計算電磁気学

差分時間領域法によるサブ波長イメージングシミュレーション

計算電磁気学( CEM )、計算電気力学、または電磁気モデリングは、コンピューターを使用して電磁場と物理的物体および環境との 相互作用をモデル化するプロセスです。

典型的には、コンピュータプログラムを用いてマクスウェル方程式の近似解を計算し、アンテナ性能、電磁両立性、レーダー断面積、そして自由空間外における電磁波伝搬を計算します。大きな分野の一つにアンテナモデリングのコンピュータプログラムがあり、無線アンテナの放射パターンと電気特性を計算し、特定の用途向けのアンテナ設計に広く利用されています。

背景

電磁散乱、電磁放射、導波管のモデリングといった現実世界の電磁気学の問題の多くは、実際のデバイスに見られる不規則な形状が多数存在するため、解析的に計算することができません。数値計算技術は、様々な媒質構成関係や境界条件の下でマクスウェル方程式の閉形式解を導出できないという問題を克服することができます。そのため、計算電磁気学（CEM）は、アンテナ、レーダー、衛星、その他の通信システム、ナノフォトニックデバイス、高速シリコンエレクトロニクス、医療用画像処理、携帯電話アンテナ設計などの設計とモデリングにおいて重要です。

CEM は通常、問題領域全体にわたるE (電界) およびH (磁界) フィールドの計算問題を解きます(例: 任意形状のアンテナ構造のアンテナ放射パターンを計算する)。また、電力フロー方向 (ポインティング ベクトル)、導波管の通常モード、媒体生成波分散、および散乱もEおよびHフィールドから計算できます。CEM モデルは対称性を前提とする場合とそうでない場合があり、現実世界の構造を理想的な円筒、球、およびその他の規則的な幾何学的オブジェクトに単純化します。CEM モデルは対称性を広範に活用し、3 次元空間から 2D、さらには 1D へと次元を削減して解きます。

CEMの固有値問題の定式化により、構造物の定常固有モードを計算できます。過渡応答とインパルス電界効果は、時間領域におけるCEM、すなわちFDTD法によってより正確にモデル化されます。曲面形状は有限要素法（FEM）または非直交グリッドとしてより正確に扱われます。ビーム伝搬法（BPM）は、導波管内の電力流を解析できます。CEMは、モデル化された領域において異なる手法で同じ電界分布と電力分布に収束する場合でも、アプリケーション固有のものです。

方法の概要

最も一般的な数値的アプローチは、問題空間をグリッドまたは規則的な形状（「セル」）で離散化（「メッシュ」）し、すべてのセルにわたってマクスウェル方程式を同時に解くことです。離散化はコンピュータメモリを消費し、関連する方程式を解くのにかなりの時間がかかります。大規模なCEM問題はメモリとCPUの制限に直面しており、これらの制限への対処は活発な研究分野です。計算を実用的にするには、高性能クラスタリング、ベクトル処理、および／または並列処理がしばしば必要になります。代表的な手法としては、各時点における領域全体にわたる方程式のタイムステップ、基底関数の重みを計算するための帯状逆行列（有限要素法でモデル化する場合）、行列積（転送行列法を使用する場合）、数値積分の計算（モーメント法を使用する場合）、高速フーリエ変換の使用、および時間反復（スプリットステップ法またはBPM法で計算する場合）などがあります。

方法の選択

問題を解くための適切な手法を選択することは重要です。間違った手法を選択すると、誤った結果が得られたり、計算に非常に長い時間がかかったりする可能性があります。しかし、手法の名前だけでは、必ずしもその実装方法を正確に把握できるとは限りません。特に、複数のソルバーを備えていることが多い商用ツールの場合はなおさらです。

Davidson ^{[ 1 ]}は、FEM、MoM、FDTD法を通常の実装方法に基づいて比較した2つの表を示しています。1つは開領域（放射問題と散乱問題）用、もう1つは導波問題用です。

双曲型偏微分方程式のマクスウェル方程式

マクスウェル方程式は、偏微分方程式の双曲型系として定式化できます。これにより、数値解を求めるための強力な手法が利用可能になります。

波は( x , y )平面を伝播し、磁場の方向はz軸に平行に、したがって電場も( x , y )平面に平行に制限されると仮定する。この波は横磁気波(TM波)と呼ばれる。2次元において、偏光項が存在しない場合、マクスウェル方程式は次のように定式化される。 ここで、 u、A、B、Cは次のように定義される 。 $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {u}}+A{\frac {\partial }{\partial x}}{\bar {u}}+B{\frac {\partial }{\partial y}}{\bar {u}}+C{\bar {u}}={\bar {g}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {u}}&=\left({\begin{matrix}E_{x}\\E_{y}\\H_{z}\end{matrix}}\right),\\[1ex]A&=\left({\begin{matrix}0&0&0\\0&0&{\frac {1}{\epsilon }}\\0&{\frac {1}{\mu }}&0\end{matrix}}\right),\\[1ex]B&=\left({\begin{matrix}0&0&{\frac {-1}{\epsilon }}\\0&0&0\\{\frac {-1}{\mu }}&0&0\end{matrix}}\right),\\[1ex]C&=\left({\begin{matrix}{\frac {\sigma }{\epsilon }}&0&0\\0&{\frac {\sigma }{\epsilon }}&0\\0&0&0\end{matrix}}\right).\end{aligned}}}$$

この表現では、は強制関数であり、 は と同じ空間にあります。これは、外部から適用される場を表現したり、最適化制約を記述したりするために使用できます。上記のように、 ${\displaystyle {\bar {g}}}$ ${\displaystyle {\bar {u}}}$ $${\displaystyle {\bar {g}}=\left({\begin{matrix}E_{x,{\text{constraint}}}\\E_{y,{\text{constraint}}}\\H_{z,{\text{constraint}}}\end{matrix}}\right).}$$

${\displaystyle {\bar {g}}}$特定の問題を単純化するため、または特定の不均質解を見つけるための方法の最初のステップとなる特性解を見つける ために、 を明示的にゼロに定義することもできます。

積分方程式ソルバー

離散双極子近似

離散双極子近似は、任意の形状のターゲットによる散乱と吸収を計算するための柔軟な手法です。この定式化は、マクスウェル方程式の積分形式に基づいています。DDAは、連続体ターゲットを有限の分極点配列で近似したものです。これらの点は、局所電場に応じて双極子モーメントを獲得します。双極子は当然、電場を介して互いに相互作用するため、DDAは結合双極子近似とも呼ばれます。結果として得られる線形連立方程式は、一般的に共役勾配反復法を用いて解かれます。離散化行列には対称性があるため（マクスウェル方程式の積分形式は畳み込み形式）、共役勾配反復法中に高速フーリエ変換によって行列とベクトルを乗算することができます。

モーメント法と境界要素法

モーメント法（MoM）^{[ 2 ]}または境界要素法（BEM）は、積分方程式（すなわち境界積分形式）として定式化された線形偏微分方程式を解く数値計算法である。流体力学、音響学、電磁気学、破壊力学、塑性学など、工学および科学の多くの分野に応用できる。

MoMは1980年代以降、より広く普及してきました。MoMは空間全体の値ではなく境界値のみを計算するため、面積/体積比が小さい問題において計算リソースの面で大幅に効率的です。概念的には、モデル化された表面上に「メッシュ」を構築することで機能します。しかし、多くの問題において、MoMは体積離散化法（有限要素法、有限差分法、有限体積法）よりも計算効率が大幅に低くなります。境界要素法の定式化では、通常、完全にデータが詰め込まれた行列が生成されます。つまり、必要な記憶領域と計算時間は、問題のサイズの2乗に比例して増加する傾向があります。対照的に、有限要素行列は通常、帯状（要素は局所的にのみ結合）であり、システム行列に必要な記憶領域は通常、問題のサイズに比例して増加します。これらの問題を改善するために圧縮技術（多重極展開や適応型クロス近似/階層的行列など）を使用できますが、複雑さが増し、成功率は問題の性質と形状に大きく依存します。

MoMは、グリーン関数を計算できる問題に適用できます。これらの問題は通常、線形均質媒質中の場を扱います。そのため、境界要素法に適した問題の範囲と一般性には大きな制約が課せられます。非線形性を定式化に含めることは可能ですが、一般的に体積積分が導入されるため、解を求める前に体積を離散化する必要があるため、MoMのしばしば挙げられる利点が失われます。

高速多重極法

高速多重極法（FMM）は、MoMやエワルド和の代替法です。高精度なシミュレーション手法であり、MoMよりもメモリとプロセッサパワーをあまり必要としません。FMMはGreengardとRokhlin ^{[ 3 ] [ 4 ]}によって初めて導入され、多重極展開法に基づいています。計算電磁気学におけるFMMの最初の応用は、Enghetaら(1992)によって行われました。^{[ 5 ]} FMMは、電荷ベース境界要素高速多重極法において計算生体電磁気学にも応用されています。FMMはMoMの高速化にも使用できます。

平面波時間領域

高速多重極法は静的または周波数領域振動核を持つ積分方程式のモーメント法（MoM）解の高速化に有用であるが、平面波時間領域（PWTD）アルゴリズムは同様の考え方を用いて、遅延ポテンシャルを含む時間領域積分方程式のモーメント法解の高速化を実現する。PWTDアルゴリズムは1998年にErgin、Shanker、およびMichielssenによって導入された。^{[ 6 ]}

部分要素等価回路法

部分要素等価回路（PEEC）は、電磁界解析と回路解析を組み合わせた3次元フルウェーブモデリング手法です。MoMとは異なり、PEECは直流からメッシュ分割によって決定される最大周波数まで有効なフルスペクトル手法です。PEEC法では、積分方程式はキルヒホッフの電圧則を基本PEECセルに適用したものとして解釈され、3次元ジオメトリに対する完全な回路解が得られます。等価回路定式化により、SPICEタイプの回路要素を容易に追加できます。さらに、モデルと解析は時間領域と周波数領域の両方に適用できます。PEECモデルから得られる回路方程式は、修正ループ解析（MLA）または修正節点解析（MNA）定式化を用いて容易に構築できます。直流解を提供することに加えて、適切なマトリックススタンプを用いることであらゆる種類の回路要素を簡単に追加できるため、この種の問題においてMoM解析よりも優れた点がいくつかあります。PEEC法は最近、非直交ジオメトリも含むように拡張されました。^{[ 7 ]}このモデル拡張は、古典的な直交定式化と整合しており、より一般的な四辺形および六面体要素に加えて、形状のマンハッタン表現も含んでいます。これにより未知数の数を最小限に抑えることができ、非直交形状の計算時間を短縮できます。^{[ 8 ]}

カニャール・ドフープのモーメント法

カニャール・ド・フープモーメント法（CdH-MoM）は、ローレンツの相反定理に基づいて定式化される3次元全波時間領域積分方程式手法です。CdH-MoMは、もともと地球の地殻モデルにおける地震波伝播の解析的解析のために開発されたジョイント変換アプローチであるカニャール・ド・フープ法に大きく依存しているため、このアプローチは平面層構造のTD EM解析に適しています。CdH-MoMはもともと、円筒形および平面アンテナの時間領域性能研究に適用され^{[ 9 ]}、最近では、例えば薄板^{[ 10 ]}や電磁メタサーフェス^{[ 11 ] [ 12 ]}が存在する伝送線路のTD EM散乱解析に適用されています。

微分方程式ソルバー

有限差分周波数領域

有限差分周波数領域法（FDFD）は、有限差分法を用いて周波数領域におけるマクスウェル方程式の厳密な解を提供します。^{[ 13 ]} FDFDは、厳密な解を提供する最も単純な数値解析法と言えるでしょう。FDFDは非常に汎用性が高く、電磁気学における事実上あらゆる問題を解くことができます。FDFDの主な欠点は、他の手法に比べて効率が悪いことです。しかしながら、現代のコンピュータでは、導波路内の導波モードの計算、物体からの散乱の計算、フォトニック結晶の透過と反射の計算、フォトニックバンドダイアグラムの計算、メタマテリアルのシミュレーションなど、膨大な数の問題を簡単に処理できます。

FDFDは、計算電磁気学（CEM）を学ぶ上で「最初の」方法として最適かもしれません。他の手法で扱われるほぼすべての概念を、はるかにシンプルな枠組みで網羅しています。概念には、境界条件、線形代数、ソースの注入、デバイスの数値表現、そして意味のある計算を行うためのフィールドデータの後処理などが含まれます。FDFDは、他の手法を学ぶのに役立つだけでなく、それらの手法をテストし、ベンチマークするための方法も提供します。

FDFDは有限差分時間領域法（FDTD）と非常によく似ています。どちらの手法も空間を点の配列として表現し、各点においてマクスウェル方程式を適用します。FDFDは、この膨大な方程式群を行列化し、線形代数を用いてすべての方程式を同時に解きます。一方、FDTDはこれらの方程式を継続的に反復処理することで、時間経過とともに解を進化させます。数値的にはFDFDとFDTDは非常に似ていますが、実装は大きく異なります。

有限差分時間領域

有限差分時間領域法（FDTD法）は、CEMの代表的な手法です。理解しやすく、フルウェーブソルバーとしては非常にシンプルな実装が可能です。基本的なFDTDソルバーの実装は、FEMソルバーやMoMソルバーと比べて少なくとも1桁少ない作業量で済みます。FDTD法は、一人でも現実的な時間枠内で実装できる唯一の手法ですが、それでも非常に特殊な問題に限られます。^{[ 1 ]}時間領域法であるため、時間ステップが目的の最高周波数に対して ナイキスト・シャノンのサンプリング定理を満たすほど十分に小さい場合、1回のシミュレーション実行で広い周波数範囲をカバーできます。

FDTD法は、グリッドベースの微分時間領域数値モデリング手法の一般的なクラスに属します。マクスウェル方程式（偏微分形式）は中心差分方程式に修正され、離散化されてソフトウェアに実装されます。方程式は巡回的に解かれます。つまり、ある瞬間に電場を解き、次に次の瞬間に磁場を解き、このプロセスを何度も繰り返します。

FDTD法の基本アルゴリズムは、1966年にKane YeeがIEEE Transactions on Antennas and Propagation誌に発表した画期的な論文に遡ります。Allen Tafloveは、1980年にIEEE Trans. Electromagn. Compat誌に発表した論文で、「有限差分時間領域（Finite-Difference Time-Domain）」という記述子と、それに対応する「FDTD」という略語を考案しました。 1990年頃から、FDTD法は、電磁波と物質構造との相互作用を扱う多くの科学的および工学的問題をモデル化するための主要な手段として登場しました。時間領域有限体積離散化手順に基づく効果的な手法は、Mohammadianらによって導入されました。 1991年に^{[ 14 ]、} FDTDモデリングの現在の応用分野は、近直流（地球電離層導波管全体を含む超低周波地球物理学）からマイクロ波（レーダーシグネチャ技術、アンテナ、無線通信機器、デジタル相互接続、生物医学画像/治療）、可視光（フォトニック結晶、ナノプラズモニクス、ソリトン、バイオフォトニクス）まで多岐にわたります。市販および大学開発のソフトウェアスイートは約30種類あります。

不連続時間領域法

多くの時間領域法の中でも、不連続ガラーキン時間領域法（DGTD法）は、有限体積時間領域法（FVTD法）と有限要素時間領域法（FETD法）の両方の利点を統合しているため、近年人気が高まっています。FVTD法と同様に、数値フラックスを用いて隣接する要素間で情報を交換するため、DGTDのすべての演算は局所的であり、容易に並列化できます。FETDと同様に、DGTD法は非構造メッシュを採用し、高次階層基底関数を用いることで高次精度を実現できます。以上の利点から、DGTD法は多数の未知数を含むマルチスケール問題の過渡解析に広く用いられています。^{[ 15 ] [ 16 ]}

多重解像度時間領域

MRTD は、ウェーブレット解析 に基づく有限差分時間領域法 (FDTD) の適応型代替法です。

有限要素法

有限要素法（FEM）は、偏微分方程式（PDE）および積分方程式の近似解を求めるために使用されます。解法は、時間微分を完全に消去するか（定常問題）、PDEを等価な常微分方程式に変換し、有限差分などの標準的な手法を用いて解くかのいずれかに基づいています。

偏微分方程式を解く際、主な課題は、対象とする方程式を近似しつつも数値的に安定な方程式を作成することです。数値的に安定とは、入力データや中間計算における誤差が蓄積して結果の出力の意味を損なわないことを意味します。数値的に安定な方程式を作成するには多くの方法があり、それぞれに長所と短所があります。有限要素法は、複雑な領域にわたる偏微分方程式を解く場合や、領域全体にわたって必要な精度が変化する場合に有効です。

有限積分法

有限積分法（FIT）は、時間領域と周波数領域における電磁場問題を数値的に解くための空間離散化手法です。電荷やエネルギーの保存則といった連続方程式の基本的な位相特性を保持します。FITは1977年にトーマス・ウェイランドによって提案され、長年にわたり継続的に改良されてきました。^{[ 17 ]}この手法は、電磁気学（静電気から高周波まで）と光学応用の全範囲をカバーしており、Computer Simulation Technology (CST AG) が開発したCST Studio SuiteやNimbicが開発した電磁気シミュレーションソリューションといった商用シミュレーションツールの基盤となっています。

このアプローチの基本的な考え方は、積分形式のマクスウェル方程式を、交互に配置された格子の集合に適用することです。この手法は、幾何学的モデリングと境界処理における高い柔軟性、そして任意の物質分布や異方性、非線形性、分散性といった物質特性の組み込みにおいて際立っています。さらに、一貫性のある二重直交格子（例えば、直交座標格子）と明示的な時間積分スキーム（例えば、リープフロッグ法）を組み合わせることで、計算効率とメモリ効率に優れたアルゴリズムを実現できます。これは、特に無線周波数（RF）アプリケーション における過渡電磁界解析に適しています。

擬似スペクトル時間領域

マクスウェル方程式に対するこの時間進行型計算手法は、離散フーリエ変換または離散チェビシェフ変換を用いて、2次元グリッドまたは3次元格子状の単位セルに配置された電界および磁界ベクトル成分の空間微分を計算する。PSTD法はFDTD法に比べて位相速度異方性の数値誤差が無視できるほど小さいため、はるかに大きな電気的サイズの問題をモデル化することができる。^{[ 18 ]}

擬似スペクトル空間領域

PSSDは、マクスウェル方程式を、選択された空間方向に伝播させることで解く。したがって、場は時間の関数、そして（場合によっては）任意の横方向の空間次元の関数として保持される。この手法は擬スペクトル的であり、FFTを用いて周波数領域で時間微分を計算する。場が時間の関数として保持されるため、伝播媒体における任意の分散を最小限の労力で迅速かつ正確にモデル化することができる。^{[ 19 ]}しかし、時間ではなく空間を伝播するという選択は、特に反射が重要な場合、いくつかの微妙な問題をもたらす。^{[ 20 ]}

伝送線路マトリックス

伝送線路行列（TLM）は、SPICE、 HSPICEなどの回路ソルバーで直接解ける集中定数素子の集合として、あるいはカスタム素子ネットワークとして、あるいは散乱行列アプローチを用いて、様々な方法で定式化できます。TLMはFDTDに類似した非常に柔軟な解析手法ですが、FDTDエンジンではより多くのコードが利用可能になる傾向があります。

局所的に1次元

これは暗黙法である。この方法では、2次元の場合、マクスウェル方程式は2段階で計算されるが、3次元の場合、マクスウェル方程式は3つの空間座標方向に分割される。3次元LOD-FDTD法の安定性と分散解析については、既に詳細に議論されている。^{[ 21 ] [ 22 ]}

その他の方法

固有モード展開

固有モード展開（EME）は、電磁波伝搬をシミュレートするための厳密な双方向手法であり、電磁場を局所固有モードの基底関数に分解する手法に基づいています。固有モードは、各局所断面においてマクスウェル方程式を解くことで求められます。固有モード展開は、2次元および3次元のマクスウェル方程式を解くことができ、モードソルバーがベクトル化されている場合、完全なベクトル解を得ることができます。光導波路のモデリングにおいて、FDTD法と比較して非常に大きな利点があり、光ファイバーやシリコンフォトニクスデバイスのモデリングに広く用いられています。

物理光学

物理光学（PO）は、光学、電気工学、応用物理学において一般的に用いられる高周波近似（短波長近似）の名称です。これは、波動効果を無視する幾何光学と、精密な理論である全波電磁気学の中間的な手法です。「物理的」という言葉は、幾何光学よりも物理的であるという意味であり、厳密な物理理論という意味ではありません。

この近似は、光線光学を用いて表面上の場を推定し、その場を表面上で積分して透過場または散乱場を計算するというものです。これは、問題の詳細を摂動として扱うという点で、ボルン近似に似ています。

均一回折理論

均一回折理論(UTD) は、電気的に小さな不連続性、または同じ点における複数の次元の不連続性からの 電磁散乱問題を解決するための高周波法です。

均一回折理論は、近傍場電磁場を準光学的性質として近似し、光線回折を用いて、回折物体と回折源の各組み合わせにおける回折係数を求める。これらの係数を用いて、回折点からの各方向における電磁場の強度と位相を計算する。そして、これらの電磁場を入射電磁場と反射電磁場に加えることで、全体の解が得られる。

検証

検証は、電磁界シミュレーションのユーザーが直面する重要な課題の一つです。ユーザーは、シミュレーションの妥当性領域を理解し、習得する必要があります。その基準は、「結果が現実からどれほどかけ離れているか」です。

この質問に答えるには、シミュレーション結果と解析定式化の比較、コード間の相互比較、シミュレーション結果と測定値の比較という 3 つのステップが必要です。

シミュレーション結果と解析定式の比較

例えば、板の レーダー断面積の値を解析式で評価します。 ここで、Aは板の表面積、は波長です。次の曲線は、35GHzで計算された板のレーダー断面積を示しています。参考例として使用できます。 $${\displaystyle {\text{RCS}}_{\text{Plate}}={\frac {4\pi A^{2}}{\lambda ^{2}}},}$$ ${\displaystyle \lambda }$

コード間の相互比較

一例としては、モーメント法と漸近法の有効領域における結果の相互比較が挙げられる。^{[ 23 ]}

シミュレーション結果と測定値の比較

最終的な検証ステップは、測定値とシミュレーションの比較によって行われます。例えば、35GHzにおける複雑な金属物体のRCS計算^{[ 24 ]}と測定^{[ 25 ]}が挙げられます。計算では、エッジに対してGO、PO、PTDが実装されています。

検証プロセスにより、いくつかの差異は実験設定とシミュレーション環境での再現性の違いによって説明できることが明確に明らかになる。^{[ 26 ]}

光散乱コード

現在、電磁波散乱問題を解くための効率的なコードが数多く存在します。以下に挙げます。

• 離散双極子近似コード、
• 円筒による電磁波散乱のコード、
• 球による電磁波の散乱を表すコード。

球や円筒による散乱に対するミー解などの解析的な解は、より複雑な技術を検証するために使用できます。

参照

• EMシミュレーションソフトウェア
• 解析的正則化
• 計算物理学
• 電磁場ソルバー
• 電磁波方程式
• 有限差分時間領域法
• 有限差分周波数領域
• ミー理論
• 物理光学
• 厳密な結合波解析
• 空間マッピング
• 均一回折理論
• 光線を発射して跳ね返す
• 計算物理学ソフトウェアの一覧
• 電磁気学の教科書一覧

参考文献

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19. Tyrrell, JCA; Kinsler, P.; New, GHC (2005-05-10). 「擬似スペクトル空間領域：任意分散を持つ数サイクル領域における非線形パルス伝搬のための新しい手法」. Journal of Modern Optics . 52 (7). Informa UK Limited: 973– 986. Bibcode : 2005JMOp...52..973T . doi : 10.1080/09500340512331334086 . ISSN 0950-0340 . S2CID 121604760 .  
20. キンスラー、ポール (2010-01-25). 「最小近似による光パルス伝搬」. Physical Review A. 81 ( 1) 013819. arXiv : 0810.5689 . Bibcode : 2010PhRvA..81a3819K . doi : 10.1103/physreva.81.013819 . ISSN 1050-2947 . 
21. Ahmed, I. (2008). 「3次元無条件安定LOD-FDTD法の開発」. IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 56 (11). Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE): 3596– 3600. Bibcode : 2008ITAP...56.3596A . doi : 10.1109/tap.2008.2005544 . ISSN 0018-926X . S2CID 31351974 .  
22. Ahmed, Iftikhar; Chua, Eng-Kee; Li, Er-Ping (2010). 「無条件安定な3次元LOD-FDTD法の数値分散解析」. IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 58 (12). Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE): 3983– 3989. Bibcode : 2010ITAP...58.3983A . doi : 10.1109/tap.2010.2078481 . ISSN 0018-926X . S2CID 9987649 .  
23. 一例として、 OKTAL-SE 社はフランスの研究機関ONERAと共同開発を行い、モーメント法と漸近法を比較しました。この比較は、OKTAL-SEのSE-RAY-EMコードの検証プロセスに役立ちました。SE-RAY-EMコードとONERAリファレンスコードの比較図（右図）。
24. SE-RAY-EM
25. FGAN-FHR
26. 記事全文

さらに読む

• RFハリントン（1993）『モーメント法による場の計算』Wiley-IEEE出版、ISBN 978-0-7803-1014-8。
• WC Chew、J.-M. Jin、E. Michielssen、J. Song (2001). 『計算電磁気学における高速かつ効率的なアルゴリズム』 Artech House Publishers. ISBN 978-1-58053-152-8。
• J. ジン (2002)。電磁気学の有限要素法、第 2 回。編。ワイリー-IEEE プレス。ISBN 978-0-471-43818-2。
• アレン・タフローブ、スーザン・C・ハグネス（2005年）『計算電気力学：有限差分時間領域法』第3版、Artech House Publishers、ISBN 978-1-58053-832-9。

外部リンク

• オープンディレクトリプロジェクトの計算電磁気学
• 計算電磁気学：レビュー2016年3月15日アーカイブ - Wayback Machine

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