反対称テンソル

テンソルは、その転置の負の数に等しい

数学と理論物理学において、テンソルは、サブセットの任意の2つのインデックスが交換されたときに符号（+/−）が交互になる場合、インデックスサブセット上で（またはに関して）反対称または交代テンソルと呼ばれます。 ^{[1] [2]インデックスサブセットは、一般に、すべて}共変かすべて反変のいずれかでなければなりません。

たとえば、テンソルが最初の 3 つのインデックスに関して反対称である場合に、が成立します。 $${\displaystyle T_{ijk\dots }=-T_{jik\dots }=T_{jki\dots }=-T_{kji\dots }=T_{kij\dots }=-T_{ikj\dots }}$$

テンソルの各添字のペアの交換によって符号が変化するテンソルは、完全に（または完全に）反対称である。の位数の完全に反対称な共変テンソル体は微分 -形式と呼ばれ、完全に反対称な反変テンソル体は-ベクトル場と呼ばれることがある。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

反対称テンソルと対称テンソル

インデックスに関して反対称なテンソルAは、インデックスに関して対称なテンソルBとの縮約が0と同一であるという特性を持ちます。 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

成分と一対のインデックスを持つ一般テンソルUの場合、Uには次のように定義される対称部分と反対称部分があります。 ${\displaystyle U_{ijk\dots }}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j,}$

${\displaystyle U_{(ij)k\dots }={\frac {1}{2}}(U_{ijk\dots }+U_{jik\dots })}$		（対称部分）
${\displaystyle U_{[ij]k\dots }={\frac {1}{2}}(U_{ijk\dots }-U_{jik\dots })}$		（反対称部分）。

同様の定義は他の添字のペアにも適用できます。「部分」という用語が示すように、テンソルは与えられた添字のペアに対する対称部分と反対称部分の和です。 $${\displaystyle U_{ijk\dots }=U_{(ij)k\dots }+U_{[ij]k\dots }.}$$

表記

反対称化の簡略記法は、一対の角括弧で表されます。例えば、任意の次元において、2次の共変テンソルMと3次の共変テンソルTの場合、 $${\displaystyle M_{[ab]}={\frac {1}{2!}}(M_{ab}-M_{ba}),}$$ $${\displaystyle T_{[abc]}={\frac {1}{3!}}(T_{abc}-T_{acb}+T_{bca}-T_{bac}+T_{cab}-T_{cba}).}$$

2 次元および 3 次元では、これらは と表記されます。ここでは一般化されたクロネッカーのデルタであり、アインシュタインの総和規則が使用されています。 $${\displaystyle {\begin{aligned}M_{[ab]}&={\frac {1}{2!}}\,\delta _{ab}^{cd}M_{cd},\\[2pt]T_{[abc]}&={\frac {1}{3!}}\,\delta _{abc}^{def}T_{def}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \delta _{ab\dots }^{cd\dots }}$

より一般的には、次元数に関係なく、インデックス上の反対称化は次のように表現される。 ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle T_{[a_{1}\dots a_{p}]}={\frac {1}{p!}}\delta _{a_{1}\dots a_{p}}^{b_{1}\dots b_{p}}T_{b_{1}\dots b_{p}}.}$$

一般に、階数 2 のすべてのテンソルは、次のように対称と反対称のペアに分解できます。 $${\displaystyle T_{ij}={\frac {1}{2}}(T_{ij}+T_{ji})+{\frac {1}{2}}(T_{ij}-T_{ji}).}$$

この分解は、より複雑な対称性を持つ階数 3 以上のテンソルには一般に当てはまりません。

例

完全に反対称なテンソルには次のものがあります。

• 当然のことながら、すべてのスカラーとベクトル (0 次と 1 次テンソル) は完全に反対称です (完全に対称でもあります)。
• 電磁気学における電磁テンソル。 ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$
• 擬リーマン多様体上のリーマン体積形式。

参照

• 反対称行列 – 行列の形式リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• 外積代数 – 任意のベクトル空間に関連する代数
• レヴィ・チヴィタ記号 – テンソルに作用する反対称置換オブジェクト
• リッチ計算 – テンソルベースの計算のためのテンソル指数表記
• 対称テンソル – 作用するベクトルの順列に対してテンソル不変
• 対称化

注記

1. KF Riley、MP Hobson、SJ Bence (2010).物理学と工学のための数学的手法. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-86153-3。
2. フアン・ラモン・ルイス・トロサ;エンリケ・カスティージョ (2005)。ベクトルからテンソルへ。スプリンガー。 p. 225.ISBN​ 978-3-540-22887-5。セクション§7。

参考文献

• ペンローズ、ロジャー（2007年）『現実への道』ヴィンテージブックス。ISBN 978-0-679-77631-4。
• JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). 『重力』 WH Freeman & Co. pp.  85– 86, §3.5. ISBN 0-7167-0344-0。

外部リンク

• 反対称テンソル – mathworld.wolfram.com

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