bac6f5825efe9edb66c2059c132db3f34)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\{a(f),a(g)\}&=\{a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)\}=0\\[1ex]\{a(f),a^{\dagger }(g)\}&=\langle f\mid g\rangle .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a47e4e8258d4a62908d2f5550725d1de1ea1242)
![{\displaystyle [a,a^{\dagger }]=\mathbf {1} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cb0265587079f19b188db05d3a014ea7c6fca93)
![{\displaystyle {\begin{aligned}a\left|n\right\rangle &=(n)\left|n{-}1\right\rangle \\[1ex]a^{\dagger }\left|n\right\rangle &=\left|n{+}1\right\rangle \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a31790c1161ae5515334fa8a22201283c88abc1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }\right]&\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }-a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},\\[1ex]\left[a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\right]&=[a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}]=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c721439fe93f7de68229ae7f3d6f87cf67ac583b)
![{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28dd4c22d60192519c1c12cf645b040f368db9e9)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }\}&\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }+a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},\\[1ex]\{a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\}&=\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}\}=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b98e3276780114b89beab8bd07e4d37f7d19b499)
![{\displaystyle [{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }]=\delta (\mathbf {p} -\mathbf {q} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e35dfa1755540902dfd6a73b255c7494a1cee7ea)
![{\displaystyle [{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }]=(2\pi )^{3}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {q} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bac69b8368d61988e3769497b070852f422a5a36)
![{\displaystyle [{\hat {\phi }}(\mathbf {x} ),{\hat {\pi }}(\mathbf {x} ')]=i\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de7c0ae144447af98494ab400eb018f3a2c1495e)
![{\displaystyle [{\hat {a}}_{\mathbf {k} },{\hat {a}}_{\mathbf {k} '}^{\dagger }]=(2\pi )^{3}2\omega \,\delta (\mathbf {k} -\mathbf {k} ')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a47a3cde29a78e7262a96f408440a20947f450c)
![{\displaystyle [p,q]=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9572fced904f714b73fe13a2d67f04972ba78530)
